雅禮教育集團2022年下學期期中考試試卷高二數(shù)學一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設有，故選：B .2. 已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)模的性質運算即可.【詳解】,,．故選：B3. 已知點，向量，則向量（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的坐標運算可得答案.【詳解】，.故選：C.4. 函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點即得.【詳解】易知的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，排除答案B，D；又，排除選項C．故選:A．5. 已知為遞增的等差數(shù)列，，，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質列出方程組，從而求出和公差，寫出的通項公式即可求出答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，，所以，由，得或(舍)，所以，所以.令，得.故選：D.6. 若在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)a的最大值為（    ）A  B.  C.  D. π【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)增區(qū)間，進而建立不等式組解得答案即可.【詳解】易知將函數(shù)的圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的增區(qū)間為，而函數(shù)又在上單調遞增，所以，于是，即a的最大值為.故選：A.7. 過拋物線的焦點且斜率為1的直線與該拋物線交于兩點，則線段的中點到準線的距離為（    ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線，然后根據(jù)過焦點直線方程和拋物線聯(lián)立求得線段中點橫坐標即可求得答案.【詳解】解：由題意得：的交點坐標為，準線為直線，設聯(lián)立直線和雙曲線方程可知：有韋達定理可知：線段的中點橫坐標為：故線段的中點到準線的距離為故選：B8. 中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，增加帶寬，提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎上，將帶寬W增大到原來的2倍，信號功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的，則信息傳遞速度C大約增加了（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A. 87% B. 123% C. 156% D. 213%【答案】D【解析】【分析】先求得提升前的信息傳遞速度，然后求得提升后的信息傳播速度，由此求得正確答案.【詳解】提升前的信息傳遞速度，提升后的信息傳遞速度，所以信息傳遞速度C大約增加了.故選：D二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ）A. “恰有1件次品”和“恰有2件次品” B. C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品” D. “至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】【分析】判斷各選項中的事件是否有同時發(fā)生的可能，即可確定答案.【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品” 的基本事件為{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件為{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；故選：AD10. 已知圓，一條光線從點射出經(jīng)軸反射，下列結論正確的是（    ）A. 圓關于軸的對稱圓的方程為B. 若反射光線平分圓的周長，則入射光線所在直線方程為C. 若反射光線與圓相切于，與軸相交于點，則.D. 若是圓上的任意一點，則的最大值為【答案】AB【解析】【分析】由點關于直線的對稱，直線與圓的位置關系，圓的性質對選項逐一判斷，【詳解】圓的方程為，圓心，半徑為1，對于A，關于軸的對稱點為，圓關于軸的對稱圓為，化簡得，故A正確，對于B，若反射光線平分圓的周長，即反射光線過圓心，入射光線延長線過，可得入射光線所在直線方程為，故B正確，對于C，若反射光線與圓相切，則入射光線延長線與圓相切于點，到的距離為，由對稱性得，故C錯誤，對于D，到圓心的距離為，由圓的性質得的最大值為，故D錯誤，故選：AB11. 已知a，，，且，則下列說法正確的為（    ）A. ab的最小值為1 B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】直接根據(jù)基本不等式判斷各選項的對錯即可.【詳解】因為，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，又，所以，當且僅當時等號成立，故ab的最大值為1，A錯，，當且僅當時等號成立，B對，，當且僅當時等號成立，C對，，當且僅當，時等號成立，D錯，故選：BC.12. 如圖，已知A，B是相互垂直的兩條異面直線，直線AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且，動點P，Q分別位于直線A，B上，且P異于A，Q異于B.若直線PQ與AB所成的角，線段PQ的中點為M，下列說法正確的是（    ）A. PQ的長度為定值B. 三棱錐的外接球的半徑長為定值C. 三棱錐體積為定值D. 點M到AB的距離為定值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，將圖形還原為長方體，進而根據(jù)題意求出，進而判斷A，B；根據(jù)，進而判斷C；設交于R，則R為CQ的中點，取AB的中點N，然后證明四邊形RBNM是平行四邊形，進而證明，最后求得答案.【詳解】如圖，將圖形還原為長方體，  因為，所以（易知其為銳角）是PQ與AB所成的角，即，易知，則.A正確；對B，易知三棱錐的外接球與長方體的外接球相同，則其直徑為4，半徑為2.B正確；對C，，不為定值.C錯誤；對D，設交于R，則R為CQ的中點，連接MR，取AB的中點N，連接MN，又因為M為PQ的中點，所以，而，故，所以四邊形RBNM是平行四邊形，則，因為，則.因為AB⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，則，所以點M到AB的距離為1.D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若直線與互相垂直，則實數(shù)___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線位置關系直接可得參數(shù)值.