?第13 講 還原問題
A
【例1】 1．（2016?創(chuàng)新杯）2015減去它的 ，再減去余下的，再減去余下的，…，以此類推，直到減去余下的，最后的結(jié)果是（）
A．2015 B．1042 C．2 D．1
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，第一次變?yōu)?015×，第二次變?yōu)?015××，…，最后整理2015×××…，化簡計算即可．
【解答】解：∵2015減去它的，得2015×，再減去余下的，得2015×﹣2015××，即2015××
∴依此類推，直到最后減去余下的，得2015×××…=1，
故選：D．

【例2】 2．（2011?其他模擬）在6個筐里放著同樣多的蘋果．如果從每個筐里拿出30個蘋果，那么剩下蘋果的總和等于原來4個筐的蘋果的和．原來每個筐里有（）個蘋果．
A．60 B．90 C．120
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從每只箱里拿出30個蘋果，那么6個筐里共拿出30×6=180（個），又因為“6個筐里剩下蘋果的個數(shù)的總和等于原來4個筐里個數(shù)的和”，也就是說拿出的這180個蘋果正好裝滿6﹣4=2個筐，所以原來每個筐里有蘋果180÷2全．列綜合算式為：30×6÷（64），計算即可．
【解答】解：30×6÷（6﹣4）
=180÷2
=90（個）
答：原來每個筐里有90個蘋果．
故選：B．

【例3】 3．（2006?創(chuàng)新杯）三個袋中各裝一些球，現(xiàn)從甲袋中取出的小球放人乙袋，然后乙袋中取出現(xiàn)在的放人丙袋，最后再從丙袋中取出現(xiàn)在的放人甲袋，那么各袋中的球都是18個，原來甲袋中有球．（）
A．21 B．24 C．27 D．40
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為最后再從丙袋中取出現(xiàn)在的放入甲袋，那么18對應(yīng)的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是1﹣，由此用除法列式求出丙袋沒給甲之前的個數(shù)，再除以（1﹣），求出乙袋沒給丙之前的個數(shù)，最后除以1﹣求出甲袋原有的個數(shù)．
【解答】解：18÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）=40（個）
答：原來甲袋中有球40個．
故選：B．

【例4】 4．（2006?創(chuàng)新杯）一個數(shù)加上8的和，再乘以8的積，再減去8的差，再除以8的商，等于80，那么，這個數(shù)是（）
A．37 B．59 C．73 D．86
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后一步推起，“除以8，其結(jié)果等于80”可以求出被除數(shù)：80×8=640；再看倒數(shù)第2步，“減去8”得640，可以求出被減數(shù)：640+8=648；然后看倒數(shù)第3步，“乘以8”得648，可以求出另一個因數(shù)：648÷8=81；最后看第1步，“某數(shù)加上8”得81，某數(shù)為81﹣8=73．由此即可解決問題．
【解答】解：（80×8+8）÷8﹣8
=648÷8﹣8
=81﹣8
=73；
答：這個數(shù)是73．
故選：C．

二．填空題（共41小題）
【例5】 5．（2017?華羅庚金杯模擬）設(shè)1、3、9、27、81、243是6個給定的數(shù)，從這6個數(shù)中每次或者取一個，或者取幾個不同的數(shù)求和（每個數(shù)只能取一次），可以得到一個新數(shù)，這樣共得到63個新數(shù)．如果把它們按從小到大的順序依次排列起來就是1、3、4、9、10、12…，那么第60個數(shù)是360．
【考點】JG：數(shù)字和問題；NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為一共的得到了63個數(shù)，那么第60個數(shù)就是第四大的數(shù)，從最大數(shù)開始算，算出：第四個就可以了．
【解答】解：最大的數(shù)是：1+3+9+27+81+243=364；
第二大的數(shù)是：3+9+27+81+243=363；
第三的數(shù)是：1+9+27+81+243=361；
第四大的數(shù)是：9+27+81+243=360．
故答案為：360．

【例6】 6．（2016?學(xué)而思杯）薇兒從家步行去學(xué)校，走到全程的一半多20米時，碰到艾迪，于是和艾迪結(jié)伴而行．兩人結(jié)伴走310米后，碰到大寬，三人又結(jié)伴走了170m米，剛好走到學(xué)校．那么，薇兒家距離學(xué)校1000米．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】走到全程的一半多20米時，碰到艾迪，即全程的一半是20+310+170米，然后再乘2就是薇兒家距離學(xué)校的長度．
【解答】解：（20+310+170）×2
=500×2
=1000（米）
答：薇兒家距離學(xué)校 1000米．
故答案為：1000．

【例7】 7．（2016?迎春杯）有一種細(xì)胞，每隔1小時死亡2個細(xì)胞，余下的每個細(xì)胞分裂成2個．若經(jīng)過5小時后細(xì)胞的個數(shù)記為164．最開始的時候有9個細(xì)胞．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前推算，第5小時開始時有164÷2+2=84個；同理，第4小時開始時有84÷2+2=44個；…；然后依次向前推算即可．
【解答】解：第5小時開始時有：164÷2+2=84（個）
第4小時開始時有：84÷2+2=44（個）
第3小時開始時有：44÷2+2=24（個）
第2小時開始時有：24÷2+2=14（個）
第1小時開始時有：14÷2+2=9（個）
答：最開始的時候有 9個細(xì)胞．
故答案為：9．

【例8】 8．（2016?迎春杯）有一種細(xì)胞，每隔1小時死亡2個細(xì)胞，余下的每個細(xì)胞分裂成2個，如果經(jīng)過8小時后細(xì)胞的個數(shù)為1284，那么，最開始的時候有9個細(xì)胞．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前推算，第8小時開始時有1284÷2+2=644個；同理，第7小時開始時有644÷2+2=324個；…；然后依次向前推算即可．
【解答】解：第8小時開始時有：1284÷2+2=644（個）
第7小時開始時有：644÷2+2=324（個）
第6小時開始時有：324÷2+2=164（個）
第5小時開始時有：164÷2+2=84（個）
第4小時開始時有：84÷2+2=44（個）
第3小時開始時有：44÷2+2=24（個）
第2小時開始時有：24÷2+2=14（個）
第1小時開始時有：14÷2+2=9（個）
答：最開始的時候有 9個細(xì)胞．
故答案為：9．

【例9】 9．（2015?走美杯）有一筐蘋果，第一次取出全部的一半多2個，第二次取出余下的一半少3個，筐中還剩24個，筐中原有蘋果88個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】求出第一次取后還剩下（24﹣3）×2=42個，即可求出筐中原有蘋果的個數(shù)．
【解答】解：第一次取后還剩下（24﹣3）×2=42個，
所以原來有（42+2）×2=88個，
故答案為88．

【例10】 10．（2015?陳省身杯）甲、乙、丙、丁四個小朋友共有100個蘋果，如果甲給乙3個蘋果，乙給丙4個蘋果，丙給丁5個蘋果，而丁給甲6個蘋果后，這時四個人的蘋果個數(shù)就相同，這樣甲原有22個蘋果．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】運(yùn)用逆推法，從“這時四個人的蘋果個數(shù)就相同”出發(fā)向前推算，這時都有100÷4=25個，根據(jù)“丁給甲6個蘋果”可得沒給前甲有25﹣6=19個，同理，根據(jù)“甲給乙3個蘋果”可得沒給前甲原來有19+3=22個，據(jù)此解答即可．
【解答】解：100÷4=25（個）
25﹣6+3=22（個）
答：這樣甲原有 22個蘋果．
故答案為：22．

【例11】 11．（2015?迎春杯）有一種特殊的計算器，當(dāng)輸入一個數(shù)后．計算器會把這個數(shù)乘以2，然后將其結(jié)果的數(shù)字順序顛倒，接著再加2后顯示最后的結(jié)果．如果輸入一個兩位數(shù)，最后顯示的結(jié)果是45，那么，最開始輸入的是17．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后得到的結(jié)果45，從后向前進(jìn)行推理，根據(jù)加減乘除的逆運(yùn)算思維進(jìn)行解答即可．
【解答】解：逆運(yùn)算，乘積的數(shù)字順序顛倒后為：45﹣2=43，
則，顛倒前為34，
輸入的兩位數(shù)為：34÷2=17；
答：最開始輸入的是17．
故答案為：17．

【例12】 12．（2015?迎春杯）有一個特殊的計算器，當(dāng)輸入一個數(shù)后，計算器先將這個數(shù)乘以3，然后將其結(jié)果是數(shù)字逆序排列，接著再加2后顯示最后的結(jié)果，小明輸入了一個四位數(shù)后，顯示結(jié)果是2015，那么小明輸入的四位數(shù)是1034．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】首先根據(jù)題意可以運(yùn)用逆向思維，把原來的計算過程倒過來再計算一次即可．
【解答】解：依題意可知：經(jīng)過了乘以3，再逆序排列，再加上2得到的數(shù)字是2015．那么要求原來的數(shù)字可以逆向思維求解．
2015﹣2=2013，再逆序變成3102，再除以3得3102÷3=1034．
故答案為：1034

【例13】 13．（2012?其他模擬）學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長的一半還多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有60米．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前推算．由“第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米”可知第二次沒用之前是（9+15﹣10）×2=28（米）；由“第一次用去全長的一半還多2米”，此時是28米，那么第一次沒用之前是（28+2）×2=60（米），解決問題．
【解答】解：[（9+15﹣10）×2+2]×2
=[14×2+2]×2
=30×2
=60（米）
答：這根繩子原來有60米．
故答案為：60．

