內(nèi)江六中2022—2023學年（上）高2023第三次月考理科數(shù)學試題考試時間：120分鐘        滿分：150分命題人：田顯國  蘭婷    審題人：李世和  蘭婷第Ⅰ卷  選擇題（滿分60分）一、選擇題（每題5分，共60分）1. 已知集合，，，，則等于　　A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分別求出與中函數(shù)的值域確定出與，求出兩集合的交集即可．【詳解】解：由中的函數(shù)，，得到，即，由中的函數(shù)，，得到，即，，則．故選：．2. 已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法運算將復數(shù)表示為一般形式，即可得出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】，因此，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，同時也考查了復數(shù)的幾何意義，解題的關鍵就是利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)化為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題.3. 數(shù)列中，，，若，則（    ）A. 10 B. 9 C. 11 D. 8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關系求得，由此列方程求得.【詳解】，令，則，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，由得.故選：B4. 割圓術是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率為，在半徑為的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】計算出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，然后利用幾何概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】圓內(nèi)接正十二邊形的每條邊在圓內(nèi)所對的圓心角為，所以，半徑為的圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，因此，在半徑為的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為.故選：B.【點睛】本題考查利用幾何概型的概率公式計算概率，解題的關鍵就是求出相應平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.5. 函數(shù)在處的切線如圖所示，則（    ）A. 0 B.  C.  D. -【答案】A【解析】【分析】根據(jù)切線過和，利用斜率公式求得，寫出切線方程，再令，求得即可.【詳解】因為切線過和，所以，所以切線方程為，令，則，所以，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.6. 已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．7. 在中，若，則一定是（    ）A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 等邊三角形【答案】B【解析】【分析】利用化簡可得，即可判斷.【詳解】，，即，，，即，所以一定是等腰三角形.故選：B.8. 已知函數(shù)，若.且，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】畫出的圖象，數(shù)形結合可得，，然后利用基本不等式即可求出答案【詳解】的圖象如下：因為.且所以且所以，所以所以當且僅當，即時等號成立故選：B【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了基本不等式的運用，用到了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.9. 設函數(shù)，=（    ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式、對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】，，，所以.故選：C10. 已知函數(shù)與圖象上存在關于軸對稱的點，則的取值范圍是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【詳解】由題可得存在滿足,令,因為函數(shù)和在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的,所以函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,又因為趨近于時,函數(shù)且在上有解(即函數(shù)有零點),所以,故選：B.考點：指對數(shù)函數(shù) 方程 單調(diào)性11. 已知關于x的不等式-x- alnx≥1對于任意x∈(l，+∞)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為A. （-∞，1-e] B. （-∞，-3] C. （-∞，-2] D. （-∞，2- e2]【答案】B【解析】【分析】化簡得到，根據(jù)化簡得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.設，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故.根據(jù)，，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)，利用不等式化簡是解題的關鍵.12. 已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，已知時，，若，，，則的大小關系為A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結合函數(shù)的周期性進行轉(zhuǎn)化判斷即可．【詳解】為定義在R上奇函數(shù)，且滿足，，則，即，則函數(shù)的周期是4，時，，增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，，，，，即，故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，結合函數(shù)的奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期是解決本題的關鍵．有一定的難度．第Ⅱ卷  非選擇題（滿分90分）二、填空題（每題5分，共20分）13. 在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是________．【答案】10【解析】【詳解】分析：先根據(jù)二項展開式的通項公式求含的項的項數(shù)，再確定對應項系數(shù).詳解： ，所以令得 ，即含的項的系數(shù)是點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù). 14. 設，向量，且，則_______________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出的值，再求得解.【詳解】因為，所以,所以，所以，所以.故答案為：.15. 已知函數(shù)有兩個零點，a的取值范圍是_____；【答案】【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再對參數(shù)分類討論，結合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點，即可得到所求范圍．【詳解】解：因為所以．（i）設，則，只有一個零點．（ii）設，則當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存兩個零點．（iii）設，由得或．若，則，故當時，，因此在上單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．若，則，故當時，；當時，．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．綜上可得的取值范圍為．故答案為：16. 設函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調(diào)遞增④的取值范圍是其中所有正確結論的編號是______. 【答案】①③④【解析】【分析】對①②可以通過作圖判別，對于④令，根據(jù)題意得到不等式，解出范圍即可，對于③證明出當時,即可.【詳解】已知在有且僅有5個零點，如圖，其圖象的右端點的橫坐標在上,此時在有且僅有3個極大值點,但在可能有2或3個極小值點,所以①正確, ②不正確;令,且,在上有且僅有5個零點,在上有且僅有5個零點,,故④正確.當時,,又,,在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增,故③正確.故答案為：①③④【點睛】關鍵點睛：令,利用整體思想將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為來研究.(2)當時,的圖象可由的圖象經(jīng)過平移、伸縮變換得到,的增、減區(qū)間可通過討論的增、減區(qū)間得到.三、解答題（共70分）（一）必考題（共60分）17. 已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋x.（1）求曲線y＝f(x)的斜率為1的切線方程；（2）當x∈[－2，4]時，求證：x－6≤f(x)≤x.