專題17 同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式-【巔峰課堂】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第一冊）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題17 同角三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式

目錄
【題型一】誘導(dǎo)公式 1
【題型二】三角函數(shù)的正負(fù) 3
【題型三】半角等三角函數(shù)正負(fù) 5
【題型四】同角1：點坐標(biāo)求三角函數(shù) 7
【題型五】同角2：有三角函數(shù)求點坐標(biāo) 8
【題型六】同角3：坐標(biāo)求角 9
【題型七】同角4：單位圓上動點旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) 11
【題型八】正切與弦互化求 13
【題型九】正余弦平方關(guān)系 14
【題型十】sinxconx與 sinx conx 16
培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 17
培優(yōu)第二階——培優(yōu)拔尖練 20

【題型一】誘導(dǎo)公式
【典例分析】
若是方程的一個根，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)方程計算得到，化簡得到原式，代入數(shù)據(jù)得到答案.
【詳解】方程的兩根分別為，，則
∴原式．故選：

【提分秘籍】
誘導(dǎo)公式五、六是難點

公式五
____
____

公式六
____

【變式訓(xùn)練】
1.若角的終邊落在直線上，則_____．
【答案】或
【分析】
化簡得到，考慮角為第一或第三象限角兩種情況，計算得到答案.
【詳解】
因為角的終邊落在直線上，所以角為第一或第三象限角，

，
當(dāng)角為第一象限角時，，；
當(dāng)角為第三象限角時，，．
故答案為：或.
2.已知，則___________
【答案】
【分析】
利用誘導(dǎo)公式化簡后，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為，所以.
故答案為:
3.已知，若，則___________.
【答案】
【分析】
令，已知為奇函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
解：令，因為，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
因為，即，所以，
所以.
故答案為：

【題型二】三角函數(shù)的正負(fù)
【典例分析】
已知為終邊不在坐標(biāo)軸上的角，則函數(shù)的值域是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按角在第一、二、三、四象限，分類討論得到的符號，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，若角為第一象限角，可得，則；
若角為第二象限角，可得，則；
若角為第三象限角，可得，則；
若角為第四象限角，可得，則，
所以函數(shù)的值域為.
故選D.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
結(jié)合三角函數(shù)課本上圖像，可以有如下口訣記憶：
三角函數(shù)符號判斷口訣：一正二正弦，三切四余弦

【變式訓(xùn)練】
1.．若，且，則是（????）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】根據(jù)已知得到，且，即得解.
【詳解】解：因為，，所以，且，
故a是第四象限角．故選：D
2.若點P的坐標(biāo)為，則點P在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
利用終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍，把大角變小角，從而判定角的終邊在第三象限，根據(jù)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的正負(fù)，確定點P的位置.
【詳解】
因為，所以角的終邊在第三象限，所以，，所以點P在第三象限．
故選：C
3.給出下列各三角函數(shù)值：
①；②；③；④．
其中符號為負(fù)的有（）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】
確定各角所在象限，然后由象限角的三角函數(shù)值符號判斷．
【詳解】
因為－100°角是第三象限角，所以；因為－220°角是第二象限角，所以；因為，所以角－10是第二象限角，所以；．所以符號為負(fù)的有4個，
故選：D．

【題型三】半角等三角函數(shù)正負(fù)
【典例分析】
設(shè)角屬于第二象限，且，則角屬于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)為第二象限角可求得為第一或第三象限角，由可得結(jié)果.
【詳解】為第二象限角，，
；
當(dāng)時，為第一象限角；當(dāng)時，為第三象限角；
為第一或第三象限角；
，，為第三象限角.故選：C.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
半角與倍角，可以通過角度所在象限不等式組來討論

【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)，如果且，則的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限符號判斷．
【詳解】，
，則，所以，
，則，所以．
故選：D．
2.若是第四象限角，則點在（????）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件確定的范圍，再求出的符號即可判斷作答.
【詳解】因為是第四象限角，即，，
所以，．
當(dāng)時，，，此時是第二象限角，
則，，點P在第三象限；
當(dāng)時，，，此時是第四象限角，
則，，點P在第四象限．
所以點P在第三或第四象限．
故選：C.
3，若為第一象限角，則，，，中必定為正值的有（）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，是第一或二象限角，且為第一或三象限角，由此結(jié)合正、余弦函數(shù)在各個象限的符號規(guī)律，不難得到本題的答案．
【詳解】解：因為為第一象限角，所以為第一或二象限角，
可得：，而符號不確定，
又為第一或三象限角，
，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，它們的符號均不確定
綜上所述，必定為正值的只有一個
故選：．