【例14】 14．（2012?其他杯賽）小明在計算兩個數(shù)相加時，把一個加數(shù)百分位上1錯誤地當(dāng)7，把另一個加數(shù)十分位上的8錯誤地當(dāng)作3，所得的和是19.96．原來兩位數(shù)相加的和應(yīng)是20.4．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】一個加數(shù)百分位上的1看成了7，0.07﹣0.01=0.06，所以多加了0.06；把十分位上的8當(dāng)作3，0.8﹣0.3=0.5；十位上少加了0.5，也一共少加了0.5﹣0.06=0.44；用所得和加上0.44就是正確的和．
【解答】解：百分位多加了：0.07﹣0.01=0.06，
十分位少加了：0.8﹣0.3=0.5，
0.5﹣0.06=0.44，
19.96+0.44=20.4．
答：原來兩個數(shù)相加的和是20.4．
故答案為：20.4．

【例15】 15．（2012?其他模擬）如果10+9+8×7÷□+6﹣5×4﹣3×2=1，那么□=28．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，把□看作未知數(shù)，然后再根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【解答】解：10+9+8×7÷□+6﹣5×4﹣3×2=1
19+56÷□+6﹣20﹣6=1
56÷□﹣1=1
56÷□﹣1+1=1+1
56÷□=2
56÷□×□=2×□
2×□=56
2×□÷2=56÷2
□=28．
故答案為：28．

【例16】 16．（2012?其他模擬）星期天，有 30 個小朋友分成三隊去動物園玩．如果第一隊調(diào) 1 人到第二隊，再從第二隊調(diào)3 人去第三隊，三隊人數(shù)就相等了．第一隊原來有11個小朋友、第二隊原來有12個小朋友、第三隊原來有7個小朋友．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)“最后3隊人數(shù)相等”，所以后來三隊的人數(shù)分別是30÷3=10人，再由“第一隊調(diào)1人到第二隊，再從第二隊調(diào)3人去第三隊，三隊人數(shù)就相等了，”得出第一隊原來有10+1=11人，第二隊原來有10+3﹣1=12人，第三隊原來有10﹣3=7人．
【解答】解：因為最后3隊人數(shù)相等，
所以后來三隊的人數(shù)分別是：30÷3=10（人），
第一隊原來有：10+1=11（人），
第二隊原來有：10+3﹣1=12（人），
第三隊原來有：10﹣3=7（人），
答：第一隊原來有11個小朋友、第二隊原來有12個小朋友、第三隊原來有7個小朋友，
故答案為：11，12，7．

【例17】 17．（2012?希望杯）一個兩位數(shù)除以一位數(shù)，所得的商若是最小的兩位數(shù)，那么被除數(shù)最大是98．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最小的兩位數(shù)是10，商是10，除數(shù)最大是9，余數(shù)最大是8，然后用除數(shù)乘商加上余數(shù)求出被除數(shù)即可．
【解答】解：商是10，除數(shù)最大是9，余數(shù)最大是8，
9×10+8=98；
被除數(shù)最大是98．
故答案為：98．

【例18】 18．（2011?其他杯賽）國慶前三天，媽媽給了笨笨熊一些錢，第一天笨笨熊去新華書店買書，花掉了的錢；第二天也去了玩具店，花掉了剩余錢的；第三天笨笨熊決定用最后的20元錢給爸爸媽媽買份禮物，那么媽媽給了笨笨熊40元錢．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為花掉了剩余錢的；所以剩下剩余錢的1﹣=，由此用20除以求出第一天買完東西后剩余的錢數(shù)，再根據(jù)“第一天笨笨熊去新華書店買書，花掉了的錢，”得出剩下了總錢數(shù)的1﹣=，所以用第一天買完東西后剩余的錢數(shù)除以求出原來的錢數(shù)．
【解答】解：20÷（1﹣）÷（1﹣）
=20
=40（元）
答：媽媽給了笨笨熊40元錢．
故答案為：40．

【例19】 19．（2010?其他杯賽）阿奇、冬冬和小悅共有75張巨人積分卡，阿奇先給冬冬5張，冬冬又給小悅6張，小悅再給阿奇1張，最后他們?nèi)说姆e分卡一樣多．則冬冬原來有26張積分卡．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后他們?nèi)说姆e分卡一樣多，所以都是75÷3=25張，然后我們倒推還原：阿奇先給冬冬5張，冬冬又給小悅6張，他們?nèi)说姆e分卡一樣多，所以冬冬的積分卡為25+6﹣5=26（張），據(jù)此解答．
【解答】解：75÷3+6﹣5
=25+6﹣5
=26（張）
答：冬冬原來有26張積分卡．
故答案為：26．

【例20】 20．（2010?春蕾杯）有一個學(xué)生在做計算題時，最后一步應(yīng)當(dāng)除以20，但卻錯誤地加上20，因而得到錯誤的結(jié)果是180．請問這道計算題的正確得數(shù)應(yīng)是8．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】設(shè)最后一步之前運(yùn)算的結(jié)果是a，由題意可知：a+20=180，由此求出a的值，然后再用a除以20就是正確的結(jié)果．
【解答】解：設(shè)最后一步之前運(yùn)算的結(jié)果是a，
a+20=180，
那么：a=180﹣20=160；
正確的計算結(jié)果是：a÷20=160÷20=8；
故答案為：8．

【例21】 21．（2008?華羅庚金杯）俄國作家托爾斯泰的問題：從前有個農(nóng)夫，死后留下了一些牛，他在遺書中寫道：妻子得全部牛的半數(shù)加半頭；長子得剩下牛的半數(shù)加半頭，正好是妻子所得的一半；次子得還剩下牛的半數(shù)加半頭，正好是長子的一半；長女分得最后剩下牛的半數(shù)加半頭正好是次子所得牛的一半．結(jié)果一頭牛也沒殺，也沒剩下，問農(nóng)夫總共留下15頭牛．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】解這道題最好是倒過來想，倒過來算：長女既然得到的是最后剩下的牛的“半數(shù)”再加“半頭”，結(jié)果1頭都沒殺，也沒有剩下，那么，她必然得到的是：1頭；次子：長女得到的牛是次子的一半，那么，次子得到的牛就是長女的2倍：2頭；長子：次子得到的牛是長子的一半，那么，長子得到的牛就是次子的2倍：4頭；妻子：長子得到的牛是妻子的一半，那么，妻子得到的牛就是長子的2倍：8頭；把4個人得到的牛的頭數(shù)相加：1+2+4+8=15，可見，農(nóng)夫留下的牛是15頭．
【解答】解：長女得到：1頭，
次子得到：1×2=2（頭），
長子得到：2×2=4（頭），
妻子得到：4×2=8（頭），
1+2+4+8=15（頭）．
即農(nóng)夫共留下15頭牛．
故答案為：15．

【例22】 22．（2008?希望杯）某學(xué)生算六個數(shù)的平均數(shù)，最后一步應(yīng)除以6，但是他將“÷”錯寫成“×”，于是得錯誤答案l800，那么，正確答案是50．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意先求出6個數(shù)的和，平均數(shù)即可求出．
【解答】解：6個數(shù)的和為：1800÷6=300，
所以平均數(shù)應(yīng)為：300÷6=50，
故答案為：50．

【例23】 23．（2008?迎春杯）小華在計算3.69除以一個數(shù)時，由于商的小數(shù)點向右多點了一位，結(jié)果得24.6，這道題的除數(shù)是1.5．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】由于商的小數(shù)點向右多點了一位，結(jié)果得24.6，所以正確結(jié)果為2.46，利用被除數(shù)÷商=除數(shù)可以得到結(jié)果．
【解答】解：3.69÷2.46=1.5；
故答案為：1.5．

【例24】 24．（2007?華羅庚金杯）籃中有許多李子，如果將其中的一半又1個給第一個人，將余下的一半又2個給第二個人，然后將剩下的一半又3個給第三個人，籃中剛好一個也不剩，籃中原來有34個李子．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后的一半又3個給第三人，說明最后的一半就是3個，第三人得到6個；取余下一半又2個給第二人，說明第二人所取的余下一半比最后的6個多2個，所以第二人得到8個；第一人取后還剩下16個；若干李子，取一半又1個給第一人，剩下17個，說明這一半是17個，所以這個籃子里原來有34個李子．
【解答】解：最后剩下的一半：0+3=3 （個）；
第二次余下的：3×2=6 （個）；
第一次余下的一半：6+2=8 （個）；
第一次余下的：8×2=16 （個）；
籃中數(shù)的一半：16+1=17 （個）；
籃中原有：17×2=34 （個）．
答：籃中原來有34個李子．
故答案為：34．

【例25】 25．（2006?創(chuàng)新杯）在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差這三個數(shù)之和是2006，減數(shù)比差大997，減數(shù)是1000．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為減法中存在如下關(guān)系：被減數(shù)﹣減數(shù)=差；被減數(shù)=減數(shù)+差；由此可得被減數(shù)+減數(shù)+差=被減數(shù)×2．
【解答】解：因為被減數(shù)+減數(shù)+差=2006
所以減數(shù)+差=1003
因為減數(shù)﹣差=997
所以減數(shù)=1000
故答案為：1000．

【例26】 26．（2006?希望杯）一個數(shù)的比3小，則這個數(shù)是．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先設(shè)這個數(shù)是x，然后根據(jù)題意列出方程，求出解即可．
【解答】解：設(shè)這個數(shù)是x，
3﹣x=，
x=3﹣，
x=，
x=，
x=；
故答案為：．

【例27】 27．（2006?希望杯）牧羊人趕一群羊過10條河，每過一條河時都有一半的羊掉入河中，每次他都撈上3只，最后清查還剩6只．這群羊在過河前共有6只．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，用還原法解答此題比較簡便，即先求出過第10條河之前，羊的只數(shù)，以此類推，即可得出答案．
【解答】解：過第10條河之前羊的只數(shù)：（6﹣3）×2=6（只），
因此他過每一條河之前都有6只羊，
所以最初也共有6只；
故答案為：6．

【例28】 28．（2006?希望杯）如果5×（2+△×△）﹣4=2006，那么△=20．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】把△×△看成未知數(shù)，原式看成方程，按照解方程的方法求出解即可．
【解答】解：5×（2+△×△）﹣4=2006
5×（2+△×△）=2010
2+△×△=402
△×△=400，
所以△=20．
故答案為：20．