【答案】（1）y＝x與y＝x－；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對f(x)求導，求出曲線y＝f(x)的斜率為1時切線方程所經(jīng)過的切點，從而求出答案;（2）構造g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]，利用導函數(shù)求出g(x)的最值，從而得出結論.【詳解】（1）由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.又f(0)＝0，所以曲線y＝f(x)的斜率為1的切線方程是y＝x與，即y＝x與y＝x－.（2）證明：令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0得x＝0或x＝.g′(x)，g(x)的情況如下： x－2(－2，0)0(0, )(,4)4g′(x) ＋0－0＋ g(x)－6增0減－增0所以g(x)的最小值為－6，最大值為0.故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.【點睛】本題考查求曲線某點的切線方程以及利用導函數(shù)求函數(shù)的最值，屬于基礎題.18. 隨著新冠疫情防控進入常態(tài)化，人們的生產(chǎn)生活逐步步入正軌．為拉動消費，某市政府分批發(fā)行2億元政府消費券．為了解政府消費券使用人群的年齡結構情況，在發(fā)行完第一批政府消費券后，該市政府采用隨機抽樣的方法在全市市民中隨機抽取了200人，對是否使用過政府消費券的情況進行調(diào)查，部分結果如下表所示，其中年齡在45歲及以下的人數(shù)占樣本總數(shù)的，沒使用過政府消費券的人數(shù)占樣本總數(shù)的． 使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計45歲及以下90  45歲以上   總計  200 （1）請將題中表格補充完整，并判斷是否有90%的把握認為該市市民是否使用政府消費券與年齡有關？（2）現(xiàn)從45歲及以下的樣本中按是否使用過政府消費券進行分層抽樣，抽取8人做進一步訪談，然后再從這8人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷，記使用過政府消費券的人數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布列與期望．附：，其中．0.150.100.0500252.0722.7063.8415.024 【答案】（1）表格見解析，有90%的把握    （2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件填寫列聯(lián)表，計算的值，由此做出判斷.（2）結合超幾何分布的知識計算出分布列并求得數(shù)學期望.【小問1詳解】由題意得，總?cè)藬?shù)為200人，年齡在45歲及以下的人數(shù)為人，沒使用過政府消費券的人數(shù)為人，完成表格如下： 使用過政府消費券沒使用過政府消費券總計45歲及以下903012045歲以上503080總計14060200由列聯(lián)表可知，因為3.571＞2.706，所以有90%的把握認為該市市民是否使用政府消費券與年齡有關.【小問2詳解】由題意可知，從45歲及以下的市民中采用分層抽樣的方法可以抽取使用過政府消費券的市民6人∵X是使用過政府消費券的人數(shù)，∴X＝1，2，3，，，，故隨機變量X的概率分布列為：X123其期望為.19. 已知數(shù)列滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)證明： .【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【解析】【詳解】試題分析：本題第（1）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項公式；對第（2）問，可先由第（1）問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式.試題解析：（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項為，公比為3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因為當時，，所以，于是=，所以.易錯點】對第（1）問，構造數(shù)列證明等比數(shù)列不熟練；對第（2）問，想不到當時，，而找不到思路，容易想到用數(shù)學歸納法證明而走彎路.考點：本小題考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列通項公式的求解、數(shù)列中不等式的證明等基礎知識，考查同學們的邏輯推理能力，考查分析問題與解決問題的能力.數(shù)列是高考的熱點問題之一，熟練數(shù)列的基礎知識是解決好該類問題的關鍵. 20. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，角的對邊分別為.若，，求的面積的取值范圍.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式可得，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由可得，所以，，結合，進一步可得，即可得到答案.【詳解】（1）∴的周期，由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）∵，即，又，∴，由正弦定理有∴∵，∴∴.【點睛】本題考查三角恒等變換在三角函數(shù)以及解三角形中的應用，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.21. 函數(shù)，．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當，時，恒成立，求正整數(shù)m的最大值．【答案】（1）答案見解析    （2）3【解析】【分析】（1）先求得，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）由分離常數(shù)，然后通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)求得的取值范圍，進而求得正整數(shù)的最大值.【小問1詳解】函數(shù)定義域是，，①當時，，當時，，即函數(shù)的減區(qū)間為，無遞增區(qū)間；②當時，，令有；又∵  ∴，，此時函數(shù)的減區(qū)間為和，增區(qū)間為，綜上所述，①當時，函數(shù)的減區(qū)間為，無遞減區(qū)間；②當時，函數(shù)的減區(qū)間為和，增區(qū)間為.【小問2詳解】∵，時，恒成立，∴在恒成立，令，，∴，∵ ，∴.令，則，∴在為增函數(shù)，∵在上是連續(xù)曲線且，，∴使得，即，，當時，，即，即函數(shù)在單調(diào)遞減；當時，，即，即函數(shù)在單調(diào)遞增，∴，∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴當時，不等式在恒成立，故滿足條件的正整數(shù)的最大值是3.【點睛】本題有兩個關鍵點，一個是含有參數(shù)的函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，另一個是多次求導來求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.前者分類討論要做到不重不漏，后者要注意原函數(shù)和導函數(shù)之間的對應關系.（二）選考題（10分）請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為 （）.由題設知|OA|=2，，于是△OAB面積當時， S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點睛:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.23. 已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正數(shù)．（1）求證： （2）是否存在實數(shù)m，使得關于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2對所有滿足題設條件的正實數(shù)a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，m∈[－2，2].【解析】【分析】（1）利用“”的代換的方法化簡，利用基本不等式證得不等式成立.（2）首先利用基本不等式求得的最小值，然后根據(jù)一元二次不等式恒成立列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)因為a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正數(shù)，所以＋＋＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] ＝≥(3＋2＋2＋2)＝，當且僅當a＝b＝c＝1時，取等號，所以＋＋≥得證．(2)因為a＋b＋c＝3，所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)，因此a2＋b2＋c2≥3(當且僅當a＝b＝c＝1時，取等號)，所以(a2＋b2＋c2)min＝3，由題意得－x2＋mx＋2≤3恒成立，即得x2－mx＋1≥0恒成立，因此＝m2－4≤0?－2≤m≤2.故存在實數(shù)m∈[－2，2]使不等式成立．【點睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式，考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.

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