?專題01 空間向量與立體幾何（知識梳理）
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重難點突破
知識點一 空間向量的概念、性質與運算
1、空間向量及其有關概念
概念
語言描述
共線向量(平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
共面向量
平行于同一個平面的向量
共線向量定理
對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量基本定理及推論
定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數(shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推論：設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內任一點P都存在唯一的三個有序實數(shù)x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2. 數(shù)量積及坐標運算
(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空間向量的坐標運算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)量積
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夾角公式
cos〈a，b〉＝
3. 直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
4. 空間位置關系的向量表示
位置關系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
5．證明空間任意三點共線的方法
對空間三點P，A，B可通過證明下列結論成立來證明三點共線：
(1)＝λ (λ∈R);
(2)對空間任一點O，＝＋t (t∈R)；
(3)對空間任一點O，＝x＋y (x＋y＝1)．
6．證明空間四點共面的方法
對空間四點P，M，A，B除空間向量基本定理外也可通過證明下列結論成立來證明四點共面：
(1) ＝x＋y；
(2)對空間任一點O，＝＋x＋y；
(3) ∥ (或∥或∥ )．
例1. （1）、（2021·廣東·佛山市南海區(qū)里水高級中學高二月考）己知空間向量，且，則實數(shù)（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】
由，得到，列出方程組，即可求解.
【詳解】
由題意，空間向量，
因為，可得，即，可得 ，解得.
故選：A.
（2）．（2021·河南·南陽中學高二月考（理））如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用空間向量的線性運算即可求解.
【詳解】
解：∵N為BC的中點，點M在線段OA上，且OM=2MA，且，，，




故選：D.
（3）．（2020·北京·大峪中學高二期中）已知，，且，那么________.
【答案】
【分析】
由已知中，，且，根據(jù)向量平行（共線）的充要條件，我們可得存在，使，構造方程組求出，x，y后，即可求出答案.
【詳解】
解：，，又，
則存在，使，即，
解得，，，，
故答案為：.
（4）．（2021·廣東·深圳市南山外國語學校高級中學高二期中）下列說法正確的是（ ）
A．任一空間向量與它的相反向量都不相等
B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點，則它們的終點構成一個圓
C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量
D．不相等的兩個空間向量的?？赡芟嗟?br /> 【答案】D
【分析】
根據(jù)空間向量的定義，從向量的大小和方向兩個方面依次判斷選項；
【詳解】
對A，零向量的相反向量是本身，故A錯；
對B，終點構成一個球，故B錯；
對C，向量不能比較大小，故C錯；
對D，相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確；
故選：D
【變式訓練1-1】、 （2021·山東煙臺·高二期中）已知向量，，若，則（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)向量平行得到，解得答案.
【詳解】
，則，即，
故，解得，故.
故選：D.
【變式訓練1-2】、（2021·天津河北·高二期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，若，則下列向量中與相等的向量是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)圖形可得，進而利用空間向量的加減法運算可得，得出結果.
【詳解】
由題意得，
.
故選：B
【變式訓練1-3】、（2021·浙江省象山縣第二中學高二期中）已知向量，，且，則______．
【答案】
【分析】
根據(jù)空間向量共線定理求解即可.
【詳解】
解：因為，，且，
所以存在非零實數(shù)使得，即
所以，解得
所以
故答案為：
【變式訓練1-4】（2021·山東·膠州市教育體育局教學研究室高二期中）下列說法正確的是（ ）
A．若，是兩個空間向量，，則不一定共面
B．
C．若P在線段AB上，則
D．在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點為
【答案】C
【分析】
根據(jù)空間向量的概念、性質和運算法則，對各選項進行判斷，即可得到結果
【詳解】
根據(jù)向量的特點，若，是兩個空間向量，則，一定共面，故選項A錯誤；
，故選項B錯誤；
若P在線段AB上，則，根據(jù)共線定理可知存在實數(shù)，使得故選項C正確；
在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點為，故選項D錯誤；
故選：C.

知識點二 求異面直線形成的角
1. 異面直線所成的角
設a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則

a與b的夾角β
l1與l2所成的角θ
范圍
(0，π)

求法
cos β＝
cos θ＝|cos β|＝

例5. （1）、（2021·安徽·屯溪一中高二期中）在邊長及對角線都為1的空間四邊形中，，分別是，的中點，則直線和夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用空間向量的線性運算及數(shù)量積運算可求得，再利用空間向量求夾角運算即可得解.
【詳解】
如圖，連接對角線，，則可構成棱長均為1的正四面體
由，分別是，的中點，，


又，
則
所以直線和夾角的余弦值為.
故選：B

（2）．（2021·河北·高二月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱B1C1，CC1的中點，則異面直線A1E與BF所成角的余弦值為___________.
【答案】
【分析】
建立如圖所示空間直角坐標系，利用數(shù)量積可求夾角的余弦值.
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為2，則，
則，故.

