浙江省強基聯(lián)盟2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期仿真模擬(二)試題（Word版附解析）

這是一份浙江省強基聯(lián)盟2023屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期仿真模擬(二)試題（Word版附解析），共24頁。試卷主要包含了全卷分試卷和答題卷，試卷共6頁，有4大題，22小題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022學(xué)年第二學(xué)期浙江強基聯(lián)盟高三仿真模擬卷（二）數(shù)學(xué)試題 考生須知：1．全卷分試卷和答題卷．考試結(jié)束后，將答題卷上交．2．試卷共6頁，有4大題，22小題．滿分150分，考試時間120分鐘．3．請將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫在試卷上無效．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分別解得集合，再由交集定義寫出.【詳解】解，得，所以，解，得，所以,所以.故選：C.2. 已知是虛數(shù)單位，，，則“”是“”的（    ）．A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)運算，由充分不必要條件的概念判斷即可.【詳解】當時，，則；反之，，若，則.所以，則，所以不一定得到.綜上：“”是“”的充分不必要條件.故選：A3. 如圖，某同學(xué)到野外進行實踐，測量魚塘兩側(cè)的兩棵大榕樹A，B之間的距離．從B處沿直線走了到達C處，測得，，則（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，且，，則，所以，，在中，由正弦定理可得，即，解得.故選:A4. 從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中隨機地取3個不同的數(shù)，3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)組合數(shù)求解總情況數(shù)，再根據(jù)古典概型的方法，列舉所有可能的情況求解即可.【詳解】從，，，，，中任取三個不同的數(shù)，共有不同的取法有種，其中這3個數(shù)最大值與最小值之差不小于4是：共10種，則3個數(shù)中最大值與最小值之差不小于4的概率為.故選：D.5. 已知平面向量，，向量，在單位向量上的投影向量分別為，，且，則可以是（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由為單位向量可得，再結(jié)合投影向量的概念、向量坐標運算以及題設(shè)所給的條件可得，從而解得與的值，即可得解.【詳解】設(shè)，由為單位向量可得，，因為向量，在單位向量上投影向量分別為，，所以，，即，，因為，，所以，，又因為，所以，即，因為，所以與不同時為0，即，則，所以，所以或.故選：C6. 中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，，、，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則圖中四面體的體積為（    ）．A.  B. 1 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可求，即與為全等的等腰三角形，取的中點，連接，構(gòu)造出平面與垂直，從而可求四面體的體積.【詳解】依題意，根據(jù)勾股定理可求，，，即與為全等的等腰三角形，取的中點，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，所以面，且，可求的高為，從而，.故選：B7. 已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的最大值為（    ）．A. 3 B. 5 C. 6 D. 7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可知直線為圖象的對稱軸，根據(jù)可得的對稱中心為，結(jié)合三角函數(shù)的周期性可得，再根據(jù)在上單調(diào)，可得，逐一驗證當取到最大值11,9,7時，求解，檢驗在上單調(diào)性看是否滿足，即可得答案.【詳解】，∴直線為圖象的對稱軸，，的對稱中心為，，，．又在上單調(diào)，．，，又，∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調(diào)，舍去；當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上不單調(diào)，舍去；∴當時，，因為直線為圖象的對稱軸，所以，，解得，，又，所以，則，當時，，則在上單調(diào).則的最大值為7．故選：D8. 下列不等式正確的是（    ）．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】A選項可找中間值2判斷；將不等式化為，數(shù)形結(jié)合可判斷B選項；構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性可判斷C；由飄帶函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】，可得，故A選項錯誤；因為在上單調(diào)遞增，并且函數(shù)圖像上凸，所以，所以，故B選項錯誤；構(gòu)造函數(shù)，，時，時函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以成立，故C選項正確；令，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以時，所以，所以，故D選項錯誤．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 已知，則下列命題中成立的是（    ）．A. 若，是第一象限角，則B. 若，是第二象限角，則C. 若，是第三象限角，則D. 若，是第四象限角，則【答案】BD【解析】【分析】舉反例判斷A，C；利用終邊相同的角的表示，結(jié)合正余弦函數(shù)以及正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，D.