2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

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2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合和集合，利用并集的定義，可求出.【詳解】,，故.故選：D2．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可得答案.【詳解】由題意知，故，故的共軛復(fù)數(shù)為，故選：C3．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.【詳解】解：.故選：A.4．已知長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出異面直線與所成角，利用余弦定理求得其余弦值.【詳解】連接，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），在三角形中，，由余弦定理得.故選：C5．若正數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．4 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)原式，求出，從而化為單變量，根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，令，則，即，解得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B.6．已知，，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性即可得出；由，，可得，結(jié)合圖像即可判斷，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)，，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，即.因?yàn)?/span>，，即，如圖，函數(shù)與及，故.所以，故選：A.7．某國(guó)軍隊(duì)計(jì)劃將5艘不同的軍艦全部投入到甲，乙，丙三個(gè)海上區(qū)域進(jìn)行軍事演習(xí)，要求每個(gè)區(qū)域至少投入一艘軍艦，且軍艦必須安排在甲區(qū)域.在所有可能的安排方案中隨機(jī)選取一種，則此時(shí)甲區(qū)域還有其它軍艦的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】按甲區(qū)域除軍艦A外還有幾艘軍艦給安排方案分類，計(jì)算安排方案總數(shù)，進(jìn)而求得所求概率.【詳解】若甲區(qū)域除軍艦A外無(wú)其他軍艦，共有種方案；若甲區(qū)域除軍艦A外還有1艘軍艦，共有種方案；若甲區(qū)域除軍艦A外還有2艘軍艦，共有種方案；所以共有種方案，甲區(qū)域除還有其他艘軍艦的方案有種，所以甲區(qū)域除還有其他艘軍艦的概率為.故選：A.8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長(zhǎng)線交于，若，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，通過(guò)題意已知條件可求得點(diǎn)到直線的距離的值，通過(guò)勾股定理可求得，再聯(lián)立直線與解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而列出的表達(dá)式，由計(jì)算可得關(guān)系，從而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，因?yàn)橹本€垂直，則，故，又，則點(diǎn)到直線的距離為=，所以，，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：，則 ，解得 ，故,由,則,中，由勾股定理可得: ,故；又,則，即，因?yàn)?/span>的延長(zhǎng)線交于，此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于0，即，故，所以 ，所以化簡(jiǎn)得.則，故，則.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查的是雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，主要是漸近線與離心率的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大解答時(shí)要明確解題思路，關(guān)鍵是聯(lián)立方程進(jìn)行計(jì)算十分繁雜，要特別注意準(zhǔn)確性. 二、多選題9．在單位圓中，是圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），則下列結(jié)論一定成立的有（    ）A．B．在上的投影向量可能為C．D．若，則【答案】BC【分析】對(duì)選項(xiàng)A，D，根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算即可判斷A，D錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)當(dāng)所成角為時(shí)，在上的投影向量為，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)平面向量數(shù)量積概念即可判斷C正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，在上的投影向量為，若，則，即所成角為.所以當(dāng)所成角為時(shí)，在上的投影向量為，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，因?yàn)?/span>是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），所以，所以，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．要想得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AC【分析】由圖得、，點(diǎn)在圖象上求得及的解析式可判斷A；根據(jù)圖象平移規(guī)律可判斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)的范圍求得可判斷D.【詳解】由圖得，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圖象上，所以，，因?yàn)?/span>，所以，可得，故A正確；對(duì)于B，將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知函數(shù)，下列描述不正確的有（    ）A．函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)B．函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為C．若方程有兩不等實(shí)根，則D．對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】利用函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，得到的圖像，利用的圖像性質(zhì)，以及利用特值法，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷求解即可.【詳解】對(duì)于A，取，，又，恒成立，故函數(shù)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，令，解得或；令，解得或；所以在和上為單調(diào)遞增函數(shù)，在和上為單調(diào)遞減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)，且，得到在和上為單調(diào)遞增函數(shù)，在和上為單調(diào)遞減函數(shù)，故可得圖像，如圖，因?yàn)?/span>，故取，必有以下圖像，當(dāng)時(shí)，若方程有兩不等實(shí)根，因?yàn)?/span>，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，得，取，則，整理得，，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，明顯可見(jiàn)，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，故必不存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：BCD12．