2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高級中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高級中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版），共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高級中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（       ）．A． B． C． D．1【答案】B【分析】先利用誘導(dǎo)公式把化成，就把原式化成了兩角和的余弦公式，解之即可.【詳解】由可知，故選：B2．已知，，且，則在上的投影向量為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由先求出，先表示出在上的投影，再結(jié)合投影向量概念即可求解.【詳解】因為，所以，即，又因為，設(shè)的夾角為，所以，在上的投影為：，所以在上的投影向量為.故選：C3．設(shè)， ，，則有（       ）A． B．  C． D．【答案】C【分析】利用和差公式，二倍角公式等化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以由三角函數(shù)線知：，，因為，所以，所以故選：C.4．在中，，，，若有兩解，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形有解的條件建立條件關(guān)系即可．【詳解】解：由三角形有兩解的充要條件可知，即，即，解得，即的取值范圍是．故選：D．5．若，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】通過二倍角降冪公式化簡，再利用和差化積公式以及將，化簡為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【詳解】，．∵，∴．故選：.【點睛】本題主要考查的是三角函數(shù)中的二倍角以及和差化積公式的應(yīng)用，以及余弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，要求熟練掌握并靈活運用這些公式，是中檔題.6．定義：當(dāng)時，等價于，如等價于．若角，且，，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，，然后利用基本關(guān)系和正弦的兩角和公式可得.【詳解】由題知，所以，所以，由，，所以所以故選：B7．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理先將角化邊，再運用余弦定理和基本不等式得到的范圍進(jìn)而得到最后的結(jié)果【詳解】因為所以，進(jìn)而可得因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以又因為所以角A的最大值為故選：A8．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，是的外心，利用數(shù)量積投影意義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)分別為的中點，∵，,是邊的中垂線，∴，是的外心，，故選：B二、多選題9．有下面四個命題，真命題的是（       ）A．B．若，且，則C．，則D．兩個虛數(shù)不能比較大小【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘方，直接計算和判斷各個選項即可.【詳解】對于A，因為，所以，，故A正確；對于B，兩個虛數(shù)不能比較大小，故B錯；對于C，當(dāng)，時，，故C錯；按照復(fù)數(shù)的定義，兩個虛數(shù)不能比較大小，D正確.故選：AD10．下列命題為真命題的是（       ）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)B．函數(shù)的表達(dá)式可以改寫為C．是最小正周期為的偶函數(shù)D．若一扇形弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】BD【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項；利用誘導(dǎo)公式可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用扇形的面積公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，設(shè)，因為，，則，所以，函數(shù)不是最小正周期為的函數(shù)，C錯；對于D選項，設(shè)扇形的半徑為，則，可得，因此，該扇形的面積為，D對.故選：BD.11．在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，下列敘述正確的是（          ）A．若，則△ABC為等腰三角形B．若，， ，則△ABC有兩解C．若，則△ABC為鈍角三角形D．若，則【答案】BCD【分析】本題需要逐項分析，根據(jù)每個選項 所給的條件，具體分析得出結(jié)論.【詳解】對于A：，由正弦定理得，即，由于A、B為三角形的內(nèi)角，∴或，即或，△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B：∵，，，由正弦定理得，，即， ， ，， 若 ，B是銳角，則 ，C是鈍角，若 ，B是鈍角， ，C是銳角，故B有兩角，故B正確；對于C：若，∵，， ，∴，，中必有一個值為負(fù)，即A，B，C中必有一個為鈍角，∴△ABC為鈍角三角形，故C正確；對于D：，由正弦定理得：，即，即，∵，∴，即，∵，∴，故D正確；故選：BCD．12．已知函數(shù)與函數(shù)的對稱中心相同，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則取值范圍是B．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，會與函數(shù)的圖象重合C．函數(shù)的所有零點的集合為D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，【答案】BD【分析】由題意可得，所以，對于A，當(dāng)時，求得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；對于B，由已知可得，而周期為，從而可得結(jié)論；對于C，由可求得函數(shù)的零點；對于D，由題意可得，由此可求出的值【詳解】易知當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則，，故A錯誤；因為函數(shù)與函數(shù)有相同的對稱中心，所以或，即，周期為，故B正確；由，，得，，故C錯誤；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，，故D正確．