2022學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)模擬卷全卷共4頁，22題，滿分150分；考試時間120分鐘。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中有且只有一項符合題意，多選、錯選、不選均不得分。   若集合，，滿足：，則A.  B.  C.  D.    設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件   把本不同的書分給名同學(xué)，每個同學(xué)至少一本，則不同的分發(fā)數(shù)為A. 種 B. 種 C. 種 D. 種   在平面直角坐標系中，、分別是雙曲線的左、右焦點，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點，且，，則雙曲線的漸近線方程為A.  B.  C.  D.    在中， ，，則的值為A.  B.  C.  D.    已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則的值為A.  B.  C.  D.    的最小值是，則實數(shù)的取值范圍是A.  B.  C.  D.    已知，函數(shù)滿足：恒成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式中成立的是A.  B.
C.  D. 二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個選項中有多項符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯選、不選均不得分。   已知，且，則．(    )A.  B.  C.  D. 已知非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為，為坐標原點，則(    )A. 當時，
B. 當時，
C. 若，則存在實數(shù)，使得
D. 若，則定義平面斜坐標系，記，，分別為軸、軸正方向上的單位向量若平面上任意一點的坐標滿足：，則記向量的坐標為，給出下列四個命題，正確的選項是A.  若， ，則B.  若，以為圓心、半徑為的圓的斜坐標方程為C.  若，，則D.  若，記斜平面內(nèi)直線的方程為，則在平面直角坐標系下點到直 線的距離為已知橢圓的右頂點為，過右焦點的直線交橢圓于兩點，設(shè)，，，的斜率分別記為，，以下各式為定值的是A.  B.
C.  D. 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。已知隨機變量服，且，則          ．已知公差為且各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為          ．已知圓：，圓：，定點，動點分別在圓和圓 上，滿足，則線段的取值范圍___________已知實數(shù)，，，滿足，，且，則的取值范圍是          ．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（10分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知， 若為邊上一點，，，且，求 若，，為平面上一點，，其中，求的最小值． （12分）已知數(shù)列滿足，，記，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的正項等比數(shù)列，若數(shù)列中的第項是數(shù)列中的第項求數(shù)列及的通項公式．求數(shù)列的前項和． （12分）如圖所示，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路寬度不計經(jīng)過該區(qū)域，其中都在矩形的邊界上．已知，單位：百米，小路將矩形分成面積分別為，單位：平方百米的兩部分，其中，且點在面積為的區(qū)域內(nèi)，記長為百米．若，求的最大值；若，求的取值范圍． （12分）從年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴重的蝗蟲災(zāi)情．目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．平均溫度平均產(chǎn)卵數(shù)個表中，．根據(jù)散點圖判斷，與其中，為自然對數(shù)的底數(shù)哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說明理由并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．精確到小數(shù)點后第三位根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為．記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時相應(yīng)的概率；根據(jù)中的結(jié)論，當取最大值時，記該地今后年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差．
附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，． （12分）已知拋物線:經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于．
   求直線的斜率的取值范圍；
   設(shè)為原點，，，求證：為定值． （12分）已知函數(shù)．當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，探究關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)．  2022學(xué)年第一學(xué)期杭州市教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)模擬卷參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中有且只有一項符合題意，多選、錯選、不選均不得分。1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. A  二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個選項中有多項符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯選、不選均不得分。9.    10.    11.    12.   三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.      14.    15.    16.  四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. 解：由可得，即，因為，所以，因為，所以．由可得，則，因為，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得由余弦定理可得，解得．記，，則點在線段上且為的中點，記的中點為，邊上的高為，，，則．，所以的最小值為．18. 解：因為，，所以，因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．所以．由題意知，．所以，即 ，又，則．所以．又，則，則． ，                   ，   得，            ．
所以． 19. 解：依題意，折痕有下列三種情形：