【題型四】同角1：點坐標(biāo)求三角函數(shù)
【典例分析】
角的終邊所在直線經(jīng)過點，則有
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由角的終邊所在直線經(jīng)過點，得到的終邊在第二象限或第四象限，分類討論，利用三角函數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】由題意，角的終邊所在直線經(jīng)過點，可得的終邊在第二象限或第四象限，
又由，
當(dāng)?shù)慕K邊在第二象限時，取點時，
可得；
當(dāng)?shù)慕K邊在第四象限時，取點時，
可得，
所以.
故選D.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
任意角的三角函數(shù)的定義
條件
如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點

定義
正弦函數(shù)
把點P的縱坐標(biāo)_y_叫做的正弦函數(shù)，記作，即
余弦函數(shù)
把點P的橫坐標(biāo)x叫做的余弦函數(shù)，記作，即_
正切函數(shù)
把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記作，即_
三角函數(shù)
正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)

【變式訓(xùn)練】
1.若角的終邊落在直線上，則的值等于
A．0 B． C．2 D．或2
【答案】A
【分析】由角的終邊落在直線上，則角的終邊落在第二象限或第四象限，分類討論，利用三角函數(shù)的定義，求得的值，代入即可求解．
【詳解】由題意，若角的終邊落在直線上，則角的終邊落在第二象限或第四象限，
當(dāng)角的終邊在第二象限時，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則；
當(dāng)角的終邊在第四象限時，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，
則，故選A.
2.已知點是角終邊上一點，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出點P到原點的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.
【詳解】依題意點P的坐標(biāo)為，，；
故選：D.
3.已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（????）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的定義可得，，，將其代入即可求解.
【詳解】由，得，，，代入原式得．
故選：A

【題型五】同角2：有三角函數(shù)求點坐標(biāo)
【典例分析】
已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，若是角終邊上一點，且，則（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到方程，解得即可.
【詳解】解：因為，是角終邊上一點，所以，
由三角函數(shù)的定義，得，解得（正值舍去）.
故選：B
【變式訓(xùn)練】
1.已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)定義求得值．
【詳解】由題意，解得．
故選：C．
2.已知角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)的a值是（）
A． B． C．或 D．1
【答案】B
【分析】由題設(shè)可得且，求解即可.
【詳解】由題設(shè)，且，即，
∴，則，解得或，
綜上，.故選：B.
3.已知角的終邊過點，且，則的值為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為角的終邊過點，所以，，解得，故選B.

【題型六】同角3：坐標(biāo)求角
【典例分析】

已知角的終邊上一點的坐標(biāo)為，則角的最小正值為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】點的坐標(biāo)可化為，可得出所在象限以及具體角度.
【詳解】，角的終邊上點的坐標(biāo)為，
可得角為第四象限角，且，所以.故選：B
【變式訓(xùn)練】
1.已知角，角，終邊上有一點，則（）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先確定點所在的象限，再根據(jù)，即可判斷的值.
【詳解】因為，所以，即點在第三象限，
且，且，所以.故選：D
2.已知點在第三象限，則的取值范圍是（）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用已知條件得到，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，求出，即可得出答案.
【詳解】在第三象限，
，
，，，
．故選：D.
3..已知點在第一象限，則在內(nèi)的的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由第一象限點的坐標(biāo)的符號列出三角函數(shù)的不等式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解，結(jié)合，求出角的取值范圍．
【詳解】由已知點在第一象限得：
，，即，，
當(dāng)，可得，．
當(dāng)，可得或，．
或，．
當(dāng)時，或．，或．故選：B．

【題型七】同角4：單位圓上動點旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)
【典例分析】
如圖，一個質(zhì)點在半徑為1的圓O上以點P為起始點，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，由該質(zhì)點到軸的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式是（）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根據(jù)圖象理解秒后，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點的縱坐標(biāo)和該質(zhì)點到軸的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式.
【詳解】由題意可知點運(yùn)動的角速度是（弧度/秒）那么點運(yùn)動秒后，
又三角函數(shù)的定義可知，點的縱坐標(biāo)是，
因此該質(zhì)點到軸的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式是.故選：A