【例29】 29．（2018?迎春杯）小胖把這個月的工資都用來買了一支股票．第一天該股票價格上漲，第二天下跌，第三天上漲，第四天下跌，此時他的股票價值剛好5000元，那么小胖這個月的工資是5000元．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用逆推的方法，把每次變化前的錢數(shù)看作單位“1”，從后向前每次分別是它前面的（1﹣）、（1+）、（1﹣）、（1+），然后根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，列連除算式即可解決問題．
【解答】解：5000÷（1﹣）÷（1+）÷（1﹣）÷（1+）
=5000××××
=5000（元）
答：小胖這個月的工資是5000元．
故答案為：5000．

【例30】 30．（2017?希望杯）小麗做一份希望杯練習(xí)題，第一小時做完了全部的，第二小時做完了余下的，第三小時做完了余下的，這時，余下24道題沒有做，則這份練習(xí)題共有60道．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題從后向前逆推，先把第二小時做完后余下的看作單位“1”，此時有24÷（1﹣）=36道；再把第一小時做完全部的后余下的看作單位“1”，此時有36÷（1﹣）=48道；同理，再把全部的練習(xí)題看作單位“1”，有48÷（1﹣）=60道；據(jù)此解答即可．
【解答】解：24÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）
=24÷
=60（道）
答：這份練習(xí)題共有 60道．
故答案為：60．

【例31】 31．（2017?希望杯）松鼠A、B、C共有松果若干，松鼠A原有松果26顆，從中拿出10顆平分給B、C，然后松鼠B拿出自己的18顆松果平均分給A、C，最后松鼠C把自己現(xiàn)有松果的一半平分給A、B，此時3只松鼠的松果數(shù)量相同，則松鼠C原有松果86顆．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】松鼠A拿出10顆平分給B、C，B和C分別得到了10÷2=5（顆），松鼠B拿出自己的18顆松果平均分給A、C，A和C就分別得到18÷2=9（顆），此時A有26﹣10+9=25（顆），由于C拿出一半平均分給A和B，且三只松鼠最后的數(shù)量相等，那么此時C的數(shù)量是A的4倍，即25×4=100（顆），原來C有100﹣9﹣5=86（顆）．
【解答】解：10÷2=5（顆）
18÷2=9（顆）
此時A有：26﹣10+9=25（顆）
此時C有：25×4=100（顆）
原來C有：100﹣9﹣5=86（顆）
答：松鼠C原有松果 86顆．
故答案為：86．

【例32】 32．（2017?希望杯）如果8×（2+1÷x）=18，則x=4．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】8×（2+1÷x）=18運(yùn)用逆推的方法，先用18除以8求出小括號里面算式的結(jié)果，再減去2得到差，求出1÷x的結(jié)果，再用1除以求出的差，即可得到x的值．
【解答】解：8×（2+1÷x）=18
2+1÷x=18÷8
2+1÷x=2.25
1÷x=2.25﹣2
1÷x=0.25
x=1÷0.25
x=4
故答案為：4．

【例33】 33．（2016?其他杯賽）盒子里放有3個球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出1個球，將它變成3個球后放回盒子里，第二次從盒子里拿出2個球，將每個球各變成3個球后放回盒子里…第十次從盒子里拿出10個球，將每個球各變成3個球后放回盒子里，這時盒子里共有113個球．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，一只球變成3只球，實際上多了2只球．第一次多了2只球，第二次多了2×2只球…第十次多了2×10只球．因此拿了十次后，多了：2×1+2×2+…+2×10=2×（1+2+…+10）=2×55=110（只）．加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）．
【解答】解：（3+1）×（1+2+…+10）+3，
=2×[（1+10）×10÷2]+3，
=2×55+3，
=113（只）．
答：盒子里共有113只乒乓球．
故答案為：113．

【例34】 34．（2016?陳省身杯）貪吃蛇吃豆子，它用4天的時間將所有的豆子吃完，如果第一天它吃掉了全部的一半；第二天吃了3顆；第三天吃的是第二天的2倍．那么它第四天比第一天少吃了9顆豆子．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】第三天吃了3×2=6顆，因為第一天它吃掉了全部的一半，則第二、三、四天吃的顆數(shù)和就等于第一天它吃掉的顆數(shù)，那么它第四天比第一天少吃的顆數(shù)就相當(dāng)于第二、三天吃的顆數(shù)，即3+6=9顆，據(jù)此解答即可．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
第三天吃了：3×2=6（顆）
第二吃的顆數(shù)+第三吃的顆數(shù)+第四天吃的顆數(shù)=第一天吃的顆數(shù)
即，第一天吃的顆數(shù)﹣第四天吃的顆數(shù)=第二吃的顆數(shù)+第三吃的顆數(shù)
所以，它第四天比第一天少吃了：3+6=9（顆）
故答案為：9．

【例35】 35．（2016?春蕾杯）一個數(shù)，把它縮小5倍以后，再擴(kuò)大20倍得40，這個數(shù)是10．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題就是已知一個數(shù)除以5，再乘20，結(jié)果是40，求這個數(shù)，利用逆推的方法，抓住最后的結(jié)果是40，利用乘除法的逆運(yùn)算即可計算，即用40先除以20，再乘5，即可得出這個數(shù)．
【解答】解：40÷20×5
=2×5
=10
故答案為：10．[來源:Z&xx&k.Com]

【例36】 36．（2013?學(xué)而思杯）現(xiàn)在有一個奇妙的數(shù)，我們將這個數(shù)減去13，乘2，除以4，加上1013，之后得到數(shù)2013，我們將上述過程稱為一次操作．如果機(jī)器人小剛對這個數(shù)進(jìn)行了2013次操作，那么，最后的結(jié)果是2013．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】首先分析整個過程，需要將整個過程從后向前推理．那么加減互換，乘除互換即可．
【解答】解：依題意可知：
根據(jù)題意首先逆推，逆推過程加減互換，乘除互換．
（2013﹣1013）×4÷2+13=2013．
開始的數(shù)字是2013，經(jīng)過上述過程的結(jié)果還是2013沒有發(fā)生變化，那么無論多少次都是2013．
故答案為：2013．

【例37】 37．（2013?迎春杯）n名海盜分金幣．第1名海盜先拿1枚金幣，再拿剩下金幣的1%；然后，第2名海盜先拿2枚，再拿剩下金幣的1%；第3名海盜先拿3枚，再拿剩下金幣的1%；…第n名海盜先拿n枚，再拿剩下金幣的1%．結(jié)果金幣全被分完，且每位海盜拿的金幣都一樣多．那么共有金幣9801．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】首先根據(jù)金幣被全部分完，那么最后一個人的1%就是0，正好是第n個人拿走n個．倒推前一個人的進(jìn)行比較即可．
【解答】解：依題意可知：
第n名海盜先拿走n枚，再那剩下的1%，結(jié)果金幣倍全部拿完．說明剩下的金幣為0．
第n名海盜拿走的實際就是n枚．
第n﹣1名海盜先拿走n﹣1枚，再拿走剩下的1%，由于每個海盜拿的一樣多，所以剩下的金幣的1%是1枚，那么剩下的99%就是99枚．
故n=99，每個人拿走99枚，共有99個人．
99×99=9801．
故答案為：9801．

【例38】 38．（2013?迎春杯）某日，小明和哥哥聊天，小明對哥哥說：“我特別期待2013年的到來，因為，2、0、1、3是四個不同的數(shù)字，我長這么大，第一次碰到這樣的年份．”哥哥笑道：“是呀，我們可以把像這樣的年份叫做‘幸運(yùn)年’，這樣算來，明年恰好是我經(jīng)歷的第2個‘幸運(yùn)年’了．”那么，哥哥是1987年出生的．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】2013年是哥哥過的第二個幸運(yùn)年（年份的四個數(shù)字都不相同），往前推算，找出最接近2013的幸運(yùn)年即可．
【解答】解：從2013年往前推算，年份依次是：
2012，有2個2；
2011，有2個1；
2010有2個0；
2009～2000，都至少有2個0；
1999～1989，都至少有2個9；
1988，有2個8；
1987四個數(shù)字都不相同；
所以哥哥是 1987年出生的．
故答案為：1987．

【例39】 39．（2013?創(chuàng)新杯）有學(xué)生問王老師，您剛買莫言的文學(xué)名著《生死疲勞》每本多少元，王老師說：“該書每本售價加上5，減去4，乘以5，除以4是50（單位：元）”．那么，該書每本售價39元．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】除以4是50，那么在沒除以4之前是50×4=200；乘上5是200，那么，在沒乘5之前是200÷5=40；減去4是40，在沒減4之前是40+4=44；加上5是44，在沒加5之前是44﹣5=39．據(jù)此解答．
【解答】解：50×4÷5+4﹣5
=40+4﹣5
=39（元）
答：該書每本售價39元．
故答案為：39．

【例40】 40．（2013?希望杯）小明在計算一個整除的除法算式時，不小心將除數(shù)18看成15，得到的商是24，則正確的商是20．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)“錯將除數(shù)18看成15，結(jié)果得到商24”，用商乘錯誤的除數(shù)可求出被除數(shù)的數(shù)值，進(jìn)而再用被除數(shù)除以除數(shù)即可得正確的商．
【解答】解：被除數(shù)：24×15=360，
正確的商：360÷18=20．
故答案為：20．

【例41】 41．（2013?其他杯賽）有一個數(shù)，把它減去3，然后除以3，再加上3，最后乘3，得到的結(jié)果是2013．這個數(shù)原來是2007．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題應(yīng)從后向前推算，用最后得到的結(jié)果2013先除以3，再減去3，求得的差再乘3，所得到的積再加上3即可．
【解答】解：{[（2013÷3）﹣3]×3}+3，
={[671﹣3]×3}+3，
=2004+3，
=2007；
故答案為：2007．