定義集合，設(shè)中所有元素的和為，則下列命題正確的有（    ）A．存在兩個(gè)不同的使得中僅有一個(gè)元素B．中元素的最大值與最小值之和為C．在上不單調(diào)D．當(dāng)時(shí)，恒成立【答案】ABD【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，求出即可判斷；對(duì)于B，分為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)，求出中最小值與最大值，即可判斷；對(duì)于C，由中元素的個(gè)數(shù)及大小關(guān)系可以判斷；對(duì)于D，分為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)，分別判斷成立，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)集合當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)集合，故正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，可得，由此可得當(dāng)時(shí)，可得中元素的個(gè)數(shù)大于3，且逐漸增多，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中最小值為，最大值為，滿足最大值與最小值之和為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中最小值為，最大值為，滿足最大值與最小值之和為，故正確；對(duì)于C，隨著增大，中元素個(gè)數(shù)大于或等于中元素個(gè)數(shù)，且中元素大小一定大于中元素大小，所以中所以元素之和逐漸增大，所以在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中最小值為，最大值為，且元素從小到大依次增加3，所以構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，3為公差，為末項(xiàng)的等差數(shù)列，共有項(xiàng)，所以，所以，且，所以；同理當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中最小值為，最大值為，且元素從小到大依次增加3，所以構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，3為公差，為末項(xiàng)的等差數(shù)列，共有項(xiàng)，所以，所以，且，所以，故正確.故選：ABD. 三、填空題13．在我市今年高三年級(jí)期中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成績(jī)依次是：這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)是___________.【答案】146【分析】根據(jù)計(jì)算分位數(shù)的步驟，計(jì)算求解即可.【詳解】對(duì)10名同學(xué)的成績(jī)從小到大進(jìn)行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根據(jù)，故取第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的數(shù)據(jù)分別為：145,147；10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的分位數(shù)為：.故答案為：14614．已知拋物線的圖像過(guò)點(diǎn)，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.【答案】2【分析】由拋物線的圖像過(guò)點(diǎn)求出，再由性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故答案為：15．定義在上的奇函數(shù)滿足，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式___________.【答案】（等其他符合條件的函數(shù)也可）【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性求得符合題意的的解析式.【詳解】依題意是定義在上的奇函數(shù)，由于，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以是周期為的周期函數(shù).是定義在上的奇函數(shù)，且最小正周期為，，所以關(guān)于對(duì)稱，符合題意.故答案為：（等其他符合條件的函數(shù)也可）16．球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成，球的半徑為為球表面上兩動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).半徑為2的球在球的內(nèi)壁滾動(dòng)，點(diǎn)在球表面上，點(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，若，則三棱錐體積的最大值是___________.【答案】15【分析】作出圖形，在球中求得三角形的面積的最大值為3，作出圖形，求得點(diǎn)為到平面的距離最大值為15，根據(jù)錐體的體積公式即可求得答案.【詳解】解：如圖一所示： 在圓中，因?yàn)辄c(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，且，所以為直角三角形，且，又因?yàn)?/span>，所以可得，設(shè)，則有，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；如圖二所示：因?yàn)榍?/span>的半徑為，為線段的中點(diǎn)，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線且為如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)為到平面的距離最大，即此時(shí)三棱錐的高最大，此時(shí),所以此時(shí),即三棱錐體積的最大值是15.故答案為：15. 四、解答題17．已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)和.（用具體數(shù)值表示）【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解方程組即得解；（2）利用分組求和求解.【詳解】（1）解：聯(lián)立，解得（2）解：.18．如圖①，，將圖①中左右兩個(gè)三角形沿著翻折成為圖②所示的三棱錐，棱上的點(diǎn)滿足.(1)過(guò)點(diǎn)作截面平面，寫出作法并證明；(2)當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求直線與（1）中平面所成角的正切值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）結(jié)合面面平行的判定定理畫出截面.（2）法一（幾何法）：作出二面角的平面角，由此確定角度；作出直線與平面所成的角，解三角形求得所成角的正切值；法二（向量法）：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成的角的正弦值并轉(zhuǎn)化為正切值.【詳解】（1）如圖，作交于，作交于，連接，則即截面.證明：因?yàn)?/span>平面平面，所以平面同理可證得平面，而，平面，平面平面，即截面平面.（2）法一：如圖，在平面中作，，則，而，平面，平面，所以是二面角的一個(gè)平面角，.由于平面，所以平面平面，設(shè)點(diǎn)在平面上的投影為，則在的延長(zhǎng)線上，連接，則，即直線與平面所成的角，也等于與平面所成的角.，，直線與平面所成角的正切值為.法二：如圖，在平面中作，，則，而，平面，平面，所以是二面角的一個(gè)平面角，.由第（1）問(wèn)可知直線與平面所成的角等于與平面所成的角.可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，軸在平面ABM上.取平面的一個(gè)法向量為設(shè)與平面所成的角為，則，因?yàn)?/span>，，所以， 直線與平面所成角的正切值為.19．為貫徹落實(shí)黨的二十大精神，促進(jìn)群眾體育全面發(fā)展.