?2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有且只有一個選項是正確的）
1．（2分）﹣3的倒數(shù)為（　　）
A．-13 B．13 C．3 D．﹣3
2．（2分）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》9月23日，教育部基礎(chǔ)教育司司長呂玉剛在教育部新聞通氣會上介紹，截至9月22日，全國有7743.1萬名學(xué)生參加了課后服務(wù)．將數(shù)據(jù)7743.1萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．77431×103 B．77.431×106
C．7.7431×107 D．0.77431×108
3．（2分）質(zhì)檢員在一批足球中抽出四個進行質(zhì)量檢測，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，下列四個球中，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的足球是（　?。?br />
4．（2分）如圖，是由五個相同的小立方體搭成的幾何體，則從左面看到這個幾何體的形狀圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
5．（2分）下面的調(diào)查，適合抽樣調(diào)查的是（　?。?br /> A．了解某班學(xué)生每周課外閱讀的情況
B．了解某鞋廠生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)
C．了解某班同學(xué)每周體育鍛煉的時間
D．了解某校師生新冠疫情期間每日的體溫
6．（2分）若關(guān)于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，則k的值是（　?。?br /> A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
7．（2分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．|π﹣4|＝π﹣4 B．（-12）÷2＝﹣1
C．5a+3a2＝8a3 D．a(chǎn)2b﹣5ba2＝﹣4a2b
8．（2分）按一定規(guī)律排列的單項式：﹣a，4a3，﹣9a5，16a7，﹣25a9，?，則第n個單項式是（　?。?br /> A．（﹣1）nn2a2n﹣1 B．（﹣1）nn2a2n+1
C．（﹣n）2a2n﹣1 D．（﹣n）2a2n+1
9．（2分）下列說法正確的是（　　）
A．連接兩點的線段叫做這兩點之間的距離
B．若AP＝BP，則P為線段AB的中點
C．若C，D是線段AB上兩點，AC＝BD，則AD＝BC
D．若∠AOB=12∠AOC，則OB是∠AOC的平分線
10．（2分）中國古代問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我1只，我的羊數(shù)就是你的羊數(shù)的兩倍”．乙回答說：“最好還是把你的羊給我1只，我們的羊數(shù)就一樣了”．若設(shè)甲有x只羊，則所列方程正確的是（　?。?br /> A．x+1＝2x﹣1 B．x+12=x-1 C．x+12+1=x-1 D．x+32+1=x-1
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）單項式-34x2y的次數(shù)是 　 　．
12．（2分）下列是根據(jù)我國歷次人口普查數(shù)據(jù)，繪制的全國人口年平均增長率的折線圖，根據(jù)圖中提供的信息，可以判斷我國人口年平均增長率的變化趨勢是逐漸 　 　.（填“下降”或“上升”）

13．（2分）如圖，將一個三角板60°角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，若∠1＝25°40'，則∠2＝　 ?。?br />
14．（2分）如圖，A為數(shù)軸上表示2的點，點B到點A的距離是5，則點B在數(shù)軸上所表示的有理數(shù)為 　 ?。?br />
15．（2分）如圖，C，D是線段AB上的點，若AB＝8，CD＝2，則圖中以C為端點的所有線段的長度之和為 　 ?。?br />
16．（2分）如圖，從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出3條對角線，…，依此規(guī)律，從2022邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為 　 　條．