【例42】 42．（2013?其他杯賽）一個書架有上、中、下三層，一共有264本書．先從上層取出一半平均分放到中、下兩層；再從中層取出一半平均分放到上、下兩層；最后從下層取出一半平均分放到上、中兩層．此時，三層的書一樣多．最初上層有44本書．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】抓住三層書的本數(shù)相同時，書架上的書為：264÷3=88本，由此進(jìn)行逆推．
【解答】解：現(xiàn)在上中下三層都有：264÷3=88本，
下層未給上、中層時，上層有：88÷2=44本，中層有：88÷2=44本，下層有：88+88=176本；
中層未給上、下層時，上層有：44÷2=22本，中層有：44×2=88本，上層有：176﹣22=176本；
上層未給中、下層時，上層有：22×2=44本，中層有：88﹣22÷2=7，下層有：154﹣22÷2=143本；
答：最初上層有44本．
故答案為：44．

【例43】 43．（2013?希望杯）用1722除以一個兩位數(shù)，小明在計算的時候錯把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字寫反了，得到的錯誤結(jié)果是42，則正確的結(jié)果應(yīng)該是123．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)被除數(shù)和錯誤的商，求出看錯了的除數(shù)，進(jìn)而把看錯了的除數(shù)的十位上的數(shù)和個位上的數(shù)顛倒位置，求出正確的除數(shù)，進(jìn)而求出正確的商．
【解答】解：1722÷42=41，
所以正確的除數(shù)是14，
1722÷14=123；
答：正確的結(jié)果應(yīng)該是123．
故答案為：123．

【例44】 44．（2012?華羅庚金杯）抽屜里有若干個玻璃球，小軍每次操作都取出抽屜中球數(shù)的一半再放回一個球．如此操作了2012次后，抽屜里還剩有2個球．那么原來抽屜里有2個球．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】還原問題每次拿走一半再放回一個，倒推就是每次拿走一個再加一倍．2個拿走1個，剩下1個加一倍是2個．重復(fù)周期問題．
【解答】解：還原問題的倒推圖

操作第一次：（2﹣1）×2=2（個）
操作第二次：（2﹣1）×2=2（個）
操作第三次：（2﹣1）×2=2（個）
每一次結(jié)果都是2個，屬于周期問題．無論操作多少次結(jié)果都是2個．
故答案為：2

【例45】 45．（2012?迎春杯）有2012個小矮人，他們不是好人，就是壞人，每天他們都要參加一次聚會，每次聚會人數(shù)是3或5．每次參與聚會的小矮人中，若好人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成好人；若壞人占多數(shù)，則參加聚會的人全變成壞人，如果第三天聚會完畢后，全部2012人全變成了好人．那么第一天聚會前好人的人數(shù)的最小值是435．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）；P1：最大與最?。?br /> 【分析】首先分析在第三次聚會前共有多少好人，每5人中就有3人是好人，每3人中就2人是好人．再求第二次聚會前，直到第一次聚會前．即可求解．
【解答】解：逆推法：極端分析，若要使好人盡量少，則應(yīng)在聚會時由壞人變成好人數(shù)量最多．
若三人一組，最多變成好人的數(shù)量是，若5人一組，最多使的人變成好人；，所以盡量讓5人一組．
2012=5×400+3×4，
所以最后一次共分為400個5人組，和4個3人組；
每5個人中有3個人是好人，每3個人中共有2個人是好人；
第二次聚會后最少有400×3+2×4=1208（人）；
同理1208=5×241+3×1；
第一次機(jī)會則最少有241×3+2=725（人），725=145×5；
145×3=435（人）；
故答案為：435．

三．解答題（共5小題）
【例46】 46．（2017?希望杯）有甲、乙、丙、丁四個書庫，共有圖書24000本，從甲書庫調(diào)運(yùn)1500本書到乙書庫，然后從乙書庫調(diào)運(yùn)1800本書到丙書庫，再從丙書庫調(diào)運(yùn)2200本書到丁書庫，最后從丁書庫調(diào)運(yùn)1700本書到甲書庫．此時，甲、乙、丙、丁書庫的圖書數(shù)量相等，求甲書庫原來有圖書多少本？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】甲調(diào)出了1500本，調(diào)進(jìn)了1700本，總的來說調(diào)進(jìn)了200本，再根據(jù)甲、乙、丙、丁書庫的圖書數(shù)量相等，即可求甲書庫原來有圖書多少本．
【解答】解：甲調(diào)出了1500本，調(diào)進(jìn)了1700本，總的來說調(diào)進(jìn)了200本，結(jié)果為24000÷4=6000本，
因此甲原來有6000﹣200=5800（本）．
答：甲書庫原來有圖書5800本．

【例47】 47．（2011?其他模擬）小強(qiáng)在計算“25﹣△×3”時，按從左向右依次計算，算出的結(jié)果與正確答案相差多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先按小強(qiáng)的方法，從左向右依次計算出結(jié)果，再與正確結(jié)果相減即可．
【解答】解：小強(qiáng)的算法：（25﹣△）×3=25×3﹣△×3=75﹣△×3；
75﹣△×3﹣（25﹣△×3）
=75﹣△×3﹣25+△×3
=50；
答：算出的結(jié)果與正確答案相差50．

【例48】 48．（2017?希望杯）兩棵樹上一共有25只鳥，先是左邊樹上的鳥有一半兒飛到了右邊樹上，然后右邊樹上的8只鳥又飛到了左邊樹上，這時左邊樹上的鳥比右邊樹上多3只．請問最開始左邊樹上有幾只鳥？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】求出最后左邊樹、右邊樹上的鳥的只數(shù)，右邊樹上的8只鳥又飛到了左邊樹上，故左邊樹上的鳥有一半兒飛到了右邊樹上時，左邊樹有6只，右邊樹有19只，即可得出結(jié)論．
【解答】解：已知最后左邊樹上的鳥比右邊多3只，兩棵樹一共25只，左邊樹有（25+3）÷2=14（只），右邊樹有25﹣14=11（只）．
右邊樹上的8只鳥又飛到了左邊樹上，故左邊樹上的鳥有一半兒飛到了右邊樹上時，左邊樹有6只，右邊樹有19只，所以最開始左邊樹上有12只鳥．

【例49】 49．（2017?奧林匹克）村姑賣雞蛋，第一次賣出一籃的一半又二個；第二次賣出余下的一半又二個；第三次賣出再剩下的一半又二個，這時籃里只剩下二個蛋，問這籃雞蛋有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題從后向前推算，根據(jù)“第三次賣出第二次余下的一半又2個，還剩2個”，也即是2+2正好是第二次余下的一半，因此第二次余下：（2+2）×2=8（個）；根據(jù)“第二次賣出余下的一半又2個，剩下8個”，也就是說8+2正好是第一次余下的一半，因此第一次余下：（8+2）×2=20（個）；再根據(jù)“第一次賣出總數(shù)的一半又2個，剩下20個”，可知這筐雞蛋原有（20+2）×2，解決問題．
【解答】解：{[（2+2）×2+2]×2+2}×2，
={[4×2+2]×2+2}×2，
={[8+2]×2+2}×2，
={10×2+2}×2，
=22×2，
=44（個）；
答：這筐雞蛋共有44個．

【例50】 50．甲、乙、丙三個容器各有一定量的酒精，把甲的倒入乙后，再把乙的倒入丙，再把丙的倒入甲，此時三個容器各有酒精千克，那么甲、乙、丙原來各有酒精多少千克？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)“最后三個容器中各有酒精 千克”，可知三個容器中一共有酒精 ×3=1千克，丙最后有千克，是倒出后，所以這之前丙有÷（1﹣）=千克，那么倒入甲的就是×=千克，那么甲把它的倒入乙后，還剩下﹣=千克，據(jù)此可得出甲原來有÷（1﹣）=千克，同理，乙最后有千克，是倒出后，所以這之前乙有÷（1﹣）=千克，再減去甲倒入的，乙原來有﹣×=千克，所以丙原來有：1﹣﹣=千克，據(jù)此即可解答問題．
【解答】解：根據(jù)題意，可知三個容器中一共有酒精：×3=1（千克），
丙最后有千克，是倒出后，所以這之前丙有÷（1﹣）=千克，
那么倒入甲的就是×=千克，那么甲把它的倒入乙后，還剩下﹣=千克，
據(jù)此可得出甲原來有÷（1﹣）=千克，
同理，乙最后有千克，是倒出后，所以這之前乙有÷（1﹣）=千克，
再減去甲倒入的，乙原來有﹣×=千克，
所以丙原來有：1﹣﹣=千克，
答：甲原來千克，乙原來千克，丙原來千克．


B
【例51】 1．（2017?學(xué)而思杯）市場上有個商人在賣蘋果，第一個顧客買了蘋果數(shù)量的一半多半個，第二個顧客買了剩下蘋果的一半多半個，接下來，第三名、第四名顧客都是這種買法，這時蘋果剛好賣完，并且每人都買到的是完整的蘋果，則商人原有15個蘋果．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后向前逆推，第四個顧客買了剩下蘋果的一半多0.5個，這時蘋果剛好賣完；則第三名顧客買完后剩下0.5×2=1個，第二名顧客買完后剩下（1+0.5）×2=3個，第一名顧客買完后剩下（3+0.5）×2=7個，原來有（7+0.5）×2=15個；據(jù)此解答即可．
【解答】解：{[（0.5×2+0.5）×2+0.5]×2+0.5}×2
=7.5×2
=15（個）
答：商人原有 15個蘋果．
故答案為：15．

