2023屆上海市格致中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可求出答案．【詳解】解：向量，則，，，所以向量在向量上的投影向量為．故選：．2．甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為和,在目標(biāo)被擊中的情況下,甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,由相互獨(dú)立事件的概率公式,計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率,進(jìn)而計(jì)算在目標(biāo)被擊中的情況下,甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,記甲擊中目標(biāo)為事件A,乙擊中目標(biāo)為事件B,目標(biāo)被擊中為事件C,則；則在目標(biāo)被擊中的情況下,甲、乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算,是基礎(chǔ)題,注意認(rèn)清事件之間的關(guān)系,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式正確計(jì)算即可.屬于基礎(chǔ)題.3．函數(shù)圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有對，則的值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．無數(shù)【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)和函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，作出圖象，結(jié)合圖象求解.【詳解】函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出和函數(shù)的圖象,可從圖象確定有四個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有4對,故選:B.4．已知變量，且，若恒成立，則m的最大值為（為自然對數(shù)的底數(shù)）（    ）A．e B． C． D．1【答案】A【解析】不等式兩邊同時(shí)取對數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】，，恒成立，設(shè)函數(shù)，，，在上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，即函數(shù)的增區(qū)間是，則的最大值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是對已知等式變形，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 二、填空題5．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>_____________．【答案】##【分析】函數(shù)的定義域滿足且，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：且，解得.故答案為：6．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)_____________．【答案】【分析】求出模長，進(jìn)而得到，得到z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.7．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，己知，則_____________．【答案】5【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，即可直接求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故，解得.故答案為：.8．過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是_____________．【答案】【分析】設(shè)所求直線為，又因?yàn)?/span>過點(diǎn)，代入解出，即可求出直線方程.【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以可設(shè)為：，又因?yàn)?/span>過點(diǎn)，所以，解得：.所以：.故答案為：.9．已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．【答案】4【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.10．若在上是嚴(yán)格遞增函數(shù)，的最大值是_____.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡得，利用整體代換的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得，由可確定，由此可得的最大值.【詳解】；當(dāng)時(shí)，在上嚴(yán)格遞增，，解得：；由得：；由得：；又，，，則的最大值為.故答案為：.11．某班組織文藝晚會(huì)，準(zhǔn)備從等8個(gè)節(jié)目中選出4個(gè)節(jié)目演出，要求：兩個(gè)節(jié)目至少有一個(gè)選中，且同時(shí)選中時(shí)，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的種數(shù)為_________．【答案】【分析】由題可分兩類：一類只有一個(gè)選中，一類同時(shí)選中，然后利用分類計(jì)數(shù)原理即得.【詳解】由題可知分兩類：第一類，只有一個(gè)選中，則不同演出順序有種；第二類，同時(shí)選中利用插空法，則不同演出順序有種，所以不同演出順序的種數(shù)為.故答案為：．12．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則_______.【答案】##4.8【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差運(yùn)算公式以及變量間的方差關(guān)系公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>,所以,所以.故答案為:.13．已知具有線性相關(guān)的變量、，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若為原點(diǎn)），則_______.【答案】##-0.125【分析】根據(jù)樣本中心必在回歸直線上即可求解.【詳解】,所以,所以樣本中心為,因?yàn)闃颖局行?/span>必在回歸直線上,所以解得.故答案為：.14．是展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)，則_______.【答案】18【分析】由二項(xiàng)式定理可得展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)，然后利用裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理可得，所以展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)，則，所以，故答案為：1815．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】根據(jù)絕對值不等式求出的最小值，再根據(jù)能成立問題建立一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)榇嬖?/span>，使得，所以即解得或.故答案為：.16．正方體的棱長為2，在、、、、、這六個(gè)頂點(diǎn)中，選擇兩個(gè)點(diǎn)與、構(gòu)成正三棱錐，在剩下的四個(gè)頂點(diǎn)中選擇兩個(gè)點(diǎn)與、構(gòu)成正三棱錐，表示與的公共部分，則的體積為________. 【答案】【分析】根據(jù)題意找到兩個(gè)正三棱錐，再確定公共部分，根據(jù)椎體的體積公式求解.【詳解】由題意知,分別為三棱錐和三棱錐,設(shè)平面和平面交線為,則為四面體,取的中點(diǎn)為,連接,可得,所以平面,則的體積為,故答案為:. 三、解答題17．在數(shù)列和中，，， ，，等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的值．【答案】(1),；(2). 【分析】（1）根據(jù)等差和等比數(shù)列通項(xiàng)的求法得到，；（2），，可得到，進(jìn)而求出參數(shù)值.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． 所以，即．  因?yàn)?/span>，，且，，                所以，．       因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，  所以數(shù)列的公比，                           所以，即．