17．（2分）某品牌電飯煲按進價提高40%后標(biāo)價．2021年“雙十一”期間，商家為了提高該品牌電飯煲的銷售量，在九折的基礎(chǔ)上，滿1000元贈送一張118元的代金券．某顧客購買該品牌電飯煲時，使用一張代金券后，又付現(xiàn)金1016元，則該品牌電飯煲的進價是 　 　元．
18．（2分）用“#”定義一種新運算，根據(jù)定義的這種新運算得到下列各式：1#3＝5×1+3＝8；3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；5#6＝5×5+6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，若a，b是有理，則這個定義的新運算是a#b＝　 　．（用含a，b的代數(shù)式表示）
三、計算題（本大題共2題，19題14分，20題8分，共22分）
19．（14分）計算下列各題
（1）27÷(-3)2-(-12)3×（﹣2）；
（2）5325-(-19)-21+4635-14+21；（要求用簡便方法計算）
（3）先化簡，再求值：3b3-a2-2(2a2-3ab2)+6(a2-12b3)，其中a＝2，b＝﹣1．
20．（8分）解下列方程：
（1）4(x+12)=23-3x；
（2）x+54-1=2x+13．
四、解答題（本大題共2題，21題5分，22題6分，共11分）
21．（5分）如圖，已知直線l和直線l外三點A，B，C，請按下列要求作圖：
（1）作射線AB；
（2）連接BC；
（3）在射線AB上取一點D，使AD＝AB+2BC；（請用尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論）
（4）在直線l上確定一點E，使得AE+CE最短．（請保留作圖痕跡）

22．（6分）某初中開展“陽光體育一小時”活動，根據(jù)學(xué)校實際情況，決定開設(shè)踢鍵子、籃球、跳繩、健美操四種運動項目（分別用A，B，C，D表示），為了解學(xué)生最喜歡哪一種運動項目，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查（每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇一種且只能選擇一種）．并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查學(xué)生 　 　名；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖，并求扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若該校有1500名學(xué)生，喜歡籃球運動的學(xué)生約有多少名？
五、解答題（本大題共2題，23題6分，24題8分，共14分）
23．（6分）如圖，在一條道路的同側(cè)有A，B，C，D四個小區(qū)，其中A與B相距xm，B與C相距150m，C與D相距xm，某公司的員工住在A小區(qū)的有20人，B小區(qū)的有6人，C小區(qū)的有15人，D小區(qū)的有8人．
（1）該公司計劃在B，C小區(qū)的位置任選一個作為班車?？奎c，設(shè)所有員工步行到B，C小區(qū)的路程總和分別為s1，s2，試求s1，s2；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）為了使所有員工步行到班車停靠點的路程總和最小，那么停靠點的位置應(yīng)該選在B小區(qū)還是C小區(qū)？請說明理由．

24．（8分）某口罩廠從相距365km的A地采購了一批生產(chǎn)設(shè)備，用一輛貨車以60km/h的平均速度將設(shè)備從A地運回該廠所在的B地．為了盡快投入生產(chǎn)，在貨車出發(fā)前1h，該口罩廠派一輛轎車前往A地接技術(shù)人員來廠調(diào)試設(shè)備．已知轎車以110km/h的平均速度沿同一條公路從B地前往A地，到達A地后（在A地停留時間忽略不計）立即按原路原速返回．問貨車與轎車在途中相遇幾次？相遇時貨車出發(fā)的時間是多少？（要求用方程解決問題）
六、解答題（本大題共2題，25題8分，26題9分，共17分）
25．（8分）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：
如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．

（1）根據(jù)題意，小明求得MN＝　 　；
（2）小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．
設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN＝　 ??；
②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的長；

③若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，BN=1nBC，則MN＝　 ?。?br /> 26．（9分）如圖，已知∠AOB（45°＜∠AOB＜90°），
（1）以O(shè)B為邊作∠BOC，使∠BOC＝90°﹣∠AOB，在給出的圖形中畫出滿足條件的所有∠BOC；（請利用具角器和直尺畫圖）
（2）在（1）的條件下，作∠AOC的平分線OD，
①若∠AOB＝70°，求∠AOD的度數(shù)；
②若∠AOB＝58°，則∠AOD的度數(shù)是 　 ??；
③若∠AOB＝α，則∠AOD的度數(shù)是 　 ?。?br />


