?2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大二附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下面四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則下列數(shù)據(jù)中，不能作為第三邊長(zhǎng)的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
3．（3分）如圖，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度數(shù)為（　?。?br />
A．60° B．120° C．130° D．150°
4．（3分）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，則∠1的度數(shù)為（　?。?br />
A．75° B．95° C．105° D．115°
5．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，則BD的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
7．（3分）閱讀下面材料：
已知線段a，b．
求作：Rt△ABC，使得斜邊BC＝a，一條直角邊AC＝b．
作法：
（1）作射線AD、AE，且AE⊥AD．
（2）以A為圓心，線段b長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AE于點(diǎn)C．
（3）以C為圓心，線段a長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AD于點(diǎn)B．
（4）連接BC．則△ABC就是所求作的三角形．
上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（　?。?br />
A．HL B．SAS C．AAS D．SSA
8．（3分）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且滿足AD＝DC，作BE⊥AD于點(diǎn)E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，則BE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）用一條寬相等的足夠長(zhǎng)的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE，則∠BAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．36° B．30° C．45° D．40°
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（　?。?br />
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，則△ABC的周長(zhǎng)為　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝　 　°．

13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝　 ?。?br />
14．（3分）如圖，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，∠A＝28°，∠B＝52°，則∠DCE＝　 　°．

15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是 　 　．

16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，底邊BC的長(zhǎng)為5cm，面積是20cm2，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BM+DM的最小值為 　 　cm．

17．（3分）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，3），則B點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br />
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作呱，交直線MN于點(diǎn)E，則∠BEC的度數(shù)為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19-23每題5分，24-26題每題7分，共46分）
19．（5分）如圖，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求證：BD＝CD．

20．（5分）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度數(shù)．

21．（5分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，AB＝5，AE＝2，求ED長(zhǎng)度．

22．（5分）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，求證：AD+BC＝AB．

23．（5分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．
（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（3）若P（a，a﹣1）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為P'，且PP′＝6，求點(diǎn)P'的坐標(biāo)．

24．（7分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．
（1）求證：△DBN≌△DCM；
（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

25．（7分）（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長(zhǎng)．
小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題．請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長(zhǎng)．
（2）【類比探究】
老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：
①等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，如圖2當(dāng)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D．求DE的長(zhǎng)并證明．
②已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并證明DE長(zhǎng)度保持不變．


26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，作直線l垂直x軸于點(diǎn)P（a，0），已知點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（1，5），以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點(diǎn)C在第一象限△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形是△A'B'C'．給出如下定義：如果點(diǎn)M在△A'B'C'的內(nèi)部或邊上，那么稱點(diǎn)M是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”．
（1）當(dāng)a＝0時(shí)，在點(diǎn)D（﹣，3），E（﹣2，2），F(xiàn)（﹣3，4）中，△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”是 　 ??；
（2）當(dāng)△ABC的邊上只有1個(gè)點(diǎn)是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”時(shí)，直接寫出a的值；
（3）點(diǎn)H是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”，且總有△HBC的面積大于△ABC的面積，求a的取值范圍．


2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)首都師大二附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）下面四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】利用軸對(duì)稱圖形概念進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
2．（3分）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則下列數(shù)據(jù)中，不能作為第三邊長(zhǎng)的是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．9
【分析】由三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊，即可判斷．
【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形第三邊長(zhǎng)是x，由三角形三邊關(guān)系定理得：
5﹣3＜x＜5+3，
∴2＜x＜8，
∴9不能作為這個(gè)三角形第三邊長(zhǎng)，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，已知∠1+∠2+∠3＝240°，那么∠4的度數(shù)為（　?。?br />
A．60° B．120° C．130° D．150°
【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∠1+∠2+∠3＝240°，
∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）
＝360°﹣240°
＝120°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）將一副三角板按如圖所示的位置擺放，則∠1的度數(shù)為（　　）

A．75° B．95° C．105° D．115°
【分析】根據(jù)一副三角板可知∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，進(jìn)一步求出∠ACF，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出∠1．
【解答】解：如圖所示：