【變式訓(xùn)練】
1.已知某質(zhì)點從平面直角坐標(biāo)系中的初始位置點，沿以為圓心，4為半徑的圓周按逆時針方向勻速運(yùn)動到點，設(shè)在軸上的射影為，則點的坐標(biāo)為（????）
A．???? B．???? C．???? D．
【答案】C
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.
【詳解】由三角函數(shù)的定義得，點的坐標(biāo)為.
故選：C.
2.在直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的正半軸，頂點為坐標(biāo)原點，已知角的終邊與單位圓交于點，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點，若，則（???）
A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.8
【答案】B
【分析】已知角的終邊與單位圓交于點，且，利用三角函數(shù)的定義，求出，得出在第四象限，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點，
可知點在第一象限，則，再利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡計算，即可求出的值.
【詳解】解：已知角的終邊與單位圓交于點，且，
則，解得：，所以在第四象限，角為第四象限角，
繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)與單位圓交于點，可知點在第一象限，則，
所以，即：，解得：.故選：B.
3.如圖所示，已知軸上一點按逆時針方向繞原點做勻速圓周運(yùn)動，1秒鐘時間轉(zhuǎn)過角，經(jīng)過2秒鐘點在第三象限，經(jīng)過14秒鐘，與最初位置重合，則角的弧度數(shù)為　　

A． B． C．或 D．無法確定
【答案】C
【分析】經(jīng)過2秒鐘后點轉(zhuǎn)過角，推導(dǎo)出，從而．再由，能求出．
【詳解】秒鐘時間點轉(zhuǎn)過角．經(jīng)過2秒鐘后點轉(zhuǎn)過角，
又2秒鐘后點在第三象限．，．
又經(jīng)過14秒鐘，點與最初位置重合．．
又，或，或．故選：C．

【題型八】正切與弦互化求
【典例分析】

已知為第一象限角，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】由為第一象限角，，得，故，故.
故選：A.

【提分秘籍】
基本規(guī)律
商數(shù)關(guān)系：＝tan α (又叫切弦互化式)
正余弦與正切互化，可以借助定義，也可以借助平方關(guān)系
，
必要時可以讓學(xué)生畫小直角三角形，直接比例轉(zhuǎn)化：

【變式訓(xùn)練】
1.．若，且為第四象限角，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【詳解】由于，且為第四象限角，
所以，.故選：D
2.已知是第三象限角，且，則
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系列出方程組即可求出結(jié)果.
【詳解】由可得聯(lián)立，又因為是第三象限角，
解得。故選
3.已知，，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，并由已知得出，結(jié)合平方關(guān)系求得后可得的值．
【詳解】由，得．又，所以，．結(jié)合得，，所以．
故選：B．
【題型九】正余弦平方關(guān)系
【典例分析】
.已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用算出，然后利用平方差公式對進(jìn)行化簡即可得到答案
【詳解】解：因為，且，所以，
所以，
故選：A

【提分秘籍】
基本規(guī)律
平方關(guān)系： sin2 α＋cos2 α＝1 (又叫 1的代換式)

【變式訓(xùn)練】
1.已知，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出的值，代值計算即可得出所求代數(shù)式的值.
【詳解】因為，則，
因此，.
故選：A.
2.已知是第四象限角，且，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與條件可求得的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以，即，
整理得，
解得或 (舍去)，
又因為是第四象限角，所以，故，
所以.
故選：C.
3.已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知結(jié)合求得即可求出.
【詳解】因為，，
則可解得，所以.
故選：A.