【例52】 2．（2017?中環(huán)杯）一個數(shù)除以2016，再減去2016，再乘以2016，得到的數(shù)為2016，則原先那個數(shù)為4066272．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前來推算，①“再乘以2016，得到的數(shù)為2016”，則前一個數(shù)是2016÷2016=1；②“再減去2016等于1”，則前一個數(shù)是2016+1=2017；③“一個數(shù)除以2016等于2017”，則前一個數(shù)是2017×2016；據(jù)此解答即可．
【解答】解：（2016÷2016+2016）×2016
=2017×2016
=4066272；
答：原先那個數(shù)為 4066272．
故答案為：4066272．

【例53】 3．（2015?春蕾杯）小圓有一筐桃子，第一次他吃掉了全部桃子的一半多1個，第二次他又吃掉了剩余桃子的一半少1個，此時筐里還剩下4個桃子，那么這個筐里原有桃子14個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題干分析可得，第二次沒吃前有（4﹣1）×2=6個，第一次沒吃前（原來的個數(shù)）有（6+1）×2=14個，據(jù)此解答即可．
【解答】解：[（4﹣1）×2+1]×2
=7×2
=14（個）
答：這個筐里原有桃子 14個．
故答案為：14．

【例54】 4．（2015?春蕾杯）一個數(shù)加5，乘以5，減去5，再除以5，結(jié)果還是5，這個數(shù)是1．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前來推算，①“除以5，結(jié)果還是5”，則前一個數(shù)是5×5=25；
②“減去5等于25”，則前一個數(shù)是25+5=30；
③“乘以5等于30”，則前一個數(shù)是30÷5=6；
④“加5，等于6”，則原來的數(shù)是6﹣5=1．
【解答】解：（5×5+5）÷5﹣5
=30÷5﹣5
=6﹣5
=1
答：這個數(shù)是1．
故答案為：1．

【例55】 5．（2015?迎春杯）有一種特殊的計算器，當(dāng)輸入一個數(shù)后．計算器會把這個數(shù)乘以2，然后將其結(jié)果的數(shù)字順序顛倒．接著再加2后顯示最后的結(jié)果．如果輸入一個兩位數(shù)，最后顯示的結(jié)果是27，那么，最開始輸入的是26．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意可得運(yùn)算規(guī)律：原數(shù)→×2→數(shù)字順序顛倒→+2→顯示最后的結(jié)果；因為最后顯示的結(jié)果是27，然后根據(jù)運(yùn)算規(guī)律逆推即可．
【解答】解：數(shù)字順序顛倒后為：27﹣2=25，
乘2后的得數(shù)是：52，
原數(shù)是：52÷2=26；
答：最開始輸入的是26．
故答案為：26．

【例56】 6．（2015?學(xué)而思杯）四個數(shù)的和為256，如果把第一個數(shù)乘7，第二個數(shù)除以7，第三個數(shù)加7，第四個減7，得到的數(shù)相同，那么這四個數(shù)中最大的數(shù)減最小的數(shù)為192．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】把最后得到的相同的數(shù)看作單位“1”，由于第三個數(shù)加7，第四個減7相等，則和不變，第一個數(shù)乘7，則原來的第一個數(shù)是單位“1”的；第二個數(shù)除以7，則第二個數(shù)原來是單位“1”的7倍，那么256對應(yīng)的分率就為（+7+1+1），由此用除法求出最后得到的相同的數(shù)，然后再進(jìn)一步解答即可．
【解答】解：256÷（+7+1+1）
=256÷
=28
最大的數(shù)是：28×7=196
最小的數(shù)是：28÷7=4
196﹣4=192
答：這四個數(shù)中最大的數(shù)減最小的數(shù)為192．
故答案為：192．

【例57】 7．（2015?學(xué)而思杯）清明假期三天，琳琳努力在家做題，已知琳琳第二天做的題目數(shù)量是第一天的2倍，第三天做的題目數(shù)量比第二天多5道，如果琳琳第三天做了23道題，那么，第一天她做了9道題．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前推算，第三天做的題目數(shù)量減去5就是第二天做的題目數(shù)量，即23﹣5=18道；又因為第二天做的題目數(shù)量是第一天的2倍，所以用第二天做的題目數(shù)量除以2就是第一天做的題目數(shù)量．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
（23﹣5）÷2[來源:學(xué)科網(wǎng)]
=18÷2
=9（道）
答：第一天她做了 9道題．
故答案為：9．

【例58】 8．（2013?奧林匹克）在古代歐洲某個地方有這樣一個規(guī)定：商人帶著商品每經(jīng)過一個關(guān)口，就要被沒收一半的錢幣，再退還一個．有一個商人，在經(jīng)過10個關(guān)口之后，只剩下兩個錢幣了，這個商人最初共有2個錢幣．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為2÷2+1=2，所以這個商人最初共有2個錢幣，不管過幾關(guān)，最后都剩下2個錢幣；由此解答即可．
【解答】解：由分析可知：這個商人最初共有2個錢幣．
因為2÷2+1=2，所以不管過幾關(guān)，最后都剩下2個錢幣；
答：這個商人最初共有2個錢幣．
故答案為：2．

【例59】 9．把39分成甲、乙、丙、丁四個數(shù)，使得甲數(shù)加上1，乙數(shù)減去2，丙數(shù)乘以3，丁數(shù)除以4后，四個數(shù)相等．那么這四個數(shù)分別是5、8、2、24．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題干，甲乙丙丁四個數(shù)經(jīng)過加減乘除變化后都相等時，設(shè)這個等值為x，利用逆推法可得：甲數(shù)原來是x﹣1，乙數(shù)原來是x+2，丙數(shù)原來是x÷3，丁數(shù)原來是x×4，根據(jù)等量關(guān)系：甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和等于39，即可列出方程解決問題．
【解答】解：設(shè)甲乙丙丁四個數(shù)經(jīng)過加減乘除變化后都相等時的等值為x，根據(jù)題意可得方程：
x﹣1+x+2+x÷3+x×4=39，
6x+1+=39，
x=38，
x=38，
x=6，
則甲數(shù)為：6﹣1=5，
乙數(shù)為：6+2=8，
丙數(shù)為：6÷3=2，
丁數(shù)為：6×4=24，
故答案為：5、8、2、24．

【例60】 10．甲、乙、丙、丁四人到書店去買書．已知甲帶的錢數(shù)是乙的，乙?guī)У腻X數(shù)是丙的，丁比甲多帶3元，四人帶的錢全是一元的硬幣，平均每人30多元．則乙?guī)Я?5元．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】由“甲帶的錢數(shù)是乙的”可知甲：乙=4：5，又由“乙?guī)У腻X數(shù)是丙的”可知乙：丙=3：2，因此甲：乙：丙=12：15：10，根據(jù)“丁比甲多帶了3元”可推出：丁是12份多3元；
甲乙丙丁的總份數(shù)為：12+15+10+12=49（份）
根據(jù)“四人帶的都是一元硬幣，平均每人30多元”，可知四人帶的錢數(shù)是整元，且四人錢數(shù)總和在30×4=120（元）與40×4=160（元）之間．因為49×3=147（元），說明每人帶的錢數(shù)是份數(shù)的3倍； 則乙?guī)У腻X數(shù)是：15×3=45（元）．解決問題．
【解答】解：因為甲：乙=4：5，乙：丙=3：2，
所以甲：乙：丙=12：15：8，
因為丁比甲多帶了3元，所以丁是12份多3元；
甲乙丙丁的總份數(shù)為：
12+15+8+12=49（份）；
由題意知：四人帶的錢數(shù)是整元，且四人錢數(shù)總和在30×4=120（元）與40×4=160（元）之間．
因為49×3=147（元），說明每人帶的錢數(shù)是份數(shù)的3倍；
則乙?guī)У腻X數(shù)是：15×3=45（元）．
答：乙?guī)Я?5元．
故答案為：45．

【例61】 11．一個最簡分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大4倍，分母縮小3倍后正好等于10，那么這個最簡分?jǐn)?shù)是．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】一個最簡分?jǐn)?shù)的分子擴(kuò)大4倍，分母縮小3倍，實際上把這個分?jǐn)?shù)值擴(kuò)大了4×3=12倍，擴(kuò)大12倍后是10，所以原來的分?jǐn)?shù)是10÷12，計算即可．
【解答】解：10÷（4×3），
=10÷12，
=；
答：這個最簡分?jǐn)?shù)是．
故答案為：．

【例62】 12．小明在計算一道減法時，錯把被減數(shù)個位上的8抄成3，減數(shù)十位上的3抄成8，結(jié)果差是111．正確的差應(yīng)該是166．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】被減數(shù)個位上的8抄成了3，結(jié)果差就少了8﹣3=5；減數(shù)十位的3抄成8，結(jié)果差就減少了80﹣30=50；所以最后得到的差比正確的差減少了5+50=55，所以正確的差是111與55的和，據(jù)此計算即可．
【解答】解：8﹣3=5，
80﹣30=50，
111+5+50=166，
答：正確的差是166．
故答案為：166．

【例63】 13．書架有甲、乙、丙三層，共放了192本書．先從甲層拿出與乙層同樣多的書放進(jìn)乙層，再從乙層拿出與丙層同樣多的書放進(jìn)丙層，最后從丙層拿出與甲層同樣多的書放進(jìn)甲層．這時甲、乙、丙層的書同樣多．原來甲層有88本書．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】三層共放了192本書，所以最后甲、乙、丙層的書同樣多時，每一層上都有192÷3=64本；抓住最后從丙層拿出與甲層同樣多的書放進(jìn)甲層，這時甲、乙、丙層的書同樣多，那么說明放進(jìn)甲層的書是此時甲層書的一半，由此即可得出放入甲層的書是：64÷2=32本；由此即可進(jìn)行逆推．
【解答】解：利用表格將逆推過程表示出來如下：