【詳解】對于A，不妨取，滿足題意，但是，A錯誤；對于B，設(shè),因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故，B正確；對于C，不妨取，滿足題意，而，C錯誤；對于D，設(shè)，因為，故，由于在上單調(diào)遞增，故，D正確；故選：BD10. 擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)這5次的統(tǒng)計結(jié)果，下列選項中有可能出現(xiàn)點數(shù)1的是（    ）．A. 中位數(shù)是3，眾數(shù)是2 B. 平均數(shù)是4，中位數(shù)是5C. 極差是4，平均數(shù)是2 D. 平均數(shù)是4，眾數(shù)是5【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對選項分析判斷即可【詳解】對于A，中位數(shù)是3，則這5個數(shù)從小到大排列后，第3個數(shù)是3，第1、2個數(shù)是2才能使眾數(shù)為2，故第1個數(shù)不是1，故A不正確，對于B，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于C，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；對于D，有可能出現(xiàn)點數(shù)1，例如；故選：BCD.11. 如圖，已知拋物線，過拋物線焦點的直線自上而下，分別交拋物線與圓于四點，則（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】由題知，設(shè)直線為，，，聯(lián)立方程，消去得，根據(jù)韋達定理可得，，然后根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，焦點弦性質(zhì)，均值不等式，求導(dǎo)逐個計算即可.【詳解】由拋物線方程可知，設(shè)直線為，，，聯(lián)立方程，消去得，所以，，由拋物線的定義可知，，又點是圓的圓心，所以 ，，所以，選項A正確；因為，由上述可知，，當且僅當時等號成立，所以，選項B正確；因為，由上述可知，所以，所以，其中，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，選項C錯誤；因為，由上述可知，，當且僅當，即，時等號成立，所以，選項D錯誤；故選：AB12. 若定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A. 若，，，則B. 若，則C. 若，則的圖像關(guān)于點對稱D. 若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知應(yīng)用單調(diào)性分情況可以判斷A選項，應(yīng)用單調(diào)性結(jié)合反證法可以判斷D選項，賦值法可以求出B選項，根據(jù)對稱性可以判斷C選項.【詳解】令，則，∴為奇函數(shù)，把y用代替，得到，設(shè)，，∴．又∵當時，，∴，∴在上單調(diào)遞減．∵，，當時，，則當時，則，，當時，則，．綜上，，∴A錯誤．令，得，∴，令，得，∴，∴B正確．由，得，得，又∵，為奇函數(shù)，∴，則，則的圖像關(guān)于點對稱，∴C正確．，假設(shè)，可得，即，當時，不成立得出矛盾假設(shè)不成立，∴D錯誤．故選：BC.【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)已知奇偶性結(jié)合單調(diào)性定義得出單調(diào)性，結(jié)合對稱性可以確定對稱中心進而可以解題.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13. 函數(shù)的圖象在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，所以，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故答案為：.14. 已知函數(shù)，設(shè)，則__________．【答案】【解析】【分析】先令，可求出，然后對等式兩邊同時求導(dǎo)，并賦值即可.【詳解】由，取，得到；等式兩邊同時求導(dǎo)，得到，取，得到.于是.故答案為：15. 已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，則k的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和求解.【詳解】解：因為直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，所以圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和，即，化簡得，解得，故答案為：16. 已知，為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，直線l是曲線C的切線，，分別為，在切線l上的射影，則面積的最大值為__________．【答案】##4.5【解析】【分析】取切點為P，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)設(shè)，由直角三角形三邊關(guān)系可得，，根據(jù)三角形面積公式及三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】詳解：如圖，延長至，使得，由題意可知：，故，，三點共線，因為為斜邊上的中線，故．取切點P，連接，，作．由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可設(shè)，，同理可得，由上分析可得，時取得最大值．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且．（1）求A；（2）點D在邊上，且，，求面積的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理求得A即可；（2）由向量建立等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值即可.【小問1詳解】∵，∴，即，∴，∴．小問2詳解】根據(jù)題意可得，所以平方可得．又，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，即面積的最大值為．18. 