2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有且只有一個選項是正確的）
1．（2分）﹣3的倒數(shù)為（　?。?br /> A．-13 B．13 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵（﹣3）×（-13）＝1，
∴﹣3的倒數(shù)是-13．
故選：A．
2．（2分）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于進一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》9月23日，教育部基礎(chǔ)教育司司長呂玉剛在教育部新聞通氣會上介紹，截至9月22日，全國有7743.1萬名學(xué)生參加了課后服務(wù)．將數(shù)據(jù)7743.1萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．77431×103 B．77.431×106
C．7.7431×107 D．0.77431×108
【解答】解：7743.1萬＝774310000＝7.7431×107．
故選：C．
3．（2分）質(zhì)檢員在一批足球中抽出四個進行質(zhì)量檢測，超過標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，下列四個球中，最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的足球是（　?。?br />
【解答】解：∵|+0.7|＝0.7，|﹣0.8|＝0.8，|+0.6|＝0.6，|﹣1.3|＝1.3，
∴0.6＜0.7＜0.8＜1.3，
∴上列四個球中，C是最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的足球，
故選：C．
4．（2分）如圖，是由五個相同的小立方體搭成的幾何體，則從左面看到這個幾何體的形狀圖是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：從左邊看，底層是兩個正方形，上層的左邊是一個正方形．
故選：D．
5．（2分）下面的調(diào)查，適合抽樣調(diào)查的是（　?。?br /> A．了解某班學(xué)生每周課外閱讀的情況
B．了解某鞋廠生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)
C．了解某班同學(xué)每周體育鍛煉的時間
D．了解某校師生新冠疫情期間每日的體溫
【解答】解：A．了解某班學(xué)生每周課外閱讀的情況，適合全面調(diào)查，故本選項不符合題意；
B．了解某鞋廠生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)，適宜采用抽樣調(diào)查，故本選項符合題意；
C．了解某班同學(xué)每周體育鍛煉的時間，適合全面調(diào)查，故本選項不符合題意；
D．了解某校師生新冠疫情期間每日的體溫，適合全面調(diào)查，故本選項不符合題意．
故選：B．
6．（2分）若關(guān)于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，則k的值是（　?。?br /> A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【解答】解：∵關(guān)于x的方程3x+2k﹣4＝0的解是x＝﹣2，
∴﹣6+2k﹣4＝0，
解得，k＝5，
故選：A．
7．（2分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．|π﹣4|＝π﹣4 B．（-12）÷2＝﹣1
C．5a+3a2＝8a3 D．a(chǎn)2b﹣5ba2＝﹣4a2b
【解答】解：A、原式＝4﹣π，故此選項不符合題意；
B、原式=-12×12=-14，故此選項不符合題意；
C、5a與3a2不是同類項，不能合并計算，故此選項不符合題意；
D、原式＝﹣4a2b，故此選項符合題意；
故選：D．
8．（2分）按一定規(guī)律排列的單項式：﹣a，4a3，﹣9a5，16a7，﹣25a9，?，則第n個單項式是（　?。?br /> A．（﹣1）nn2a2n﹣1 B．（﹣1）nn2a2n+1
C．（﹣n）2a2n﹣1 D．（﹣n）2a2n+1
【解答】解：第n個單項式為：（﹣1）nn2a2n﹣1，
故選：A．
9．（2分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．連接兩點的線段叫做這兩點之間的距離
B．若AP＝BP，則P為線段AB的中點
C．若C，D是線段AB上兩點，AC＝BD，則AD＝BC
D．若∠AOB=12∠AOC，則OB是∠AOC的平分線
【解答】解：A、連接兩點的線段的長度叫做這兩點之間的距離，故A錯誤；
B、若AP＝BP，當(dāng)P點在線段AB上時，點P在AB的中點上，故B錯誤；
C、若C，D是線段AB上兩點，AC＝BD，則AD＝BC，故C正確；
D、若∠AOB=12∠AOC，射線OB在∠AOC內(nèi)部，則OB是∠AOC的平分線，故D錯誤．
故選：C．
10．（2分）中國古代問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我1只，我的羊數(shù)就是你的羊數(shù)的兩倍”．乙回答說：“最好還是把你的羊給我1只，我們的羊數(shù)就一樣了”．若設(shè)甲有x只羊，則所列方程正確的是（　?。?br /> A．x+1＝2x﹣1 B．x+12=x-1 C．x+12+1=x-1 D．x+32+1=x-1
【解答】解：設(shè)甲有x只羊，乙的羊只數(shù)為：x﹣1﹣1或x+12+1，
根據(jù)題意可得：x+12+1＝x﹣1﹣1，則x+32+1＝x﹣1．
故選：D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）
11．（2分）單項式-34x2y的次數(shù)是 　3　．
【解答】解：單項式-34x2y的次數(shù)是3．
故答案為：3．
12．（2分）下列是根據(jù)我國歷次人口普查數(shù)據(jù)，繪制的全國人口年平均增長率的折線圖，根據(jù)圖中提供的信息，可以判斷我國人口年平均增長率的變化趨勢是逐漸 　下降　.（填“下降”或“上升”）