答：甲層原有88本書．
故答案為：88．

【例64】 14．一支較長隊伍的人作一、二、三報數(shù)，報一、二的出去，報三的留下，重報一、二、三，再按規(guī)則報一、二的出去，報三的留下，如此經(jīng)4次報數(shù)，留下10人．問，留下的第1人和第10人在原隊伍中分別是第81號和810號．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先按順序給隊伍中每個人編上號碼，再按題目要求劃去在報數(shù)中出去的人，求出第1次報數(shù)后留下的人的號碼，
即：3×1、3×2、3×3、3×4、3×5、3×6…，
在嘗試中觀察，探索規(guī)律，可知第4次報數(shù)后，留下來的人中第1人和第10人的號碼為：34×1=81；34×10=810；
從而解決問題．
【解答】解：先按順序給隊伍中每個人編上號碼如下：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15…，
按題目要求劃去在報數(shù)中出去的人，第1次報數(shù)后留下的人為：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30…，
即：3×1、3×2、3×3、3×4、3×5、3×6…，
再按題目要求劃去在報數(shù)中出去的人，第2次報數(shù)后留下的人為：
9、18、27、36…
即：32×1、32×2、32×3、32×4、32×5、32×6…
由以上規(guī)律，可知第4次報數(shù)后，留下來的人中第1人和第10人的號碼為：34×1=81；34×10=810．
所以，這兩人在原隊伍中是第81人和第810人；
故答案為：81，810．

【例65】 15．某孩子付一角錢進(jìn)入第一家商店，他在店里花了剩余的錢的一半，走出商店時，又付了一角錢．之后，他又付一角錢進(jìn)入第二家商店，在這里他花了剩余的錢的一半，走出商店時又付了一角錢，接著他又用同樣的方式進(jìn)入第三和第四家商店．當(dāng)他離開第四家商店后，這時他身上只剩下一角錢．那么他進(jìn)入第一家商店之前身上有61角錢．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題從最后的結(jié)果出發(fā)，最后剩下了1角錢，那么他在出門之前就是2角，購物之前就是2×2=4角，那么他在進(jìn)門之前就有5角錢；同理就可以求出他原來的錢數(shù)．
列表如下：（單位：角）

進(jìn)門前
購物前
出門前
剩余
第四家商店
5
4
2
1
第三家商店
13
12
6
5
第二家商店
29
28
14
13
第一家商店
61
6
3
29
【解答】解：第四家商店：
剩余：1角，
出門前；1+1=2（角），
購物前：2×2=4（角），
進(jìn)門前：4+1=5（角）；
第三家商店：
出門前：5+1=6（角），
購物前：6×2=12（角），
進(jìn)門前：12+1=13（角）；
第二家商店：
出門前；13+1=14（角），
購物前：14×2=28（角），
進(jìn)門前：28+1=29（角）；
第一家商店：
出門前：29+1=30（角），
購物前：30×2=60（角），
進(jìn)門前：60+1=61（角），
故答案為：61角．

【例66】 16．小剛有若干本書，小華借走一半加一本，剩下的書小明借走一半加兩本，再剩下的書小峰借走一半加三本，最后小剛還剩下兩本書，那么小剛原有50本書．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題需要從問題出發(fā)，一步步向前推，小剛剩的2本書加上3本就是小明借走后的一半，那么就可以求出小明借走后的數(shù)量，同理可以求出小華借走后的數(shù)量，進(jìn)而可求小明原有的數(shù)量．
【解答】解：小峰未借前有書：
（本），
小明未借之前有：
（本），
小剛原有書：
（本）．
答：小明原有書50本．
故答案為：50．

【例67】 17．小虎做一道計算題：某數(shù)乘8再減去13．小虎錯把題目看成某數(shù)乘6再加3．沒想到答案碰對了．那么某數(shù)是8．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】通過題意可知，某數(shù)的8倍比某數(shù)的6倍多（13+3）；根據(jù)已知一個數(shù)的（8﹣6）倍是（13+3），求這個數(shù)，用除法計算即可．
【解答】解：（13+3）÷（8﹣6）=8；
答：那么某數(shù)為8．
故答案為：8．

二．解答題（共33小題）
【例68】 18．（2017?中環(huán)杯）某數(shù)加上5，乘以5，減去5，除以5，其結(jié)果等于5．求這個數(shù)．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后一步推起，“除以5，其結(jié)果等于5”可以求出被除數(shù)：5×5=25；再看倒數(shù)第2步，“減去5”得25，可以求出被減數(shù)：25+5=30；然后看倒數(shù)第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘數(shù)：30÷5=6；最后看第1步，“某數(shù)加上5”得6，某數(shù)為6﹣5=1．由此即可解決問題．
【解答】解：5×5=25，
25+5=30，
30÷5=6，
6﹣5=1，
答：所求的數(shù)為1．

【例69】 19．（2014?迎春杯）天天在計算“60+□×5”時，先算加法，后算乘法，得到的結(jié)果是500．你能幫他算出這道題的正確得數(shù)嗎？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為把運(yùn)算順序弄錯了，先算的加法，后算的乘法，所以從后向前算，用500÷5得出60+□是多少，在進(jìn)一步求出□，然后計算出結(jié)果即可解答．
【解答】解：500÷5﹣60
=100﹣60
=40
60+40×5
=60+200
=260；
答：正確得數(shù)是260．

【例70】 20．桌子上放四疊練習(xí)本，第一疊17本，第二疊7本，第三疊6本，第四疊2本．請你從任意一疊拿出幾本練習(xí)本到下一疊去，拿過去的練習(xí)本數(shù)目，必須與另一疊原有的本數(shù)相同，只許挪動四次，使每疊練習(xí)本的數(shù)目相等，能做到嗎？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先算出共有32本，然后分析最后每堆8本，根據(jù)17﹣8=9（本）可以知道第一堆要移走9本，這9本分7本給第二堆，分2本給第四堆，接下去如此分析即可．
【解答】解：
（17+7+6+2）÷4=8（本）
第一次從第一堆移動7本到第二堆；
第二次從第一堆移動2本到第四堆；
第三次從第二堆移動6本到第三堆；
第四次從第三堆移動4本到第四堆．

【例71】 21．修路隊修一條公路，第一天修了全長的一半少40米；第二天修了余下的一半多10米，還剩60米，這條公路全長多少米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先求出第一天修完剩下的路程，再計算這條公路全長．
【解答】解：[（60+10）÷（1﹣）﹣40]÷（1﹣）
=100
=200（米）；
答：這條公路全長200米．

【例72】 22．商場出售洗衣機(jī)，上午售出總數(shù)的一半多10臺，下午售出剩下的一半多20臺，還剩95臺，這個商場原來有洗衣機(jī)多少臺？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從“下午售出剩下的一半還多20臺”和“還剩95臺”向前倒推，可以得出，剩下的95臺和下午多賣的20臺合起來，即95+20=115臺正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230臺就是上午售出后剩下的臺數(shù)．而230臺和10臺合起來，即230+10=240臺又正好是總數(shù)的一半．那么，240×2=480臺就是原有洗衣機(jī)的臺數(shù)．
【解答】解：由題意，上午售后剩下的一半：95+20=115（臺），
上午售出后剩下的臺數(shù)115×2=230（臺），
這個商場原來有洗衣機(jī)（230+10）×2=480（臺），
答：這個商場原來有洗衣機(jī)480臺．

【例73】 23．一鍋炒飯，小孩第一天吃了，以后8天分別吃當(dāng)時剩下的，，，…，，最后還剩三粒飯，問原來有多少粒？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后剩下的3粒是第八天吃剩的，于是可以求出第八天有多少粒．這個數(shù)又是第七天吃剩的（1﹣），于是又可以求第六天有多少粒…就這樣倒著想，即可求出．
【解答】解：3÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）
=3×2××××××××
=30（個）
答：原來有30粒．

【例74】 24．修路隊修一條路，第一天修了全長的一半多20米，第二天修了余下的一半少15米，第三天修了50米，還剩下30米沒有修．這條路的全長是多少米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先計算第一天余下的，再計算這條路的全長即可．
【解答】解：[（30+50﹣15）×2+20]×2
=（65×2+20）×2
=150×2=300（米）
答：這條路全長300米．

【例75】 25．某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元，這時他的存折上還剩1250元．他原有存款多少元？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先求出第一次取了存款余下的錢，即可求出他原有存款多少元．
【解答】解：[（1250+100）÷+50]÷，
=[2700+50]÷，
=5500（元）；
答：他原有存款5500元．

【例76】 26．糧庫內(nèi)有一批大米，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多5噸，還剩下4噸，問糧庫原有大米多少噸？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題需要從問題出發(fā)，一步步向前推，最后剩下了4噸，它是運(yùn)出剩下的一半又5噸后剩下的，那么剩下的一半就是4+5=9噸，就可以求出剩下的一共多少噸；同樣的方法就可以求出原來有多少噸．
【解答】解：[（4+5）×2+3]×2
=[18+3]×2
=21×2
=42（噸）
答：倉庫原有大米42噸．

【例77】 27．一種細(xì)菌放入一個密閉瓶中，20分鐘可使瓶中充滿細(xì)菌，已知1個細(xì)菌每分鐘能分裂成2個，兩分鐘能分裂成4個，…，若給瓶中放入1個細(xì)菌，19分鐘后細(xì)菌充滿半瓶．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】一個細(xì)菌1分鐘分裂成2個，2分鐘分裂成4個，n分鐘分裂成2n個，一個細(xì)菌經(jīng)過20分鐘的繁殖能使瓶子充滿．由于繁殖時，每分鐘增加原來一倍，即可得出結(jié)論．
【解答】解：一個細(xì)菌1分鐘分裂成2個，2分鐘分裂成4個，n分鐘分裂成2n個，一個細(xì)菌經(jīng)過20分鐘的繁殖能使瓶子充滿．
由于繁殖時，每分鐘增加原來一倍，
故細(xì)菌充滿半瓶所需要的時間為19分鐘．
故答案為19．
[來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
【例78】 28．小明媽媽買來一筐雞蛋，第一天吃了17，第二天吃了余下的14，第三、四天都吃了第二天余下的13，第五天吃了余下的12，還剩下3個雞蛋，媽媽共買了多少雞蛋？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】把每天吃前的質(zhì)量看作單位“1”；第五天吃了余下的，還剩下3個雞蛋，則第五天吃前有3÷（1﹣）=6（個）；第三、四天都吃了第二天余下的，即第三、四天共吃了第二天余下的×2，同理，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，依次求出第二天前的個數(shù)，以及第一天前的個數(shù)（即原有的個數(shù)）即可．
【解答】解：3÷（1﹣）÷（1﹣×2）÷（1﹣）÷（1﹣）
=3×2×3××
=28（個）；
答：媽媽共買了28個雞蛋．