故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本小題以正余弦函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，解題的關(guān)鍵是由函數(shù)與函數(shù)有相同的對稱中心，求出，然后依次判斷即可，屬于中檔題．三、填空題13．設(shè)為銳角，若，則的值為____________.【答案】【分析】利用二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正弦公式求得所求表達(dá)式的值.【詳解】為銳角，， ..故答案為：14．已知，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為_______．【答案】【分析】先由與的夾角為銳角推出，由此解出的取值范圍，再把上述取值范圍內(nèi)使得與同向的的值去掉即可【詳解】因為與的夾角為銳角所以，解之得或若與同向，則（）即綜上，的取值范圍為故答案為：15．一艘輪船從A地開往在北偏西30°方向上的B地執(zhí)行任務(wù)，完成任務(wù)后開往在北偏東45°方向上的C地，輪船總共航行了1000km．若C地在A地的北偏東15°方向上，則A，B兩地相距約為______km．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【分析】由題意根據(jù)方位角得出三角形的三個內(nèi)角，設(shè)，則，由正弦定理可求解.【詳解】解：由題意，作圖如圖所示. ，所以 設(shè)，則由正弦定理可得,所以所以故答案為：16．將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若在上沒有零點，則的取值范圍______．【答案】【分析】先根據(jù)圖象的變換求出，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.【詳解】解：由題意，，因為在上沒有零點，所以半周期，即，因為，所以，所以， 或，解得：或 所以，的取值范圍是故答案為：.四、解答題17．復(fù)數(shù)．(1)當(dāng)m為何值時，z是純虛數(shù)．(2)當(dāng)m為何值時，z為實數(shù)？【答案】(1)或；(2).【分析】（1）（2）根據(jù)復(fù)數(shù)屬于純虛數(shù)、實數(shù)，列不等式組求m值即可.【詳解】(1)若z是純虛數(shù)，則，即，可得或，所以或時，z是純虛數(shù)．(2)若z為實數(shù)，則，可得，所以時，z為實數(shù).18．已知△中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求；(2)若，，求△的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用，結(jié)合正切的和角公式和已知條件，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理和已知條件求得，再利用面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)在△中，即.(2)由（1）可知：，又，故.由余弦定理可得，即，又，故可得；則△的面積.19．已知向量，設(shè)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】先把化為.（1）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，列不等式直接求解；（2）利用分離參數(shù)法得到，根據(jù)的單調(diào)性求出即可.【詳解】(1)因為向量，且，所以.要求的單調(diào)遞增區(qū)間，只需,解得：，即的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因為關(guān)于x的不等式在恒成立，所以.由（1）可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單增，在上單減，所以，所以.故m的取值范圍是.20．中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，(1)求角A；(2)若為邊的中點，且，求面積的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊得，化簡利用余弦定理可求解；（2）根據(jù)題意可知，兩邊平方化簡可得，利用基本不等式可求的最大值，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】(1)解：由，得，即，又由余弦定理，所以，，又，；(2)解：∵是邊的中點，∴，，又，∴又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴∴，∴，即面積的最大值為.21．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充到下面橫線上，并解答問題.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且 _________ .(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，由正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選③，利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）求出角的取值范圍，根據(jù)正弦定理可求得的取值范圍，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)解：選①，由及正弦定理可得，、，則，所以，，故；選②，由及正弦定理可得，因為，則，所以，，故；選③，由及正弦定理可得，由余弦定理可得，因為，故.(2)解：因為為銳角三角形，且，則，可得，，由正弦定理，則，所以，.22．花博會期間，有一個邊長8m的正方形展廳，由于疫情，展廳被分割成如圖所示的相互封閉的幾個部分，已劃出以O為圓心，6m為半徑的扇形作為展廳，現(xiàn)要在余下的地塊中劃出一塊矩形的產(chǎn)品說明會場地，矩形有兩條邊分別落在邊AB和BC上，設(shè)．(1)用表示矩形的面積，并求出當(dāng)矩形為正方形時的面積；(2)當(dāng)取何值時，矩形的面積最大？并求出最大面積．【答案】(1)矩形的面積為，；當(dāng)矩形為正方形時的面積為(2)當(dāng)或時，矩形的面積最大，最大面積為（）【分析】（1）作輔助線，求得PG=， ，進(jìn)而可表示出矩形的面積，當(dāng)矩形為正方形時，求得，求得答案;（2）將矩形的面積表達(dá)式，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得答案.【詳解】(1)如圖所示，過P作PX⊥OA于X，PY⊥OC與Y，則，PG=， ，，，-當(dāng)矩形PGBF為正方形時, ，，，此時S=;(2)，       記t [，1]，則,對稱軸為，∵1－－，，即或時，（）