故答案為：
【變式訓練2-1】、 （2021·全國·高二課時練習）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，，點E為的中點，點F在BC的延長線上且，則異面直線BE與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以B為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法，根據(jù)即可求出答案.
【詳解】
在三棱柱中，因為側棱垂直于底面，且，
所以以B為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

由，，，得，
所以，，，，．
由，得，
所以，，
所以異面直線BE與所成角的余弦值為．
故選：D．

【變式訓練2-2】、（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知四棱錐中，底面，四邊形是正方形，.點在棱上運動，當平面平面時，異面直線與所成角的正弦值為______.

【答案】
【分析】
以為原點，為軸建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，設，則，利用平面平面，求得點，再利用向量求得異面直線的夾角.
【詳解】
設，以為直角坐標系原點，為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
設平面的法向量為，，
則，令，則
由在棱上運動，，即
所以點
設平面的法向量為，，
則，令，則
由平面平面，知，即，解得
所以點，
又，設異面直線與所成角為


故答案為：

知識點三 求直線與平面形成的角
1. 求直線與平面所成的角
設直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例3．（1）（2021·全國·高二課時練習）若向量是直線l的方向向量，向量是平面α的法向量，則直線l與平面α所成的角為______．
【答案】
【分析】
直接利用向量的夾角公式求解即可
【詳解】
設直線l與平面α所成的角為，則由題意得
，
因為，
所以，
所以直線l與平面α所成的角為，
故答案為：
（2）．（2021·全國·高二課時練習）如圖所示，在三棱柱中，平面ABC，，，E是的中點．則直線AB與平面所成角的正弦值為______．

【答案】
【分析】
結合已知條件建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，然后利用線面夾角的向量公式求解即可.
【詳解】
由題意，建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，，
從而為平面的一個法向量，
不妨設直線AB與平面所成角為，
從而，
故直線AB與平面所成角的正弦值為．
故答案為：.
【變式訓練3-1】、（2021·河北·高二期中）在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折到的位置，使得四面體為鱉臑，若為的重心，則直線與平面所成角的正弦值為______．

【答案】
【分析】
根據(jù)題意可∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C為直角，求出四面體的棱長，然后在長方體中作出四面體ADB′C，如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，
求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.
【詳解】
在直角中，為斜邊上的高，，，
則，，，，即在四面體中，
，，，，，則．
要使四面體為鱉臑，根據(jù)三角形中大邊對大角，可知需要平面，
此時，，，為直角，滿足四面體為鱉臑，
則．

如圖，在長、寬、高分別為，1，的長方體中作出四面體，
以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，，．
設為平面的一個法向量，則，
令，則，，所以．
又，所以直線與平面所成角的正弦值為．
故答案為：
【變式訓練3-2】、（2021·全國·高二課時練習）如圖，E，F(xiàn)分別是正方體中棱CD上的兩點，且，，則下列命題中不正確的為（ ）

A．異面直線與所成的角的大小為45°
B．異面直線與所成的角的大小為30°
C．直線與平面所成的角的大小為45°
D．直線與平面所成的角的大小為60°
【答案】BCD
【分析】
建立空間直角坐標系，分別計算，，然后使用空間向量的夾角公式計算可知A、B正誤；同時計算平面的法向量，最后，簡單判斷即可.
【詳解】
以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，


易知，，
所以，
所以異面直線與EF所成的角的大小為45°，故A正確，B錯誤；
由題意可知平面即為平面，
設平面的法向量為，則．
又，，
所以，令，得，
所以，
所以直線與平面所成的角為30°，
即直線與平面所成的角的大小為30°，故C，D錯誤．
故選：BCD．
知識點四 求平面與平面形成的角
1. 求二面角的大小
(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈，〉.

