全國(guó)名校大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（    ）A． B． C． D．3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（    ）A．4 B． C．2 D．4．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．5．如圖，作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，再將各邊的中點(diǎn)相連作第二個(gè)正方形，依此類推，共作了個(gè)正方形，設(shè)這個(gè)正方形的面積之和為，則（    ）A． B． C． D．6．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有.若，則（    ）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是7．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，且，則（    ）A．9 B． C． D．8．已知，，是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（    ）A． B．C． D． 二、多選題9．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為B．的模為C．的共軛復(fù)數(shù)為D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限10．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．D．11．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A．的極大值點(diǎn)為B．有且僅有3個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對(duì)稱中心D．12．在數(shù)列中，，，且，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．，使得D．，都有 三、填空題13．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.14．在數(shù)列中，，且，則__________.15．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的最大值為__________.16．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則的取值范圍是__________. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，.(1)求的面積；(2)若，求.19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知函數(shù)，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使的解析式唯一確定.(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若，且，求的值.條件①：；條件②：圖象的一條對(duì)稱軸為；條件③：若，且的最小值為.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21．在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.
參考答案：1．C【分析】解不等式，求出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，，即，解得：或，故所以.故選：C.2．B【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知等式求得，代入等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，解得：，.故選：B.3．A【分析】設(shè)出公比根據(jù)題干條件列出方程，求出公比，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算求出答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，得，解得或（舍），所以.故選：A.4．D【分析】ABC均可舉出反例，D選項(xiàng)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)和基本不等式證明出結(jié)論.【詳解】若，則，故A錯(cuò)誤；若時(shí)，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故D正確.故選：D.5．C【分析】根據(jù)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰前一個(gè)的可確定各正方形面積構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：從第個(gè)正方形開始，之后每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰的前一個(gè)的，則從第個(gè)正方形開始，每個(gè)正方形面積都是相鄰的前一個(gè)的，將各正方形面積依次排成一列，可得等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，.故選：C.6．A【分析】利用等差數(shù)列求和公式可化簡(jiǎn)已知不等式得到數(shù)列為遞增的等差數(shù)列；結(jié)合可確定當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，由此可得結(jié)論.【詳解】由得：，即，數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，，，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，；有最小值，最小值為.故選：A.7．A【分析】用分別表示出，結(jié)合已知，可得，然后進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，解得，又，所以，故選：A．8．B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)定義可求得，將所求式子化為，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由等比中項(xiàng)定義知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.故選：B.9．BCD【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則，計(jì)算得到，從而判斷出虛部，求出模長(zhǎng)及共軛復(fù)數(shù)，寫出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷其所在象限.【詳解】由，所以，所以的虛部為2，故A錯(cuò)誤；，故正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.故選：BCD.10．AD【分析】根據(jù)與的關(guān)系以及是等比數(shù)列，可求得，.進(jìn)而判斷數(shù)列是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷C、D項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，所以需滿足，所以，.所以，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列是以8為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.故選：AD.11．BCD【分析】求出，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點(diǎn)是一個(gè)數(shù)，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)極大值、極小值的正負(fù)，可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷B項(xiàng)；根據(jù)的解的情況，可判斷C項(xiàng)；由對(duì)稱中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；令，解得，所以在上單調(diào)遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點(diǎn)為-2，A項(xiàng)錯(cuò)誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)是的對(duì)稱中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.12．ABD【分析】由已知遞推關(guān)系式可知數(shù)列為等差數(shù)列，由此可推導(dǎo)得到，知A正確；利用裂項(xiàng)相消法可求得，知B正確；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，知當(dāng)時(shí)，，由此可得，由此放縮后可得，知CD正誤.【詳解】，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，則，A正確；，，B正確；令，則，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，即，，即，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.13．【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得到，由純虛數(shù)定義可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】，又為純虛數(shù)，，解得：.故答案為：.14．171【分析】由已知可構(gòu)造數(shù)列是常數(shù)列，即可求得表達(dá)式，代入即可解除.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以是常數(shù)列.所以，所以，所以.故答案為：171.15．【分析】設(shè)，由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算可求得，由此可設(shè)，，從而求得，可確定當(dāng)時(shí)，取得最大值.【詳解】設(shè)，由得：，，則可設(shè)，，，（其中，），則當(dāng)時(shí)，.故答案為：.16．【分析】由已知可推出，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，得出，.根據(jù)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，即，即，代入可整理得恒成立，只需要即可.構(gòu)造函數(shù)，求出最小值即可解得.【詳解】因?yàn)?/span>，顯然，.又，所以，所以.又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.所以，所以.因?yàn)?/span>是遞減數(shù)列，所以，即，即，所以有，即在時(shí)恒成立，所以.令，所以，顯然，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：遞推公式中出現(xiàn)項(xiàng)較多或較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)會(huì)考慮通過構(gòu)造數(shù)列來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題目中已知條件，給出的遞推公式形式較復(fù)雜，且通過觀察發(fā)現(xiàn)，等號(hào)左邊是兩項(xiàng)乘積的形式，右邊為差的形式，比較容易想到構(gòu)造倒數(shù)列為等差數(shù)列，將等號(hào)右邊變形處理后，不難得到，即可解得的通項(xiàng)公式.17．(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得，由可證得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，，，.18．(1)(2) 【分析】（1）利用切化弦，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)已知等式得到，利用正弦定理角化邊可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得后，可得的值，代入三角形面積公式即可得到結(jié)果；（2）利用正弦定理可求得，代入即可求得結(jié)果.【詳解】（1），，即，，由正弦定理得：，即，，，則，.（2）由（1）知：；由正弦定理知：，則，，又，.19．(1)(2) 【分析】（1）利用求出，從而是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，得，所以，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，，所以，①，②①-②得：所以.20．(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)條件結(jié)合三角函數(shù)圖象性質(zhì)即可求解;(2)利用三角恒等變換和配湊角即可求解.【詳解】（1）選擇條件①②：由條件①，所以，解得，又，所以.由條件②得，解得，所以的解析式不唯一，不合題意；選擇條件①③：由條件①，所以，解得，又，所以.由條件③得，得，所以，所以.選擇條件②③：由條件③得，得，所以，所以，又圖象的一條對(duì)稱軸為，所以，解得，又，所以，所以.（2）由題意得，因?yàn)?/span>，所以，即，又，所以，若，則，又，所以.因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以.21．(1)證明見解析，；(2). 【分析】（1）由，可得，即是等比數(shù)列，可求得，變形為，即可得到是等差數(shù)列，可求得，從而求得；（2），利用分組求和以及等差等比前項(xiàng)和公式，先求出為正偶數(shù)時(shí)的表達(dá)式，再求為正奇數(shù)時(shí)的表達(dá)式，即可得到.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)?/span>，所以，又，則有，所以，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以，為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，.時(shí)，，滿足.所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，有.綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.22．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可求得切線方程；（2）求導(dǎo)后，設(shè)；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，得到，采用放縮法可確定，知在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由恒成立可確定，滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)可說明，得到，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可說明，使得，由此可說明當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜合兩種情況可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，又，在處的切線方程為：.（2），令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即；當(dāng)時(shí)，，，，，，即，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增；；①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，；令，則，在上單調(diào)遞增，，即，又，，使得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切線方程、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng)，說明當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明存在的區(qū)間，由此可得參數(shù)范圍. 

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