【例79】 29．有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出給乙桶后，又從乙桶中倒出給甲桶，這時兩桶各有90千克油，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】這時兩桶各有90千克油，從后向前推算：
乙桶中倒出給甲桶，即沒倒前有：90÷（1﹣）=120（千克），
倒給了甲桶120﹣90=30千克，
那么，甲桶每倒入30千克前有90﹣30=60千克，
即，原來從甲桶中倒出給乙桶后還剩下60千克，
那么，原來從甲桶中有油：60÷（1﹣）=80（千克），
然后進(jìn)一步解答即可求出原來乙桶中油的質(zhì)量．
【解答】解：根據(jù)分析可得，
90÷（1﹣）
=90÷
=120（千克）
120﹣90=30（千克）
90﹣30=60（千克）
60÷（1﹣）
=60÷
=80（千克）
90×2﹣80=100（千克）
答：原來甲桶中有油80千克；乙桶中有油100千克．

【例80】 30．一杯鹽水，第一次倒出13，然后倒回杯中20克，第二次再倒出杯中鹽水的25，第三次倒出60克，杯中還剩下48克，原來杯中有多少克鹽水？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從后向前推算：第三次沒倒出60克前還剩60+48=108克，則第二次沒倒前有108÷（1﹣）=180克，同理，依次向前推算即可解決問題．
【解答】解：第三次沒倒前還剩：60+48=108（克）
第二次沒倒前有：108÷（1﹣）
=108
=180（克）
第一次倒出還剩：180﹣20=160（克）
原來有：160÷（1﹣）
=160
=240（克）
答：原來杯中有240克鹽水．

【例81】 31．云云把自己存的錢的一半買了一本數(shù)學(xué)書，后來姐姐又給她5元，她又用其中比一半多0.4元的錢買了外語書，結(jié)果還剩7.2元，那么她未買數(shù)學(xué)書前共有多少元錢？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】利用逆推的方法：先求出買外語書之前的錢是（7.2+0.4）×2元，再減去5求出姐姐給他錢之前的錢，最后求出原有的錢數(shù)．
【解答】解：[（7.2+0.4）×2﹣5]×2
=[15.2﹣5]×2，
=10.2×2，
=20.4（元），
答：她未買數(shù)學(xué)書前共有20.4元．

【例82】 32．冰箱里的雞蛋，第一天拿走了一半少3個，第二天拿走了余下的一半多2個，第三天拿走余下的一半后，最后還剩2個．冰箱里原來有雞蛋多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意知：第三天沒拿前用的個數(shù)是2×2=4個，第二天沒拿前的個數(shù)是（4+2）×2=12個，第三天沒拿前的個數(shù)是（12﹣3）×2=18個．據(jù)此解答．
【解答】解：[（2×2+2）×2﹣3]×2，
=[（4+2）×2﹣3]×2，
=[6×2﹣3]×2，
=[12﹣3]×2，
=9×2，
=18（個）；
答：原來有雞蛋18個．

【例83】 33．阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜．別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11．”你知道阿凡提一共帶了多少錢？買魚用了多少錢？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先求買菜的錢，即1+2+3+3+2+1+1+2+3+4+5+6+7+7+8+8+7+9+10+11=100（元）；因為用余下錢的一半買魚，剩下了100元，則沒買魚之前是100×2=200（元）；他用錢的一半買肉，剩下了200元，則總錢數(shù)為200×2=400（元），賣魚的錢為400÷2÷2=100（元）．據(jù)此解答．
【解答】解：①買菜的錢：
1+2+3+3+2+1+1+2+3+4+5+6+7+7+8+8+7+9+10+11=100（元）
②總錢數(shù)：100×2×2=400（元）
③買魚的錢：400÷2÷2=100（元）
答：阿凡提一共帶了400元錢，買魚用去100元錢．

【例84】 34．一個分?jǐn)?shù)約分后是 ，如果將這個分?jǐn)?shù)的分子減少124，分母減少11，所得的新分?jǐn)?shù)約分后是．那么原來分?jǐn)?shù)是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題可設(shè)原分?jǐn)?shù)的分子和分母約去的約數(shù)是x，再根據(jù)題意列出方程，進(jìn)一步得解．
【解答】解：設(shè)原分?jǐn)?shù)是，
由題意有，
解得x=67，
所以原分?jǐn)?shù)是．
答：原來分?jǐn)?shù)是．

【例85】 35．小紅帽提了一籃雞蛋去城里賣，第一次賣出全部雞蛋的一半又1個，第二次又賣出剩下的雞蛋的一半又1個，第三次又賣出剩下的雞蛋的一半又1個，這時籃子里還剩下1個雞蛋．籃子里原來有多少個雞蛋？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】運(yùn)用逆推的方法，用（1+1）×2求出第一次賣完后，剩下的雞蛋的個數(shù)，再用（1+1）×2+1再乘2，就是第二次賣完后，剩下雞蛋的個數(shù)；最后用（1+1）×2+1再乘2再加1再乘2就是小紅帽籃子里原來有雞蛋的個數(shù)．
【解答】解：第二次賣完后雞蛋有：（1+1）×2=4（個）；
第一次賣完后雞蛋二有：（4+1）×2=10（個）；
籃子里原來有雞蛋：（10+1）×2=22（個）；
答：籃子里原來有22個雞蛋．

【例86】 36．黑白團(tuán)隊從家去森林之城，第一天行了全程一半多3千米，第二天行了余下的一半少2千米，第三天又行了余下的一半多5千米．此時還剩下10千米到達(dá)森林之城．那么全程共多少千米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后還剩下10千米到達(dá)森林之城，因為第三天又行了余下的一半多5千米，所以第二天行完余下：（10+5）×2=30（千米）；第二天行完余下30千米，因為第二天行了余下的一半少2千米，第一天行完余下：（30﹣2）×2=56（千米）；第一天行完余下56千米，因為第一天行了全程一半多3千米，所以，全程共：（56+3）×2=118（千米），據(jù)此即可解答．
【解答】解：第二天行完余下：（10+5）×2=30（千米）；
第一天行完余下：（30﹣2）×2=56（千米）；
全程共：（56+3）×2=118（千米）；
答：全程共118千米．

【例87】 37．小華在做一道兩位數(shù)乘法時，把乘數(shù)個位上的3錯寫成5，乘得結(jié)果是875，正確的結(jié)果是805，這兩個兩位數(shù)分別為幾？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】乘數(shù)個位上的3錯寫成5，這個因數(shù)就增加了2；而積增加了875﹣805=70；根據(jù)差倍公式，用70除以2就得的不變的一個因數(shù)，再用積除以這個因數(shù)就得出另一個因數(shù)．
【解答】解：875﹣805=70，
70÷（5﹣3）=35；
805÷35=23；
答：這兩個因數(shù)分別是23和35．

【例88】 38．有兩個人出相等的錢買若干同樣的本子，其中一個人比另一個人多得了6本，并為此付給另一個人3元錢．那么每本本子1元．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，多得的6本應(yīng)該是2人共有的，即每人3本，現(xiàn)在一人占有了對方的3本，付給3元錢，3除以3等于1，即每本1元，據(jù)此解答即可．
【解答】解：6÷2=3（本），
3÷3=1（元），
答：每本本子1元．
故答案為：1．

【例89】 39．媽媽買了一些蘋果，第一天吃去又個，第二天吃去剩下的又個，第三天吃去再剩下的又個，這時剩下3個蘋果．問媽媽買了多少個蘋果？每天各吃了多少個蘋果？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題應(yīng)從后向前推算，用最后剩下的3個蘋果加上個，就是第二天吃后剩下的（1﹣），這里是把第二天吃后剩下的個數(shù)看作單位“1”，用（3+）÷（1﹣）可求得第二天吃后剩下的個數(shù)，同理，依次用除法分別求得第一天吃后剩下的個數(shù)、總個數(shù)，進(jìn)而再分別求得每天各吃了多少個蘋果；據(jù)此解答即可．
【解答】解：第二天吃后剩下：（3+）÷（1﹣），
=÷，
=5（個）；

第一天吃后剩下：（5+）÷（1﹣），
=÷，
=7（個）；

蘋果總數(shù)：（7+）÷（1﹣），
=÷，
=11（個）；

第一天吃了：11﹣7=4（個）；
第二天吃了：7﹣5=2（個）；
第三天吃了：5﹣3=2（個）；
答：媽媽買了11個蘋果，第一天吃了4個，第二天吃了2個，第三天吃了2個．

【例90】 40．一籃蘋果，小明拿走一半后，媽媽和爸爸平均分剩下的一半，媽媽得了3個．籃里原來有幾個蘋果？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為媽媽和爸爸平均分剩下的一半，媽媽得了3個，所以爸爸得了3個，所以小明拿走后剩下3+3=6個，由此再乘2求出籃子里原有蘋果的個數(shù)．
【解答】解：（3+3）×2=12（個），
答：籃里原來有12個蘋果．