折痕的端點，分別在邊，上；
折痕的端點，分別在邊，上；
折痕的端點，分別在邊，上．
在情形、中，故當時，折痕必定是情形．
設(shè)，，則  
因為，當且僅當時取等號，
所以，當且僅當時取等號．
即的最大值為                     
由題意知，長方形的面積為．
因為，，所以，．
(ⅰ)當折痕是情形時，設(shè)，，則，即．
由得．
所以， 
令，則，設(shè)，
則，令，得負舍．  所以的取值范圍為，故的取值范圍是；           
(ⅱ)當折痕是情形時，設(shè)，，
則，即．
由得．
所以，．
所以的取值范圍為；            
(ⅲ)當折痕是情形時，設(shè)，，
則，即．
由得．
所以，．所以的取值范圍為
綜上所述，的取值范圍為 20. 解：由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸類型，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，因為，，所以關(guān)于的回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為．由，
，且，當時，，當時，．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即最大值，故；由可知，當時，取最大值，又，則，由題意可知，
故，． 21. 解：Ⅰ拋物線：經(jīng)過點，，解得，
 由題意，直線的斜率存在且不為，設(shè)過點的直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，消可得，，且，解得，且，則，，又、要與軸相交，直線不能經(jīng)過點，即，故直線的斜率的取值范圍是；
Ⅱ證明：設(shè)點，，則，，因為，所以，故，同理，
直線的方程為，
令，得，同理可得，
因為，
，為定值．  22. 解：∵(，，∴
即為偶函數(shù)．
（1）當時，，當時，，所以，所以當時，f'(x)0；當時，f'(x)0；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；又根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（2）因為，所以，當a1時，f'(x)0對任意恒成立，此時在上單調(diào)遞增，又，所以關(guān)于的方程無實數(shù)根；當時，使得，即．且當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，，①當，即時，關(guān)于的方程在區(qū)間上無實數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上無實數(shù)根；②當，即時，關(guān)于的方程在區(qū)間上有1個實數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有2個實數(shù)根；綜上，當時，關(guān)于的方程在上有2個實數(shù)根；
???????當時關(guān)于的方程在上無實數(shù)根． 
數(shù)學(xué)模擬卷小題解析1. 【分析】本題考查補集以及集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意畫出圖，由圖即可得到．【解答】解：集合，，滿足：，
如圖，
．故選：．2. 【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性問題及充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)為單調(diào)減函數(shù)解出的范圍，即可判斷得結(jié)果．【解答】解：由題意可得為減函數(shù)，則，解得．故選：3. 【分析】本題考查排列組合問題中簡單的分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)題意可知其中一名同學(xué)分得兩本書，其余兩名同學(xué)各分得一本書，利用排列組合數(shù)進行計算．【解答】解：根據(jù)題意可知其中一名同學(xué)分得兩本書，其余兩名同學(xué)各分得一本書，不同的分發(fā)數(shù)為種
故選D．4. 【分析】本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于中檔題．
利用雙曲線的定義建立，，的關(guān)系即可解得答案．【解答】解：由題意可得焦點到漸近線的距離為，又因為，所以，則，，
在中由余弦定理得，代入化簡得，則漸近線方程．故選：5. 【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，以及正弦定理，屬于中檔題．
先利用兩角差的正弦公式將原式變形，再利用正弦定理化角為邊可得答案．【解答】解：因為，，則．故選：．6. 【分析】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式及分組求和，屬于綜合題．
由遞推公式確定通項公式后，再求．【解答】解：因為，所以又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，則                                        故選：．7. 【分析】本題考查分段函數(shù)的最值問題、恒成立問題及分類討論的思想，屬于綜合題．
先求出的最小值為，再將時轉(zhuǎn)化為恒成立問題．【解答】解：因為當時，，令，得，則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即函數(shù)在處取得最小值，
所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，當時，不符合．當時，對稱軸，則或解得或，所以故選：．8. 【分析】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力，難度適中.
解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是轉(zhuǎn)化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是構(gòu)造函數(shù)g（x）=cosxf（x）即可.
【解答】
解：：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x），
∴sinxf（x）＞f′（x）cosx，即sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，
令g（x）=cosxf（x），
則 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在（0，）為減函數(shù)，
∴cosf（）＞cosf（），
∴f（）＞f（），
故選A．9. 【分析】本題考查構(gòu)造新函數(shù)，由函數(shù)圖象判斷自變量的大小，屬于綜合題．
等式兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象得到與的范圍．【解答】解：兩邊取對數(shù)，得，構(gòu)造函數(shù)，則．，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
得的圖象如右所示，又，所以，．故選：10. 【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運算以及幾何意義，屬于簡單題．【解答】解：對于選項，，平方可得，項正確；對于選項，取，則，當，項錯誤；對于選項，，平方可得，即，因此存在實數(shù)，使得，項正確；對于選項，取，但，項錯誤．11. 【分析】本題考查新定義背景平面向量向量的線性運算，以及點到直線的距離公式，屬于綜合題．
根據(jù)題目的新定義對選項逐一判斷即可．【解答】解：對于選項：若， ，則；因為，所以；故A錯誤；對于選項：設(shè)以為圓心、半徑為的圓上任意一點為，因為，所以，得，，，
即故B正確；對于選項：， ，則，即，
，故C錯誤；對于選項：若，斜平面內(nèi)直線的方程為，則在直角坐標下的直線的方程為，則原點到直線的方程為故D正確．故選：12. 【分析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及應(yīng)用，屬于綜合題．
通過設(shè)直線方程聯(lián)立方程組，再借助韋達定理表示出所需驗證的代數(shù)式是否為定值．【解答】解：由已知，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，消去得：，設(shè)，，

則與有關(guān)，不是定值，故選項A錯誤．
是定值，故選項B正確．      與有關(guān)，不是定值故選項C錯誤．定值故選項D正確．故選：13. 【分析】本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
利用正態(tài)曲線關(guān)于對稱，得到與的關(guān)系．【解答】解：因為，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且，所以，所以．14. 【分析】本題考查等差數(shù)列的通項公式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
先根據(jù)得到，再借助基本不等式求的最小值．【解答】解：因為，則，化簡得因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，則，，則當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．15. 【分析】
本題主要考查了圓的方程的綜合運用，與圓有關(guān)的軌跡問題，兩點間的距公式，中點坐標公式運用，考查了分析和運算求解能力，屬于較難題．
設(shè)、，由條件可得，結(jié)合可得，代入坐標運算可得，即，設(shè)的中點為，則，利用中點坐標公式表示出點的軌跡方程，進而求出的取值范圍即可求解．
【解答】
解：
          
由題意，設(shè)、，
則，
，
，即，
，
，
，
設(shè)的中點為，則，

得：
，
即，
點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
的取值范圍為，
，
，
故答案為．16. 【分析】
本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、不等式的解法、進行簡單的演繹推理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．
先根據(jù)題意得，，，對于方程，將看成未知數(shù)，解二次方程得，由知，利用單調(diào)性結(jié)合的取值范圍，即可得出的取值范圍．【解答】
解：得，，
，設(shè)，由
知，，由，得，
當時，有當，取最大，最大值；
當時，有當，取最小，最小值；
則的取值范圍是．
故答案為．

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