（2）解：因?yàn)?/span>，，所以．                                  所以．                                因?yàn)?/span>，所以，解得． 所以18．為了求一個(gè)棱長為的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計(jì)如下解法：構(gòu)造一個(gè)棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.(1)類似此解法，如圖2，一個(gè)相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為、、，求此四面體的體積；(2)對棱分別相等的四面體中，，，.求證：這個(gè)四面體的四個(gè)面都是銳角三角形.【答案】(1)2；(2)證明見解析. 【分析】（1）設(shè)四面體所在長方體棱長分別為，，，則長方體的對角線長分別為，，，利用勾股定理列方程求出，，，使用做差法求出四面體體積．（2）在四面體中，由已知可得四面體的四個(gè)面為全等三角形，設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，證明為銳角三角形，即可證明這個(gè)四面體的四個(gè)面都是銳角三角形.【詳解】（1）由于四面體的對棱分別相等，結(jié)合長方體的面對角線性質(zhì)，可以將其置于長方體中，使其頂點(diǎn)與長方體頂點(diǎn)重合，如下圖：設(shè)此四面體所在長方體的棱長分別為，，，則，解得四面體的體積．（2）在四面體中，，，，如下圖，將四面體放置長方體中，使其頂點(diǎn)與長方體頂點(diǎn)重合四面體的四個(gè)面為全等三角形，即只需證明一個(gè)面為銳角三角形即可．設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，則，，，，，，為銳角三角形，則這個(gè)四面體的四個(gè)面都是銳角三角形.19．春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策” .某路橋公司為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9：20~10：40這一時(shí)間段內(nèi)有600輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9：20~9：40記作區(qū)間，9：40~10：00記作，10：00~10：20記作，10：20~10：40記作，例如：10點(diǎn)04分，記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車在9：20~10：40時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，記X為9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，估計(jì)在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.【答案】(1)(2)分布列見解析，(3) 【分析】（1）將直方圖中每個(gè)小長方形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)作為該組數(shù)據(jù)的代表值，頻率作為權(quán)重，加權(quán)平均即可．（2）抽樣比為，計(jì)算出各區(qū)間抽取的車輛數(shù)，找到隨機(jī)變量的所有可能的取值，計(jì)算出每個(gè)對應(yīng)的概率，列分布列，求期望即可．（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出方差，再結(jié)合（1）求出的期望，得到，再根據(jù)其對稱性處理即可．【詳解】（1）解：這600輛車在時(shí)間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值為，即（2）解：結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在前通過的車輛數(shù)就是位于時(shí)間分組中在，這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即，所以的可能的取值為0，1，2，3，4．所以，，，，，所以的分布列為：01234 所以．（3）由（1）得，，所以，估計(jì)在之間通過的車輛數(shù)也就是在，通過的車輛數(shù)，由，，得，所以估計(jì)在在之間通過的車輛數(shù)為輛．20．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，三角形面積的最大值是3．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）根據(jù)三角形面積的最大值求解出的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）分別考慮直線的斜率是否為零，當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用向量的數(shù)量積以及韋達(dá)定理證明為定值；當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)直接計(jì)算出的值即可.【詳解】解：（Ⅰ）由題意知，當(dāng)P點(diǎn)位于橢圓C短軸端點(diǎn)時(shí)，三角形的面積S取最大值，此時(shí)．所以，即，解得．故橢圓C的方程為．（Ⅱ）（方法1）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：交橢圓于． 由消去x得，．則．而，所以．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，則．故為定值，且為．（方法2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：交橢圓于．由消去y得，．則，．而．所以．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可求得，則．故為定值，且為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題第二問的關(guān)鍵在于聯(lián)立思想的使用以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得到對應(yīng)韋達(dá)定理形式，而向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的韋達(dá)定理形式，由此將兩者結(jié)合在一起進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.21．定義可導(dǎo)函數(shù)在x處的彈性函數(shù)為，其中為的導(dǎo)函數(shù)．在區(qū)間D上，若函數(shù)的彈性函數(shù)值大于1，則稱在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間D也稱作的彈性區(qū)間．（1）若，求的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)；（2）對于函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的彈性區(qū)間D；（ⅱ）若在（i）中的區(qū)間D上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.【分析】（1）由，可得，根據(jù)題設(shè)條件，即可求得的彈性函數(shù)及彈性零點(diǎn)；（2）（ⅰ）函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)是彈性函數(shù)，得出不等式組，進(jìn)而求得函數(shù)的彈性區(qū)間；（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，則，令，解得，所以彈性函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，函數(shù)是彈性函數(shù)，此不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組：（Ⅰ） 或（Ⅱ），因?yàn)?/span>①對應(yīng)的函數(shù)就是，由，所以在定義域上單調(diào)遞增，又由，所以①的解為；由可得，且在上恒為正，則在上單調(diào)遞增，所以，故②在上恒成立，于是不等式組（Ⅰ）的解為，同①的解法，求得③的解為；因?yàn)?/span>時(shí)，④，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）無實(shí)數(shù)解，綜上，函數(shù)的彈性區(qū)間.（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，則，而，由（ⅰ）可知，在上恒為正，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題． 

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