根據(jù)題意，得∠B＝45°，∠A＝60°，∠ADE＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACF＝45°，
∴∠1＝∠A+∠ACF＝60°+45°＝105°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，則BD的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC＝DE＝4，然后計(jì)算BC﹣CD即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
6．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，則MN的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【分析】作輔助線來溝通各角之間的關(guān)系，首先求出△BMA與△CNA是等腰三角形，再證明△MAN為等邊三角形即可．
【解答】解：連接AM，AN，
∵AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等邊三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC，
∵BC＝15cm，
∴MN＝5cm．
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線段的垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)；正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）閱讀下面材料：
已知線段a，b．
求作：Rt△ABC，使得斜邊BC＝a，一條直角邊AC＝b．
作法：
（1）作射線AD、AE，且AE⊥AD．
（2）以A為圓心，線段b長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AE于點(diǎn)C．
（3）以C為圓心，線段a長(zhǎng)為半徑作弧，交射線AD于點(diǎn)B．
（4）連接BC．則△ABC就是所求作的三角形．
上述尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是（　　）

A．HL B．SAS C．AAS D．SSA
【分析】由作法可知，根據(jù)HL即可判定三角形全等．
【解答】解：題干尺規(guī)作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據(jù)是HL．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了直角三角形全等的判定．
8．（3分）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，且滿足AD＝DC，作BE⊥AD于點(diǎn)E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，則BE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAC＝40°，根據(jù)角的差可得∠BAE＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×6＝3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出∠BAE＝30°．
9．（3分）用一條寬相等的足夠長(zhǎng)的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE，則∠BAC的度數(shù)是（　?。?br />
A．36° B．30° C．45° D．40°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，求出五邊形內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】解：因?yàn)檎暹呅蔚拿總€(gè)內(nèi)角都相等，邊長(zhǎng)相等，
所以∠ABC＝＝108°，
∵正五邊形的每個(gè)條邊相等，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠BAC＝（180°﹣108°）÷2＝36°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．
（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；
（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點(diǎn)，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（　?。?br />
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【分析】因?yàn)椤螩AD＝2∠BAE，且∠ABC＝90°，故延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，從而得到∠GAE＝∠CAD，進(jìn)一步證明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接著證明△GAC≌△EAD，則∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正確的，也可以通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以判斷③是正確的，當(dāng)∠CAE＝∠BAE時(shí)，可以推導(dǎo)出AC⊥DE，否則AC不垂直于DE，故②是錯(cuò)誤的．
【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC與△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；
∴AE平分∠BED，
當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，
當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，
綜上所述：其中正確的有①③④．
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是通過二倍角這一條件，構(gòu)造兩倍的∠BAE，是本題的突破口，也是常用方法，同時(shí)，要注意本題設(shè)參數(shù)導(dǎo)角，對(duì)學(xué)生分析數(shù)據(jù)的能力有一定要求．
二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝60度，則△ABC的周長(zhǎng)為　12　．
【分析】由條件易證△ABC是等邊三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB＝AC＝4，∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝AC＝4，
∴△ABC的周長(zhǎng)為12．
故答案為12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，突出了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．
12．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝　60　°．

【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，
∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝　6?。?br />
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
14．（3分）如圖，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，∠A＝28°，∠B＝52°，則∠DCE＝　12　°．

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠ACB＝100°，再由角平分線定義得∠ACE＝50°，利用三角形外角的性質(zhì)得∠CED＝78°，再利用角的和差關(guān)系得出答案．
【解答】解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，
∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，
∵CD是高，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DCE＝90°?∠CED＝90°?78°＝12°，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，則△ABD的面積是 　2　．

【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出D到AB的距離，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確得出D到AB的距離是解題關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，底邊BC的長(zhǎng)為5cm，面積是20cm2，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BM+DM的最小值為 　8　cm．