某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分．已知學(xué)生甲能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若學(xué)生甲先回答A類問題，，，，，記X為學(xué)生甲的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）從下面的兩組條件中選擇一組作為已知條件．學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學(xué)期望最大？并證明你的結(jié)論．①，；②，．【答案】（1）分布列見解析，    （2）甲同學(xué)先回答A類問題的期望大，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，求出隨機變量X的取值，利用相互對立事件的乘法公式求出隨機變量相應(yīng)取值的概率，進而求出隨機變量X的分布列，結(jié)合離散型隨機變量的均值公式即可求解；（2）選擇①，據(jù)已知條件，求出隨機變量X的分布列，結(jié)合離散型隨機變量的均值公式及作差比較法，結(jié)合離散型隨機變量的均值的意義即可求解；選擇②，據(jù)已知條件，求出隨機變量X的分布列，結(jié)合離散型隨機變量的均值公式及作差比較法，結(jié)合離散型隨機變量的均值的意義即可求解；【小問1詳解】由題意得X的可能取值為0，20，100．，，，分布列如下表：X020100P0.20.320.48．【小問2詳解】如果選擇條件①．若甲同學(xué)選擇先回答A類問題，得到對應(yīng)的分布列為0mP．若甲同學(xué)選擇先回答B類問題，得到對應(yīng)的分布列為0nP．所以，所以甲同學(xué)先回答A類問題的期望大．如果選擇條件②．若甲同學(xué)選擇先回答A類問題，得到對應(yīng)的分布列為0mP.若甲同學(xué)選擇先回答B類問題，得到對應(yīng)的分布列為0nP.所以，所以甲同學(xué)先回答A類問題期望大．19. 已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）保持中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值（用數(shù)字作答）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由，得到，求得，結(jié)合時，求得，進而得到數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)題意，得到新數(shù)列的前100項，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由數(shù)列的前n項和為，且，當時，，所以，當時，，不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為．【小問2詳解】解：保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，則新數(shù)列的前100項為3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，則．20. 如圖，在三棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）點E，F分別位于線段，上（不含端點），連接，若，直線EF與平面所成的角為，求k的值．【答案】（1）證明見解析    （2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理進行證明；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法，求平面ABC的法向量，由，求得參數(shù)k的值.【小問1詳解】證明：因為，，所以為等腰直角三角形，，又因為，，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，不妨假設(shè)，所以得到，，，，，，設(shè)，，由， 解得，則，由同理可得，則．設(shè)平面的法向量為，，，取，即.又因為與平面所成的角為，所以，故．21. 已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；（2）已知過點的直線與過點的直線的交點N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，證明為定值，并求出定值．【答案】（1）雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為    （2）證明見解析，6【解析】【分析】（1）由雙曲線過點和離心率求得的值，從而寫出雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；（2）由點在和上，得出直線的方程，然后聯(lián)立直線與漸近線方程得到P，Q兩點的坐標，利用坐標表示出，化簡即得結(jié)果.【小問1詳解】因為雙曲線經(jīng)過點，所以.又因為，所以，，所以雙曲線C的標準方程為，漸近線方程為．【小問2詳解】設(shè)點，則，即.因為為直線和直線的交點，所以，所以點都在直線上，所以所在的直線方程為，將直線與漸近線方程聯(lián)立得，解得,即，同理得，所以，因為 ，所以，所以為定值6.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22 已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，    （2）【解析】【分析】（1）先寫出定義域，然后求導(dǎo)，解不等式得出單調(diào)性；（2）時可證明在上單調(diào)并無零點，時可根據(jù)零點存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進行判斷【小問1詳解】，，則，又因為函數(shù)的定義域為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，．【小問2詳解】先證明兩個結(jié)論：時，.設(shè)，則，于是在上遞減，故，即時；設(shè)，，即在上遞增，故，即時，.令，，．①當時，，當時，，所以當時，在上無零點，舍去．②當時，，，則，所以在上單調(diào)遞增．而，，所以在上存在唯一，使得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以僅在上存在唯一零點．綜上，a的取值范圍為