【題型十】sinxconx與 sinx conx
【典例分析】
已知，，則的值為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出，再根據(jù)得到，進(jìn)而可得所求值．
【詳解】由題意得，
∵，∴，∴．故選B．

【提分秘籍】
基本規(guī)律
已知中的一個可以求出其他兩個，其中關(guān)鍵是根據(jù)的范圍得到這三個值的符號，

【變式訓(xùn)練】
1..已知，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的正負(fù)，可得，從而求出的值.
【詳解】因為，所以，即，所以.
因為，所以，所以.
因為，
所以.故選：D
2.已知，，則的值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，即得解.【詳解】因為，
所以，所以，所以或，
因為，所以，.所以.故選：D
3..已知，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由求出，再由，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，即，
所以，
因此.故選:B

分階培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練
1．若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用，結(jié)合即可得到答案.
【詳解】因為，，所以.
故選：B
【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.
2．已知點是角終邊上一點，則下列三角函數(shù)值中正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)點是角終邊上一點，利用三角函數(shù)定義求解.
【詳解】因為點是角終邊上一點，
原點到點P的距離為5，
所以，，
故選：B.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．設(shè)角的終邊與單位圓相交于點，則的值是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)定義可知，，代入所求式子中計算即可.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，知，，所以.
故選：C
【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.
4．若，則點必在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由的范圍，判斷的正負(fù)，即可得出結(jié)論.
【詳解】，
點在第四象限.
故選：D.
【點睛】本題考查三角函數(shù)值的符號，屬于基礎(chǔ)題.
5．已知，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意建立有關(guān)和的方程組，解出和的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出結(jié)果.
【詳解】，，，
由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，解得，
因此，.
故選：C.
【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值，解題的關(guān)鍵就是建立有關(guān)和的方程組，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6．已知角的終邊過點，且，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可得，由此得出的值.
【詳解】解：角的終邊過點，即，
又，
角的終邊在第三象限，則，
，
由，解得．
故選：A．
【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)定義，屬于基礎(chǔ)題.
7．化簡后等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡式子，再根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)去絕對值即可.
【詳解】.
故選：A
【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系及正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
8．若角的終邊經(jīng)過，則下列值不存在的是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義判斷．
【詳解】角的終邊過點，，由，，，知題中不存在．
故選：C．
【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
9．的值
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不小于0
【答案】A
【解析】確定各個角的范圍，由三角函數(shù)定義可確定正負(fù)．
【詳解】∵，∴，，，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查各象限角三角函數(shù)的符號，掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．
10．已知角，角的終邊經(jīng)過點，則
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值求出A點坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)定義可得角.
【詳解】，，
，
.
又，.
故選：D.
【點睛】本題考查角的概念，屬于基礎(chǔ)題.

培優(yōu)第二階——培優(yōu)拔尖練
1．設(shè)是第二象限角，且滿足，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)是第二象限角，得到，再由平方求解.
【詳解】解：因為是第二象限角，即，
則，
當(dāng)k為偶數(shù)時，，當(dāng)k為奇數(shù)時，，
由平方得
，
即，
所以，
故答案為：
2．已知，則________.
【答案】或
【分析】利用平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)換求解即可得的值.
【詳解】解：將兩邊平方得，
所以，所以
分式上下同除得：
整理得：，解得：或
故答案為: 或.
3．，，則的值為__________.
【答案】#0.3
【分析】利用“1”的代換，構(gòu)造齊次式方程，再代入求解.
【詳解】，

故答案為：．
4．已知是第四象限角，為其終邊上一點，且，則=______
【答案】5
【分析】利用終邊上的點坐標(biāo)表示，計算可得，故，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，代入即得解
【詳解】由條件可知，，
所以，
解得：，
所以，
.
故答案為：5
5．已知角為第一象限角，其終邊上一點滿足，則________．
【答案】1
【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)化簡可得，再由三角函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】由題意知，，
即，
化簡得，
則
故答案為：1
6．已知為第二象限角，則的值是__________．
【答案】1
【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，為第二象限角，可得，
則
.
故答案為：1.
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，
7．化簡_____________．
【答案】
【分析】首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，進(jìn)一步利用求得結(jié)果
【詳解】解：

故答案為：
8．已知，且，則=______
【答案】
【分析】利用平方關(guān)系求得，進(jìn)而求得，再展開代入求解即可
【詳解】
則
故
故答案為
9．在角的終邊上任取一點，記，在已知的6個三角比之外定義新的三角比“”，若，則=_______.
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形求解．
【詳解】解：設(shè)在角的終邊與單位圓相交于，則，，
由題意則
即，兩邊平方得，
。

即故答案為
10．已知，，則_______.
【答案】
【分析】由，整理得，再利用三角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，即可求解得值，得到答案.
【詳解】由，可得，
即
又由，則，可得，即，
所以，所以.
故答案為.

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