【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【解答】解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×5×AD＝20，解得AD＝8，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，
∴△CDM周長(zhǎng)的最小值＝（BM+MD）+CD＝AD＝8．
故答案為：8．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，3），則B點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，4）?。?br />
【分析】過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知條件可證明△ADC≌△CEB，再有全等三角形的性質(zhì)和已知數(shù)據(jù)即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝4，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝4，
∴則B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，4），
故答案為：（1，4）．

【點(diǎn)評(píng)】本題借助于坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做高線各種全等三角形．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN交AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作呱，交直線MN于點(diǎn)E，則∠BEC的度數(shù)為 　72°或36°?。?br />
【分析】分兩種情形：畫出圖形分別求解即可．
【解答】解：

∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
由作圖可知MN垂直平分線段AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝72°，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴BD＝BC，
當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，滿足條件，此時(shí)∠BEC＝72°，
當(dāng)點(diǎn)E在AB的左側(cè)時(shí)，BE＝BD，
∴∠ABD＝∠ABE＝36°，
∴∠CBE＝108°，
∴∠BEC＝∠BCE＝36°，
綜上所述，滿足條件的∠BEC的度數(shù)為72°或36°．
故答案為：72°或36°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，19-23每題5分，24-26題每題7分，共46分）
19．（5分）如圖，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求證：BD＝CD．

【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可證明△ABD≌△ACD，從而可得BD＝CD．
【解答】證明：在△ABD與△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法及全等三角形的性質(zhì)．
20．（5分）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度數(shù)．

【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AFC＝∠EFC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACF＝∠ECF，由三角形的內(nèi)角和定理得出∠EAC＝∠CEA，再根據(jù)三角形的外角定理即可求解．
【解答】解：∵AE⊥CD交CD于點(diǎn)F，
∴∠AFC＝∠EFC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵∠AFC+∠EAC+∠ACF＝180°，∠EFC+∠CEA+∠ECF＝180°，
∴∠EAC＝∠CEA，
∵∠CEA＝∠B+∠BAE，∠B＝37°，∠BAE＝33°，
∴∠CEA＝70°，
∴∠EAC＝70°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟記三角形的內(nèi)角和是180°得出∠EAC＝∠CEA是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，AB＝5，AE＝2，求ED長(zhǎng)度．

【分析】先根據(jù)線段的和與差得BE的長(zhǎng)，由角平分線和平行線的性質(zhì)得：∠EDB＝∠EBD，從而得結(jié)論．
【解答】解：∵AB＝5，AE＝2，
∴BE＝5﹣2＝3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝BE＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能得出DE＝BE是解此題的關(guān)鍵．
22．（5分）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，求證：AD+BC＝AB．

【分析】延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，根據(jù)AAS證明△ADE與△FCE全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，

∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，
∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，
∴ED＝CE，
在△ADE與△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ADE≌△FCE．
23．（5分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．
（1）作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）直接寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（3）若P（a，a﹣1）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為P'，且PP′＝6，求點(diǎn)P'的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1；
（2）結(jié)合（1）即可寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為P'，且PP′＝6，即可求點(diǎn)P'的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣5，1）；
（3）∵點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為P'，
∴P′（﹣a，a﹣1），
∵PP′＝6，
∴a﹣（﹣a）＝6，
∴a＝3，
∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣3，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
24．（7分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．
（1）求證：△DBN≌△DCM；
（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)兩角夾邊相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．
（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于點(diǎn)F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可證明．
【解答】（1）證明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠BDC＝∠MDN＝90°，
∴∠BDN＝∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM．

（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．
證明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN．
作DF⊥MN于點(diǎn)F，又 ND⊥MD，
∴DF＝FN，
在△DEF和△CEM中，
，
∴△DEF≌△CEM，
∴ME＝EF，CM＝DF，
∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
25．（7分）（1）老師在課上給出了這樣一道題目：如圖1，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D，求DE的長(zhǎng)．
小明同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真思考后認(rèn)為，可以通過點(diǎn)P作平行線構(gòu)造等邊三角形的方法來解決這個(gè)問題．請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的思路直接寫出DE的長(zhǎng)．
（2）【類比探究】
老師引導(dǎo)同學(xué)繼續(xù)研究：
①等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，如圖2當(dāng)P為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，Q為邊BC上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交AC于D．求DE的長(zhǎng)并證明．
②已知等邊△ABC，當(dāng)P為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，作PE⊥射線AC于點(diǎn)E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP＝CQ，連接PQ交直線AC于點(diǎn)D，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并證明DE長(zhǎng)度保持不變．