【解答】解：根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，我國人口年平均增長率的變化趨勢是逐漸下降．
故答案為：下降．
13．（2分）如圖，將一個三角板60°角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，若∠1＝25°40'，則∠2＝　55°40′?。?br />
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝25°40'，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1
＝60°﹣25°40′
＝59°60′﹣25°40′
＝34°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝∠EAD﹣∠EAC
＝90°﹣34°20′
＝89°60′﹣34°20′
＝55°40′，
故答案為：55°40′．
14．（2分）如圖，A為數(shù)軸上表示2的點，點B到點A的距離是5，則點B在數(shù)軸上所表示的有理數(shù)為 　﹣3或7?。?br />
【解答】解：設(shè)點B所表示的數(shù)為b，
當(dāng)B在A左側(cè)時，
∴2﹣b＝5，
∴b＝﹣3，
設(shè)點B所表示的數(shù)為b，
當(dāng)B在A右側(cè)時，
∴b﹣2＝5，
∴b＝7，
故答案為：﹣3或7．
15．（2分）如圖，C，D是線段AB上的點，若AB＝8，CD＝2，則圖中以C為端點的所有線段的長度之和為 　10?。?br />
【解答】解：以C為端點的所有線段分別是AC、CD、CB共3條，
∵AB＝8，CD＝2，
∴AC+CD+CB
＝（AC+CB）+CD
＝AB+CD
＝8+2
＝10．
故答案為：10．
16．（2分）如圖，從一個四邊形的同一個頂點出發(fā)可以引出1條對角線，從五邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出2條對角線，從六邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出3條對角線，…，依此規(guī)律，從2022邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為 　2019　條．


【解答】解：從2022邊形的同一個頂點出發(fā)，可以引出的對角線數(shù)量為：2022﹣3＝2019（條），
故答案為：2019．
17．（2分）某品牌電飯煲按進價提高40%后標(biāo)價．2021年“雙十一”期間，商家為了提高該品牌電飯煲的銷售量，在九折的基礎(chǔ)上，滿1000元贈送一張118元的代金券．某顧客購買該品牌電飯煲時，使用一張代金券后，又付現(xiàn)金1016元，則該品牌電飯煲的進價是 　900　元．
【解答】解：設(shè)該電飯煲的進價為x元，
則（1+40%）x×90%＝1016+118，
∴1.2x＝696，
解得：x＝900．
答：該電飯煲的進價為580元．
故答案為：900．
18．（2分）用“#”定義一種新運算，根據(jù)定義的這種新運算得到下列各式：1#3＝5×1+3＝8；3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；5#6＝5×5+6＝31；（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，若a，b是有理，則這個定義的新運算是a#b＝　5a+b?。ㄓ煤琣，b的代數(shù)式表示）
【解答】解：∵1#3＝5×1+3＝8；
3#（﹣1）＝5×3﹣1＝14；
5#6＝5×5+6＝31；
（﹣6）#（﹣3）＝5×（﹣6）﹣3＝﹣33，
∴a#b＝5a+b，
故答案為：5a+b．
三、計算題（本大題共2題，19題14分，20題8分，共22分）
19．（14分）計算下列各題
（1）27÷(-3)2-(-12)3×（﹣2）；
（2）5325-(-19)-21+4635-14+21；（要求用簡便方法計算）
（3）先化簡，再求值：3b3-a2-2(2a2-3ab2)+6(a2-12b3)，其中a＝2，b＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝27÷9﹣（-18）×（﹣2）
＝3-14
=114；
（2）原式＝5325+19+（﹣21）+4635+（﹣14）+21
＝（5325+4635）+[19+（﹣14）]+[（﹣21）+21]
＝100+5+0
＝105；
（3）原式＝3b3﹣a2﹣4a2+6ab2+6a2﹣3b3
＝6ab2+a2，
當(dāng)a＝2，b＝﹣1時，
原式＝6×2×（﹣1）2+22
＝6×2×1+4
＝12+4
＝16．
20．（8分）解下列方程：
（1）4(x+12)=23-3x；
（2）x+54-1=2x+13．
【解答】解：（1）4(x+12)=23-3x，
去括號，得4x+2＝23﹣3x，
移項，得4x+3x＝23﹣2，
合并同類項，得7x＝21，
系數(shù)化為1，得x＝3；
（2）x+54-1=2x+13，
去分母，得3（x+5）﹣12＝4（2x+1），
去括號，得3x+15﹣12＝8x+4，
移項，得3x﹣8x＝4﹣15+12，
合并同類項，得﹣5x＝1，
系數(shù)化為1，得x=-15．
四、解答題（本大題共2題，21題5分，22題6分，共11分）
21．（5分）如圖，已知直線l和直線l外三點A，B，C，請按下列要求作圖：
（1）作射線AB；
（2）連接BC；
（3）在射線AB上取一點D，使AD＝AB+2BC；（請用尺規(guī)作圖，不寫作法和結(jié)論）
（4）在直線l上確定一點E，使得AE+CE最短．（請保留作圖痕跡）