【詳解】由，即，又直線與直線互相垂直，故，解得，故答案為：.14. 已知甲?乙兩球落入盒子的概率分別為和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲?乙兩球恰好有一個落入盒子的概率為___________.【答案】##【解析】【分析】設甲球落入盒子為事件A，乙球落入盒子為事件B，求出即得解.【詳解】設甲球落入盒子為事件A，乙球落入盒子為事件B，則甲?乙兩球恰好有一個落入盒子為,所以.故答案為：15. 函數(shù)的值域是___________，最小正周期是___________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)畫出圖像即可知道值域和周期.【詳解】解：由題意得：如圖所示：故函數(shù)的值域為：，最小正周期為故答案為：；16. 已知橢圓的右焦點為上的兩點關于原點對稱，，且，則離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設橢圓的左焦點為E，根據(jù)橢圓的定義可知，，利用余弦定理求出，利用，最后結合平面向量的數(shù)量積計算即可得答案.【詳解】解：由題意得：橢圓的左焦點為E，則因為兩點關于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形由，得，，且在中，，由得：整理得：，又所以故答案為: 四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17. 已知圓C的圓心為點，且與坐標軸相切.（1）求圓C的方程；（2）求直線被圓C所截得的弦長.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由圓心與坐標軸相切確定半徑長度，即可直接寫出方程；（2）先用點線距離公式求出圓心C到直線l的距離，結合垂徑定理即可求弦長；【小問1詳解】∵圓C的圓心為點，且與坐標軸相切，∴圓C的半徑為，∴圓C的方程為.【小問2詳解】∵圓C的圓心，∴圓心C到直線l的距離為.∴所求的弦長為.18. △ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求B；（2）若△ABC的面積為，且，求△ABC的周長．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先對已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡后再利用余弦定理可求出角，（2）由三角形的面積可求出，再利用余弦定理結合已知條件可求出和的值.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，展開得，所以，因為，所以．【小問2詳解】由（1）知，解得，因為，由余弦定理得，即，解得，，所以△ABC的周長為．19. 如圖所示，已知橢圓的上頂點為，左?右焦點分別為為正三角形.過且垂直于的直線與交于兩點，.（1）求橢圓的離心率；（2）求四邊形的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)圖象可知：，因為為正三角形，進而得出的關系即可求解；(2)根據(jù)（1）將橢圓方程可化為，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點間距離公式求出的值，進而求出四邊形的面積.【小問1詳解】由圖可知：，因為為正三角形，所以，也即，所以，所以橢圓的離心率為.【小問2詳解】由（1）可知：，所以，橢圓方程可化為：，直線的斜率為，因為直線垂直于，所以，又因為直線過點,所以直線的方程為：，設，聯(lián)立方程組：，整理可得：，所以，所以，因為，所以，解得：，所以四邊形的面積.20. 已知數(shù)列的前項和為.（1）證明：.（2）求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）證明見解析；    （2）【解析】【分析】（1）由，可得當時，兩式相減即可求證；（2）由（1）數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，進而可求得通項公式.【小問1詳解】證明：當時，，  又，故可知所以【小問2詳解】解：由題意得：當時，，又因為，故可知由，可知數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，公差為，首項分別為：1，3當時，當時，21. 如圖，四棱臺中，上底面是邊長為1的菱形，下底面ABCD是邊長為2的菱形，平面ABCD且（1）求證：平面平面；（2）若直線AB與平面所成角的正弦為，求棱臺的體積．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用線面垂直的定義與判定可證平面；（2）利用空間向量，根據(jù)線面夾角可得，利用臺體體積公式計算求解．【小問1詳解】∵菱形ABCD對角線相互垂直，∴∵平面ABCD，平面ABCD，∴∵，平面，平面∴平面∵平面∴平面平面【小問2詳解】設，則且∴且，∴平面ABCD以O為原點，OA、OB、所在的直線為坐標軸，建立直角坐標系，如圖，則，設，則，，，設平面的一個法向量則可得，取，得由題整理得，則∴，∴22. 在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.（1）求C方程；（2）如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結合實軸長，可求得a,b,即得答案;（2）根據(jù)O，A，N，M四點共圓結合幾何性質可推出，設，，，從而可以用點的坐標表示出t,再設直線，聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關系式，代入t的表達式中化簡，可得答案.【小問1詳解】因為實軸長為4，即，，又，所以，，故C的方程為.【小問2詳解】由O，A，N，M四點共圓可知，，又，即，故，即，所以,設，，，由題意可知，則直線，直線，因為M在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標為，所以，又，由，則，整理可得，當直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意，故設直線，代入雙曲線方程：中，可得，所以，，又，所以,故，即，所以點P坐標.【點睛】本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關系的問題，解答時要注意明確點線的位置關系，能設相關點的坐標，從而表示出參數(shù)的表達式，再結合聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關系式化簡，難點在于較為繁雜的計算，要十分細心.

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