【分析】（1）過點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F，可證△APF是等邊三角形，可得EF＝AF，通過證明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），即可求DE的長(zhǎng)；
（2）①過點(diǎn)P作PF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可證△APF是等邊三角形，可得EF＝AF，通過證明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AC+AF），即可求DE的長(zhǎng)；
②過點(diǎn)P作PF∥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可證△APF是等邊三角形，可得EF＝AF，通過證明△PDF≌△QDC，可得FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），即可求DE的長(zhǎng)．
【解答】（1）解：如圖，過點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F，

∴∠Q＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF為等邊三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC，
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，
又∠PDF＝∠CDQ，∠Q＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF），
∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1．
（2）①解：過點(diǎn)P作PF∥BC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠FAP＝60°，
∴△APF為等邊三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC，
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，
又∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF），
∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1．
②證明：

過點(diǎn)P作PF∥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∴∠DQC＝∠FPD，∠APF＝∠ABC，∠AFP＝∠ACB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°，
∴△APF為等邊三角形，
∴AP＝AF＝PF，
∵PE⊥AC
∴EF＝AF，
∴PF＝AP＝CQ，∠PDF＝∠CDQ，∠DQC＝∠FPD，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC），
∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1，
∴DE長(zhǎng)度保持不變．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)建新的等邊三角形，通過證明三角形全等確定邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，作直線l垂直x軸于點(diǎn)P（a，0），已知點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（1，5），以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點(diǎn)C在第一象限△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的圖形是△A'B'C'．給出如下定義：如果點(diǎn)M在△A'B'C'的內(nèi)部或邊上，那么稱點(diǎn)M是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”．
（1）當(dāng)a＝0時(shí)，在點(diǎn)D（﹣，3），E（﹣2，2），F(xiàn)（﹣3，4）中，△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”是 　D、E??；
（2）當(dāng)△ABC的邊上只有1個(gè)點(diǎn)是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”時(shí)，直接寫出a的值；
（3）點(diǎn)H是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”，且總有△HBC的面積大于△ABC的面積，求a的取值范圍．

【分析】（1）作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，描出點(diǎn)D、E、F觀察可得；
（2）作出圖形，直觀觀察可得結(jié)果；
（3）作AF∥BC，作BH″∥x軸交AF于H″，延長(zhǎng)AC至H′，使CH′＝AC，作DE∥BC，作CH′∥x軸，交DE于H′，根據(jù)平行線之間的距離相等，分別找出點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于x＝a的對(duì)稱點(diǎn)，使其和BC構(gòu)成的三角形面積相等時(shí)的臨界，從而得出總大于的結(jié)果．
【解答】解：（1）如圖1，

從圖中可知：D、E是△ABC關(guān)于直線l的“稱心點(diǎn)”，
故答案是：D、E；
（2）如圖2，

從圖可知：a＝3；
（3）如圖3，

作AF∥BC，作BH″∥x軸交AF于H″，延長(zhǎng)AC至H′，使CH′＝AC，作DE∥BC，作CH′∥x軸，交DE于H′，
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)H′是對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，S△BCH′＝S△ABC，此時(shí)a＝5，
當(dāng)點(diǎn)B與B″是對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，S△BCH″＝S△ABC，此時(shí)a＝﹣1，
∴當(dāng)a＞5或a＜﹣1時(shí)，總有△HBC的面積大于△ABC的面積．
【點(diǎn)評(píng)】本題是閱讀理解題，考查了軸對(duì)稱作圖和性質(zhì)，平行線之間的距離等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵理解題意，畫出圖形，是數(shù)形結(jié)合．

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