2022-2023學(xué)年河南省商丘市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）下列長(zhǎng)度四根木棒中，能與長(zhǎng)為，的兩根木棒圍成一個(gè)三角形的是(    )A.  B.  C.  D. 圍棋起源于中國(guó)，古代稱(chēng)之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)為，則頂角的度數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 或如果邊形的內(nèi)角和是它外角和的倍，則等于(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，要使≌，還需要添加一個(gè)條件是(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，小章家里有一塊破碎的三角形玻璃，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)在紙上畫(huà)了一個(gè)與原三角形一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，、分別是和的平分線，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，，則的周長(zhǎng)是(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，平分，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分，給出下列四個(gè)結(jié)論：；；；，其中正確的結(jié)論共有(    )
 
 A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)如圖，四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共5小題，共15分）在中，銳角，則另一個(gè)銳角______．如圖，在一個(gè)三角形的紙片中，，將這個(gè)紙片沿直線剪去一個(gè)角后變成一個(gè)四邊形，則圖中的度數(shù)為______
 如圖，在中，，，垂足分別為，，與交于點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：______ 答案不唯一，使≌．
 如圖，中，，，，，與的角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為______．
 已知等腰中，，且，則等腰的頂角度數(shù)為______． 三、解答題（本大題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分
如圖，和交于點(diǎn)，，．
求證：．
本小題分
如圖所示，為的角平分線，為的高，若，為．
求的度數(shù)；
求的度數(shù)．
本小題分
請(qǐng)畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的其中，，分別是，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
直接寫(xiě)出三點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______，______．
直接寫(xiě)出的面積是______．
本小題分
已知：如圖，在中，且
用直尺和圓規(guī)作出一條過(guò)點(diǎn)的直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊上不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡
設(shè)中直線與邊的交點(diǎn)為，請(qǐng)寫(xiě)出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
本小題分
已知邊數(shù)為的多邊形的一個(gè)外角是，內(nèi)角和是，外角和是．
當(dāng)時(shí)，求的值；
若，求的值．本小題分
如圖，四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．
求證：≌；
判斷線段與的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
本小題分
如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)以，以的速度同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：
為多少時(shí)，是等邊三角形？
、在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
 本小題分
如圖，中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作且．
如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；
如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在射線上，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，若，，則______直接寫(xiě)出結(jié)果

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：設(shè)第三邊為，則，即只有符合要求．
故選：．
由三角形的三邊關(guān)系易得第三邊的取值范圍，看選項(xiàng)中哪個(gè)在范圍內(nèi)即可．
本題考查三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解：已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
 2.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、均不能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
故選：．
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行解答即可．
此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，識(shí)別軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合．
 3.【答案】 【解析】解：當(dāng)角為頂角，頂角度數(shù)為；

當(dāng)為底角時(shí)，頂角．
故選：．
等腰三角形一內(nèi)角為，沒(méi)說(shuō)明是頂角還是底角，所以有兩種情況．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和為可得方程，再解方程即可．
此題主要考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來(lái)尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．
 5.【答案】 【解析】解：、，，，
≌，
故A符合題意；
B、，，，
不能使≌，
故B不符合題意；
，
，
，，，
不能使≌，
故C不符合題意；
D、，，，
不能使≌，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)已知，，可知還需要添加的一個(gè)條件可以為三角形的第三邊相等，或兩邊的夾角相等，即可解答．
本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】圖中三角形沒(méi)被破碎的部分有兩角及夾邊，根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．
解：由圖可知，三角形兩角及夾邊可以作出，
所以，依據(jù)是．
故選：．
本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：
，
又是的角平分線，
，
，
，
同理：，
的周長(zhǎng)．
故選：．
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得、均為等腰三角形，由此把的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為．
本題考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定及性質(zhì)，正確證明、均為等腰三角形是關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：，
．
在中，，
，
，，
，
又平分，
，
．
故選：．
在中，先利用三角形的內(nèi)角和求得，再利用三角形的外角性質(zhì)得，根據(jù)角平分線的定義得，再利用外角的性質(zhì)求得的度數(shù)．
本題考查三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．
 9.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到，，故正確；通過(guò)≌，得到，，故正確．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：因?yàn)?/span>，
所以，
因?yàn)?/span>平分，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?/span>是的角平分線，
所以，，故正確，
在與中，
所以≌
所以，，故正確；
因?yàn)?/span>，
所以，故正確．
故選：．  10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，使三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和即可得出，進(jìn)而得出，即可得出答案．
【解答】
解：作關(guān)于和的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，連接，交于，交于，則即為的周長(zhǎng)最小值，作延長(zhǎng)線，