【解答】解：（1）（1）如圖，射線AB為所作；
（2）如圖，線段BC為所作；
（3）如圖，點D為所作；
（4）如圖，點E為所作．

22．（6分）某初中開展“陽光體育一小時”活動，根據(jù)學(xué)校實際情況，決定開設(shè)踢鍵子、籃球、跳繩、健美操四種運動項目（分別用A，B，C，D表示），為了解學(xué)生最喜歡哪一種運動項目，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查（每個被調(diào)查的學(xué)生必須選擇一種且只能選擇一種）．并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調(diào)查學(xué)生 　200　名；
（2）請補全條形統(tǒng)計圖，并求扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若該校有1500名學(xué)生，喜歡籃球運動的學(xué)生約有多少名？
【解答】解：（1）本次共調(diào)查學(xué)生30÷15%＝200（名），
故答案為：200；
（2）B項目對應(yīng)的人數(shù)為200×30%＝60（名），
補全圖形如下：

扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為360°×70200=126°；
（3）喜歡籃球運動的學(xué)生約有1500×30%＝450（名）．
五、解答題（本大題共2題，23題6分，24題8分，共14分）
23．（6分）如圖，在一條道路的同側(cè)有A，B，C，D四個小區(qū)，其中A與B相距xm，B與C相距150m，C與D相距xm，某公司的員工住在A小區(qū)的有20人，B小區(qū)的有6人，C小區(qū)的有15人，D小區(qū)的有8人．
（1）該公司計劃在B，C小區(qū)的位置任選一個作為班車?？奎c，設(shè)所有員工步行到B，C小區(qū)的路程總和分別為s1，s2，試求s1，s2；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）為了使所有員工步行到班車?？奎c的路程總和最小，那么?？奎c的位置應(yīng)該選在B小區(qū)還是C小區(qū)？請說明理由．