奮進(jìn)中學(xué)舉行了趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有一個(gè)項(xiàng)目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機(jī)地?cái)S向前方的三個(gè)箱子中的任意一個(gè)，每名選手?jǐn)S5個(gè)大小形狀質(zhì)量相同?編號(hào)不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進(jìn)1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱分別可得3分?4分?5分，沒(méi)有投中計(jì)0分.每名選手將累計(jì)得分作為最終成績(jī).(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進(jìn)入不同箱子的方法數(shù)；(2)賽前參賽選手經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的練習(xí)，選手每次投中1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨(dú)立，且投擲時(shí)不會(huì)出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.（i）若以比賽結(jié)束時(shí)累計(jì)得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號(hào)箱？（ii）假設(shè)選手得了23分，請(qǐng)你幫設(shè)計(jì)一種可能贏的投擲方案，并計(jì)算該方案獲勝的概率.【答案】(1)(2)（i）建議選手選擇1號(hào)箱；（ii）答案見(jiàn)解析 【分析】（1）列方程，求出選手5次投擲的沙包的情況，根據(jù)相應(yīng)的情況計(jì)算出相應(yīng)的方法數(shù)，進(jìn)而得到總的方法數(shù)；（2）（i）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算公式，分別求出對(duì)應(yīng)的得分的數(shù)學(xué)期望，比較數(shù)學(xué)期望的大小，進(jìn)而選擇最好的方案；（ii）根據(jù)題意，設(shè)計(jì)出相應(yīng)方案，并根據(jù)獨(dú)立事件的定義，計(jì)算所求概率.【詳解】（1）設(shè)5次投擲投中1號(hào)次，2號(hào)次，3號(hào)次，未投中次，則，解得或或或不同的方法數(shù).（2）（i）設(shè)選手選擇1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱作為目標(biāo)箱，5次投中的次數(shù)依次為，最終的得分分別為.則建議選手選擇1號(hào)箱.（ii）方案一：連續(xù)5次選擇投擲3號(hào)箱最終獲勝的概率為.方案二：前4次均選擇投擲3號(hào)箱，第5次投2號(hào)箱最終獲勝的概率為20．已知的內(nèi)角滿足.(1)求角；(2)若，設(shè)是中邊上的高，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)平方關(guān)系和條件可得，然后根據(jù)正余弦定理可得答案；（2）根據(jù)正弦定理可得，當(dāng)角為銳角，，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)可得的最大值，同理可分析當(dāng)角為直角時(shí)、角為鈍角時(shí)的情形.【詳解】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，（2）在中，由得，①當(dāng)角為銳角時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，.②當(dāng)角為直角時(shí)，，③當(dāng)角為鈍角時(shí)， ，當(dāng)，即時(shí)，綜上：當(dāng)時(shí)，.21．已知橢圓的焦距為分別為左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)的切線方程為.點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條不同切線，切點(diǎn)分別為，直線交軸于點(diǎn)，記的面積分別為.（i）證明：為定點(diǎn)；（ii）設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii） 【分析】（1）首先根據(jù)的周長(zhǎng)為求出的值，根據(jù)焦距求出的值，再利用求出的值，進(jìn)而求出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）首先根據(jù)題干已知結(jié)論求出橢圓的兩條切線方程，然后根據(jù)兩點(diǎn)唯一確定一條直線可得直線的方程為即，進(jìn)而可以求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)；（ii）首先設(shè)直線的方程為，將直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出與，然后利用解三角形中的三角形面積得，進(jìn)而分與兩種情況結(jié)合函數(shù)知識(shí)分別求解的取值范圍，即可得到的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，則由題意可得橢圓在，處的切線方程分別為：點(diǎn)在兩條切線上由于過(guò)兩點(diǎn)的直線僅有一條直線的方程為即當(dāng)變化時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)（ii）由圖知，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)不為0，設(shè)直線的方程為，代入整理得，恒成立，不妨令，；得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，令且，則，且，解得且綜上知，，進(jìn)而【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在圓錐曲線中涉及到三角形面積的求解時(shí)，常常有三種求解三角形面積的方法：（1）常規(guī)面積公式：底高；（2）正弦面積公式：；（3）鉛錘水平面面積公式：過(guò)軸上的定點(diǎn)：（為軸上定長(zhǎng)）過(guò)軸上的定點(diǎn)（為軸上定長(zhǎng)）22．已知函數(shù).（參考值：）(1)證明：在上有唯一的極小值點(diǎn)；(2)試研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)3個(gè)零點(diǎn) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)定理和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定極小值點(diǎn)；（2）分類討論并結(jié)合二次求導(dǎo)、零點(diǎn)定理、不等式放縮等方法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增又存在唯一的使得且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，，分3種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，在上有唯一的零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，在上有唯一的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，則遞增在上無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，分種情況討論：（i）當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)（ii）當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則在上恒成立在上單調(diào)遞減而，存在使得，且當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.存在使得，且當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減當(dāng)時(shí)，注意到所以在上恒成立當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增又在上存在唯一的零點(diǎn).綜上知，在定義域上共有3個(gè)零點(diǎn)，