垂直平分，垂直平分，
，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
故選：．  11.【答案】 【解析】解：中，銳角，
．
故答案為：．
根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可求得的度數(shù)．
本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確直角三角形的兩個(gè)銳角互余．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
由直角三角形的性質(zhì)求出，再由四邊形內(nèi)角和定理即可得出答案．
本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形和四邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：添加．
，，
，
在和中，
，
≌．
故答案為．
要使≌，已知為公共角，，具備了兩組角對(duì)應(yīng)相等，故添加或或后可分別根據(jù)、、能判定≌．
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．添加條件時(shí)，要首選明顯的、簡(jiǎn)單的，由易到難．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，連接，
與的角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，
．
，
即．
則．
故答案是：．
過(guò)點(diǎn)作于，于，利用角平分線的性質(zhì)推知；最后根據(jù)三角形的面積公式解答．
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
 15.【答案】或或 【解析】解：如圖中，當(dāng)時(shí)，

，，
，
，
如圖中，當(dāng)，

，，
，
，
，

如圖中，當(dāng)，

，，
，
，
，
綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為或或．
故答案為：或或．
分三種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，如圖中，當(dāng)，如圖中，當(dāng)，分別利用等腰三角形的性質(zhì)求出頂角的度數(shù)即可．
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．
 16.【答案】證明：，
在與中，
，
≌，
，
，
，
，
，
即． 【解析】因?yàn)?/span>，，，知≌，所以，即，所以有，再根據(jù)線段的和差即可得解．
此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明≌是解此題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：，，
，
又平分，
；
為的高，，
中，，
． 【解析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到的度數(shù)；
依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得出的度數(shù)．
本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的高線和角平分線，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是．
 18.【答案】       【解析】解：如圖所示；

，，，
故答案為：，，；

的面積：．
故答案為：．
首先確定、、三點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)位置，然后再連接即可；
利用坐標(biāo)寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)即可；
利用矩形面積減去周?chē)嘤嗳切蔚拿娣e即可
此題主要考查了作圖--軸對(duì)稱(chēng)變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)位置．
 19.【答案】解：如圖所示，直線即為所求；

線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．
理由：由題可得，，，，
≌，
，，
又，
，
，
又，
． 【解析】點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊上，則該直線為的角平分線；
依據(jù)判定≌，即可得到，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到，進(jìn)而得出，即可得到，依據(jù)，即可得到．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
 20.【答案】解：多邊形的外角和為，
，
邊形的內(nèi)角和為，
，
，
，
．
，
，
即，
邊形的一個(gè)外角是，
，
為正整數(shù)，
為的整數(shù)部分，為的余數(shù)，
，
． 【解析】根據(jù)多邊形的外角和定理和多邊形的內(nèi)角和公式列代數(shù)式求解即可；
把多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理代入所給代數(shù)式求解即可，是小于的．
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
在和中，，
≌；

解：，，理由如下：
由得：≌，
，
，，
，
，
． 【解析】由平行線的性質(zhì)得出，得出，再證出，由證明≌即可；
由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，得出，即可得出結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：要使是等邊三角形，即可得：，
在中，，，．
，
可得：，，
即，
解得：，
故答案為：；
當(dāng)為或時(shí)，是直角三角形，
理由如下：
，，，
，
動(dòng)點(diǎn)以，以的速度出發(fā)，
，，
是直角三角形，
或，
當(dāng)時(shí)，
，
解得；
當(dāng)時(shí)，
，
解得．
所以，當(dāng)為或時(shí)，是直角三角形． 【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；
分兩種情況利用直角三角形的性質(zhì)解答即可．
此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．
 23.【答案】或 【解析】證明：，
，
，
同理，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
作于，
由得，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
，，
由知：≌，≌，
，，
，
，
同理，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，
故答案為：或．
證明≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，等量代換證明結(jié)論；
作于，證明≌，得到，求出，的長(zhǎng)，得到答案；
過(guò)作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，代入計(jì)算即可．
本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
 
 

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