(2)如圖②③，n1，n2 分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).
【特別提醒】
1.線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.
例4. （1）、（2021·全國·高二課時練習）在正方體中，二面角的余弦值為______．
【答案】
【分析】
建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】
以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

設正方體棱長為1，則，，，，，，，．
設平面和平面的法向量分別為和，
則，取，得，
，取，得，
則，
顯然二面角是鈍二面角，所以其余弦值為．
故答案為：
（2）．（2021·全國·高二課時練習）（多選題）在棱長為的正方體中，，分別是，的中點，則下列說法正確的是（ ）

A．四邊形是菱形
B．直線與直線的距離是
C．直線與平面所成角的正弦值是
D．平面與平面所成角的正弦值是
【答案】AD
【分析】
以為正交基底，建立空間直角坐標系，然后利用向量的坐標運算可得，結合可判斷A，然后利用向量對B、C、D中的問題逐一求解判斷即可.
【詳解】

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，所以，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，易知，因此四邊形是菱形，A正確；
由上可知與平行，則直線與直線的距離等于點到直線的距離，
因為，，所以，，
所以點到直線的距離，B錯誤；
設平面的法向量為，由，得，
取，則，，即是平面的一個法向量，
，，
所以直線與平面所成角的正弦值是，C錯誤；
平面的一個法向量是，，所以平面與平面所成角的余弦值為，其正弦值為，D正確，
故選：AD.
【變式訓練4-1】、（2021·浙江臺州·高二期中）（多選題）在正方體中，點P在線段上運動，則下列結論正確的有（ ）
A．直線平面
B．三棱錐體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】ABD
【分析】
在正方體中，本題涉及線面垂直的證明，三棱錐體積的求解，異面直線所成角的范圍及線面角正弦值的范圍.需逐個分析、計算、證明各選項.
【詳解】
如圖，
對于選項A,連接、 ,由正方體可得,且平面,則,又,且平面,所以平面,故
同理可證,又,且平面,所以平面,
故A正確;
對于選項B, 在正方體中，易知,而平面，平面，所以平面，且因為點在線段上運動，則到平面的距離為定值，面積為定值，所以三棱錐體積為定值,故B正確;
對于選項C,因為, 則異面直線與所成角等于直線與所成角,
易知，當點與線段的端點重合時，直線與所成角取得最小值為，故C錯誤;
對于選項D，如圖所示建立空間直角坐標系：設正方體棱長為1，則

,設則,
由B選項證明可知，平面,所以是平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則
，當時，即為中點時，取得最大值，故D正確
故選：ABD.
【變式訓練4-2】、（2021·全國·高二課時練習）如圖所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且平面ABCD，，點F為PC的中點，則二面角的正切值為__________

【答案】
【分析】
分析空間幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標系，用空間向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒
【詳解】
如圖所示，連接BD，，連接OF，
以O為原點，OB，OC，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Oxyz．

設，則．
所以，，，．
結合圖形可知，，且為平面BOF的法向量，
由，，
可求得平面BCF的一個法向量為．
所以，，
所以．
故答案為：
例5．（2021·云南省玉溪第一中學高二期中（文））在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面⊥平面，，，，，點在線段上．

（1）若是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由面面垂直可以得到線面垂直，進而得到AB，AD，AF兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線的夾角余弦值；（2）設出，利用求出點坐標，進而求解出兩個平面的法向量，利用法向量求解平面與平面的夾角的余弦值，注意兩平面的夾角與二面角的區(qū)別.
（1）
因為∠BAF=90o，所以AF⊥AB， 因為平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， AF平面ABEF，所以AF⊥平面ABCD， 因為四邊形ABCD為矩形，所以以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系

所以 ，，，，
所以 ，，所以，即異面直線BE與CP所成角的余弦值為；
（2）
因為AB⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量為，
設，，因為，所以，因為，∴，，∴，，在平面APC中，，，設平面APC的法向量（x，y，z），則，令y＝1，則，， 得平面APC的法向量為 ，，所以平面與平面的夾角的余弦值為.
【變式訓練5-1】、（2021·河南·溫縣第一高級中學高二開學考試（理））如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，且滿足，，平面平面．為線段的中點，為線段上的動點．

（1）求證：平面平面；
（2）求SB與平面ABCD所成角的正切值；
（3）設，當二面角的大小為60°時，求的值．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）；
（3）﹒
【分析】
(1)證明，推出平面．，結合，推出平面，然后證明平面平面；
(2)過S點作線段的延長線的垂線，垂足為，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出與平面ABCD的法向量，根據(jù)向量夾角與線面角的關系即可求得答案；
(3)求出平面和平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解AN長度，然后轉化求解即可．
（1）
，為的中點，，
又∵平面平面，平面平面且平面，
∴平面，
平面，
∴，
又平面，平面ABCD，
∴平面平面；
（2）
由(1)可知，平面，
．
在中，，
在中，由余弦定理可知，
，
，
過S點作線段的延長線的垂線，垂足為，
，
四邊形為矩形．
由平面平面可知，平面，
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，
，平面ABCD的一個法向量，
，

∴SB與平面ABCD所成角的正切值為；
（3）
設，則，
設平面的法向，由，
令，得，
，
又平面的法向量

即
．





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