【解答】解：（1）當(dāng)?？奎c的位置選在B小區(qū)時，s1＝20x+15×150+8（x+150）＝（28x+3450）m，
當(dāng)?？奎c的位置選在C小區(qū)時，s2＝20（x+150）+6×150+8x＝（28x+3900）m；
（2）選B小區(qū)，
理由：∵x＞0，
∴28x+3450＜28x+3900，
∴當(dāng)?？奎c的位置選在B小區(qū)時，使所有員工步行到班車?？奎c的路程總和最小．
24．（8分）某口罩廠從相距365km的A地采購了一批生產(chǎn)設(shè)備，用一輛貨車以60km/h的平均速度將設(shè)備從A地運回該廠所在的B地．為了盡快投入生產(chǎn)，在貨車出發(fā)前1h，該口罩廠派一輛轎車前往A地接技術(shù)人員來廠調(diào)試設(shè)備．已知轎車以110km/h的平均速度沿同一條公路從B地前往A地，到達A地后（在A地停留時間忽略不計）立即按原路原速返回．問貨車與轎車在途中相遇幾次？相遇時貨車出發(fā)的時間是多少？（要求用方程解決問題）
【解答】解：相遇2次．設(shè)相遇時貨車出發(fā)的時間是xh，
當(dāng)轎車從B地前往A地時，貨車與轎車相遇（兩車相向而行），可列方程，得60x+110 （1+x）＝365．
解方程，得x＝1.5，
當(dāng)轎車從A地返回B地肘，轎車追上貨車（兩車同向而行），可列方程，得110 （l+x）＝365+60x，
解方程，得x＝5.1，
因為365÷60=7312＞5.1，所以1.5h和5.1h都符合題意，
答：貨車與轎車在途中相遇2次，相遇時貨車出發(fā)的時間是1.5h和5.1h．
六、解答題（本大題共2題，25題8分，26題9分，共17分）
25．（8分）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道問題產(chǎn)生了探究的興趣：
如圖1，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點．若AB＝12，AC＝8，求MN的長．

（1）根據(jù)題意，小明求得MN＝　6??；
（2）小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．
設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點（不與點A，B重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．
①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點，則MN＝　12a??；
②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點，即AM=13AC，BN=13BC，求MN的長；

③若M，N分別是AC，BC的n等分點，即AM=1nAC，BN=1nBC，則MN＝　n-1na?。?br /> 【解答】解：（1）∵AB＝12，AC＝8，
∴BC＝AB﹣AC＝4，
∵M，N分別是AC，BC的中點，
∴CM=12AC＝4，CN=12BC＝2，
∴MN＝CM+CN＝6；
故答案為：6；
（2）①∵M，N分別是AC，BC的中點，
∴CM=12AC，CN=12BC，
∴MN=12AC+12BC=12AB，
∵AB＝a，
∴MN=12a；
故答案為：12a；
②∵AM=13AC，BN=13BC，
∴CM=23AC，CN=23BC，
∴MN＝CM+CN=23AC+23BC=23AB，
∵AB＝a，
∴MN=23a；
③∵AM=1nAC，BN=1nBC，
∴CM=n-1nAC，CN=n-1nBC，
∴MN＝CM+CN=n-1nAC+n-1nBC=n-1nAB，
∵AB＝a，
∴MN=n-1na，
故答案為：n-1na．
26．（9分）如圖，已知∠AOB（45°＜∠AOB＜90°），
（1）以O(shè)B為邊作∠BOC，使∠BOC＝90°﹣∠AOB，在給出的圖形中畫出滿足條件的所有∠BOC；（請利用具角器和直尺畫圖）
（2）在（1）的條件下，作∠AOC的平分線OD，
①若∠AOB＝70°，求∠AOD的度數(shù)；
②若∠AOB＝58°，則∠AOD的度數(shù)是 　45°或13°?。?br /> ③若∠AOB＝α，則∠AOD的度數(shù)是 　45°或α﹣45°?。?br />

【解答】解：（1）如圖1，∠BOC為所作；
如圖2，∠BOC為所作；

（2）①當(dāng)射線OC在∠AOB的外部，如圖1，
∵∠BOC＝90°﹣∠AOB，
∴∠BOC+∠AOB＝90°，
即∠AOC＝90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC＝45°；
當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部，如圖2，
∵∠BOC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣70°＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=12∠AOC＝25°；
綜上所述，∠AOD的度數(shù)為45°或25°；
②當(dāng)∠AOB＝58°，
當(dāng)射線OC在∠AOB的外部時，∠AOD＝45°；
當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOD＝13°；
故答案為：45°或13°；
③當(dāng)∠AOB＝α，
當(dāng)射線OC在∠AOB的外部時，∠AOD＝45°；
當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOD＝α﹣45°．
故答案為：45°或α﹣45°．

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