十堰市2023年高三年級(jí)元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，22題，均為必考題。全卷滿(mǎn)分150分。考試用時(shí)120分鐘。★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在試題卷、草稿紙上無(wú)效。3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試題卷、草稿紙上無(wú)效。4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，只交答題卡。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小顆給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則A.    B. C.    D. 2.已知復(fù)數(shù)，，則A.    B.    C.    D. 3.“”是“”的A.充要條件    B.充分不必要條件C.必要不充分條件   D.既不充分也不必要條件4.已知直線與雙曲線：相交，且有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率是A.10   B.    C.    D. 5.《中國(guó)居民膳食指南（2022）》數(shù)據(jù)顯不，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的體重（單位：千克），根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，按，，，，分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的中位數(shù)是A.50   B.52.25   C.53.75   D.556.已知，，且，則的最小值是A.1   B.    C.2   D. 7.如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且，將沿DE折起（點(diǎn)A與P重合），使得平面平面BCED，則折疊后的異面直線PB，CE所成角的正弦值為A.    B.    C.    D. 8.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是A.    B. C.    D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.如圖，在正方體中，則A. 平面   B. 與平面相交C. 平面    D.平面平面10.已知函數(shù)，則A. 的定義域是   B. 的值域是C. 是奇函數(shù)       D. 在上單調(diào)遞減11.2022年9月錢(qián)塘江多處發(fā)現(xiàn)罕見(jiàn)潮景“魚(yú)鱗潮”，“魚(yú)鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股涌潮是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會(huì)形成像魚(yú)鱗一樣的涌潮.若波狀涌潮的圖象近似函數(shù)的圖象，而破碎的涌潮的圖象近似（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖象.已知當(dāng)時(shí)，兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn)，且破碎的涌潮的波谷為-4，則A.       B. C. 是偶函數(shù)   D. 在區(qū)間上單調(diào)12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.若直線OA，OB的斜率之積為-2，則直線過(guò)定點(diǎn)B.若直線OA，OB的斜率之積為-2，則面積的最大值是C.若，則的最大值是D.若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量，，若，則__________.14.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足下列條件的的公比：__________.①，②是遞增數(shù)列，③.15.盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子.已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明共購(gòu)買(mǎi)了5個(gè)盲盒，則他恰能在第5次集齊3種玩偶的概率為__________.16.若對(duì)任意的，都有成立，則的最大值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（10分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求A；（2）若D是邊BC的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.19.（12分）如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F分別是棱，AC，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面ADE與平面夾角的余弦值.20.（12分）某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三人通過(guò)初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過(guò)抽簽的形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類(lèi)推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計(jì)獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立.（1）求比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率；（2）求甲獲得比賽勝利的概率.21.（12分）已知橢圓：的右焦點(diǎn)為F，P在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓交于B，D（異于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，直線AB，AD分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（12分）已知函數(shù)，且曲線在處的切線為.（1）求m，n的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：.                                十堰市2023年高三年級(jí)元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)參考答案1.B由題意可得，，則.2.A由題意可得.3.B由，得；由，得.故“”是“”充分不必要條件.4.D由題意可得，則雙曲線的離心率.5.C因?yàn)?/span>，，所以該地中學(xué)生的體重的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)該中位數(shù)為，則，解得.6.C因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.7.D（解法一）由題意可知DB，DE，DP兩兩垂直，分別以DB，DE，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則，，，，從而，.故，即.（解法二）折疊后的幾何體如圖所示，在平面BCED內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作，且滿(mǎn)足.因?yàn)槠矫?/span>平面，，所以平面，所以，所以平面.因?yàn)?/span>，，，所以，，，，所以，即異面直線PB，CE所成角的正弦值為.8.C令，得或，畫(huà)出的大致圖象.設(shè)，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)實(shí)根，當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)根，則恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于或或或解得或.9.AD由正方體的性質(zhì)可知平面平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，則A正確；因?yàn)?/span>，所以平面，則B錯(cuò)誤；由題意可知，則不可能與平面垂直，故C錯(cuò)誤；由正方體的性質(zhì)可知平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，則D正確.10.AC  的定義域是，值域是，則A正確，B錯(cuò)誤；是奇函數(shù)，則C正確；在和上單調(diào)遞減，在上不是單調(diào)遞減的，則D錯(cuò)誤.11.BC由題意得，則，即，故，因?yàn)?/span>，，所以，所以，，則A錯(cuò)誤；因?yàn)槠扑榈挠砍钡牟ü葹?/span>-4，所以的最小值為-4，即，所以，所以，則，故B正確；因?yàn)?/span>，所以，所以，則C正確；由，得，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不單調(diào)，則D錯(cuò)誤.12.AC設(shè)直線：，，，聯(lián)立整理得，則，.因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為-2，所以.因?yàn)?/span>，，所以，所以，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確.由A選項(xiàng)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則面積的最小值是，故B錯(cuò)誤.在中，由余弦定理可得.因?yàn)?/span>，所以，則.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確.由C選項(xiàng)可知直線的斜率不存在，設(shè)直線：，則直線與軸的交點(diǎn)為，從而，.因?yàn)?/span>，所以，所以，即，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，或，則D錯(cuò)誤.13. 由題意可得，則，解得.14.2（答案不唯一）  由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，則.因?yàn)?/span>，且是遞增數(shù)列，所以.因為，所以，即，所以，解得.綜上，.15.   由題意可知前4次恰好收集了其中的2種玩偶，第5次收集到第3種玩偶，則所求概率.16.   等價(jià)于，即，即.設(shè)，則.由題意可知在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，則，故的最大值為.17.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得解得則.（2）由（1）可知，則.18.解：（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，.因?yàn)?/span>，所以.（2）因?yàn)?/span>D是邊BC的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?/span>，且，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.則的面積.19.（1）證明：連接BD.因?yàn)?/span>E，F分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.因?yàn)?/span>D，F分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)?/span>平面平面，所以平面.因?yàn)?/span>平面ABD，且，所以平面平面.因?yàn)?/span>平面ABD，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.設(shè)平面ADE的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.20.解：（1）比賽進(jìn)行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝.第一局甲獲勝，后三局丙獲勝的概率；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝的概率.故比賽進(jìn)行四局結(jié)束的概率.（2）比賽進(jìn)行三局，甲獲勝的概率為；比賽進(jìn)行五局，甲獲勝的概率為；比賽進(jìn)行七局，甲獲勝的概率為.故甲獲得比賽勝利的概率為.21.解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為，由題意可得，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，：，代入橢圓方程，解得，.直線AB的方程為，令，得，則.同理可得.，，則，即.若為定值，則必為.由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線：，，.聯(lián)立整理得，，則，.直線的方程為，令，得，則.直線的方程為，令，得，則.因?yàn)?/span>，所以，，則，故，即.綜上，為定值.22.（1）解：因?yàn)?/span>，所以.由題意可得即解得因?yàn)?/span>，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）可知，，.設(shè)，則.設(shè)，則.因?yàn)?/span>，所以，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，所以在上恒成立，即對(duì)一切恒成立.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，所以，即.

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