【例91】 41．15.104÷[（548+396）×（□﹣7.52）]=0.02（只填□，不寫過程）[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先把中括號的運(yùn)算看成一個整體，在整個算式中它是除數(shù)，可以用被除數(shù)除以商求出中括號運(yùn)算后的結(jié)果；中括號里面的運(yùn)算可以看成是一個乘法算式，兩個小括號里面的運(yùn)算可以看成兩個因數(shù)，用整個中括號運(yùn)算后的結(jié)果除以第一個因數(shù)就是第二個因數(shù)；第二個因數(shù)是□﹣7.52的差，□就用差加上減數(shù)．
【解答】解：15.104÷0.02=755.2；
755.2÷（548+396），
=755.2÷944，
=0.8；
7.52+0.8=8.32；
□的值是8.32．

【例92】 42．一個書架分上、中、下三層，一共放書384本，如果從上層取出與中層同樣多的本數(shù)放入中層，再從中層取出與下層同樣多的本數(shù)放入下層，最后又從下層取出與現(xiàn)在上層同樣多的本數(shù)放入上層，這時三層書的本數(shù)相同，求這個書架上原來上、中、下各放幾本書？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】抓住三層書的本數(shù)相同時，書架上的書為：384÷3=128本，由此進(jìn)行逆推．
【解答】解：現(xiàn)在上中下三層都有：384÷3=128本，
下層未給上層時，上層有：128÷2=64本，下層有：128+64=192本，中層有：128本；
中層未給下層時，下層有：192÷2=96本，中層有：128+96=224本，上層有：64本；
上層未給中層時，中層有：224÷2=112本，上層有：64+112=176本，下層有：96本；
答：原來上層有64本，中層有128本，下層有96本．

【例93】 43．有一位老師，他的年齡乘2，減16后，再除以2加上8，結(jié)果恰好是38，這位老師今年幾歲？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題干，他的年齡經(jīng)過乘、減、除以、加計算后結(jié)果是38，那么把38向前逆推，利用它們的逆運(yùn)算即可推出他的年齡．
【解答】解：[（38﹣8）×2+16]÷2，
=[30×2+16]÷2，
=[60+16]÷2，
=76÷2，
=38（歲），
答：這位老師今年是38歲．

【例94】 44．計算：[（2﹣）÷﹣1]×（□+71）=100．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】□表示一個未知數(shù)，這里就是解這個關(guān)于□的一元一次方程，先把中括號里面的算式計算出來，利用乘法和加法各部分間的關(guān)系，即可求得□的值．
【解答】

【例95】 45．甲、丙、丁三個組共有圖書90本．如果丙組向甲組借3本后．又送給丁組5本，結(jié)果三個組所有圖書本數(shù)剛好相等．問：甲、丙、丁三個組原來各有圖書多少本？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】假設(shè)甲組有x本，丙有y本，則丁有90﹣x﹣y本，根據(jù)已知可以列出方程：x﹣3=y+3﹣5=90﹣x﹣y+5=30；解方程組，即可得解．
【解答】解：設(shè)甲組有x本，丙有y本，則丁有90﹣x﹣y本，由已知得：
x﹣3=y+3﹣5=90﹣x﹣y+5=30；
x=33，
y=32，
90﹣33﹣32=25（本）；
答：甲原來有圖書33本，丙原來有圖書32本，丁原來有圖書25本．

【例96】 46．王大伯賣西瓜，第一天賣了全部的一半還多1個，第二天賣出剩下的一半還多3個，正好全部賣完．一共有多少個西瓜？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題采用逆推法計算，先算第一天賣出后剩下的西瓜，再求全部的西瓜．根據(jù)“第二天賣出剩下的一半還多3個，正好全部賣完”，可求出第一天賣出后剩下的西瓜，即：3÷；再根據(jù)“第一天賣了全部的一半還多1個”求出全部西瓜的數(shù)量，即（3÷+1）÷，從而解決問題．
【解答】解：（3÷+1）÷，
=（6+1）÷，
=7×2，
=14（個）．
答：一共有14個西瓜．

【例97】 47．小宇過生日時，媽媽送給小宇一盒圓珠筆，他把好朋友小剛和小強(qiáng)找來，他把這盒圓珠筆的一半給了小剛，然后又給小剛加了1支．接著，他又把剩下的一半分給了小強(qiáng)，也同樣給小強(qiáng)又加了 1支，最后剩下 5支圓珠筆，他自己留下了．這盒圓珠筆共有26支．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題干，從最后剩下的5支向前推理可得：剩下的5支圓珠筆加上1支，正好是分給小剛后剩下的一半，由此即可得出分給小剛后剩下了（5+1）×2=12支；這12支加上1支，又是整盒圓珠筆的一半，由此即可求得這盒圓珠筆的總數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題干分析可得：
[（5+1）×2+1]×2，
=13×2，
=26（支），
答：這盒圓珠筆共有26支．
故答案為：26．

【例98】 48．甲乙兩桶各有油若干千克，如果從甲桶倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再從乙桶倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶，這時兩桶油恰好都是60千克，兩桶油原來各多少千克？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題可以從最后的兩桶油都是60千克往前推：第二次倒入：乙桶倒出和甲桶同樣多的油放入甲桶得到甲桶是60千克，則60千克是甲桶原有油的2倍；所以沒倒入之前甲桶有油60÷2=30千克，則乙桶此時是60+30=90千克，即第一次倒入之后甲桶是30千克，乙桶是90千克；而乙桶的90千克，是第一次倒入時，從甲桶倒入了和它原來同樣多的油得到的，所以乙桶原來有油：90÷2=45千克，則甲原來有油30+45=75千克．
【解答】解：根據(jù)題干分析進(jìn)行逆推可得：
第二次乙桶倒入甲桶的油：60÷2=30（千克），
則第一次倒入后甲桶油為：60﹣30=30（千克），乙桶油為：60+30=90（千克）；
第一次甲桶倒入乙桶的油為：90÷2=45（千克），
所以原來乙桶有油：45千克，甲桶有油：30+45=75（千克），
答：甲桶原來有75千克，乙桶原來有45千克．

【例99】 49．小玲家的水果批發(fā)商店，某天上午賣出庫存水果的，下午又賣出余下的多10噸，還剩下5噸．小玲家的水果批發(fā)商店當(dāng)天庫存水果40噸．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先把余下的重量看成單位“1”，假設(shè)少賣了10噸，那么下午就賣了余下的，還剩下15噸，用除法就可以求出上午賣出后剩下的重量；再把當(dāng)天庫存的總量看成單位“1”，上午賣出后還剩下總量的1﹣；它對應(yīng)的數(shù)量就是上步求出的數(shù)量，再用除法就可以求當(dāng)天庫存的總量．
【解答】解：（10+5）÷（1﹣）
=15÷
=25（噸）；
25÷（1﹣）
=25÷
=40（噸）；
答：小玲家的水果批發(fā)商店當(dāng)天庫存水果40噸．
故答案為：40．

【例100】 50．甲、乙、丙共藏書240冊，先從甲處取出與乙同樣多冊書給乙，再從乙處取出與丙處同樣多冊書給丙，最后再從丙處取m與此甲處同樣多冊書給甲．經(jīng)過這樣變動后．丙的藏書是甲的3倍，乙足甲的2倍．原來甲、乙、丙各有書多少冊？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題屬于還原問題，也叫逆推問題，可從后向前推算．經(jīng)過變動后，甲的藏書為240÷（1+2+3）=40（本）；乙的藏書為
40×2=80（本）；丙的藏書為40×3=120（本）．那么第三次甲有40÷2=（本），乙有80本；丙由120+20=140（本）；以此類推，最后即可得出結(jié)果．為了簡便，可用列表法解答．
【解答】解：經(jīng)過變動后，甲的藏書為240÷（1+2+3）=40（本）；乙的藏書為40×2=80（本）；丙的藏書為40×3=120（本）．
用逆推法可推出甲、乙、丙原來的冊數(shù)，列表如下：

答：原來甲、乙、丙各有書95、75、70冊．


C
一．填空題（共10小題）
【例101】 1．（2015?陳省身杯）在A、B、C三個水槽中各養(yǎng)了若干條金魚，若從A槽移12條金魚到C槽，則C槽內(nèi)的金魚數(shù)量將是A槽內(nèi)的2倍；若從B槽中移9條金魚到A槽中，則A槽與B槽的金魚數(shù)將相同．若從B槽移6條金魚到C槽，則B槽內(nèi)與C槽中的金魚數(shù)也會相同．那么，起初金魚數(shù)量最多的水槽中有60條金魚．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意得到以下關(guān)系（A﹣12）×2=C+12；B﹣9=A+9；B﹣6=C+6，從后兩個關(guān)系可以看出B是最多的，B比A多9+9=18，比C多6+6=12，由此又可推出C比A多18﹣12=6．
【解答】解：
B比A多9+9=18（條）
B比C多6+6=12（條）
C比A多18﹣12=6（條）
從A槽移12條金魚到C槽，則此時C比A多12×2+6=30（條）
所以A原來有30+12=42（條）
B原來有42+18=60（條）
故填60

【例102】 2．（2014?小機(jī)靈杯）對一個正整數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1，依此類推直到得到1時停止操作．那么，經(jīng)過10次操作變?yōu)?的數(shù)有55個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題可以通過所給的變換規(guī)律，由易到難，確定操作可變?yōu)?的數(shù)組成斐波拉契數(shù)列，再根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出經(jīng)過9次操作變?yōu)閘的數(shù)的個數(shù)．
【解答】解：通過1次操作變?yōu)?的數(shù)有1個，即2；
經(jīng)過2次操作變?yōu)?的數(shù)有1個，即4；
經(jīng)過3次操作變?yōu)?的數(shù)有2個，即3、8；
…；
經(jīng)過5次操作變?yōu)?的數(shù)有8個，即11、24、10、28、13、64、31、30；
經(jīng)過1、2、3、4、5…次操作變?yōu)?的數(shù)依次為1、1、2、3、5、8…，這即為斐波拉契數(shù)列，
則第7次后是：5+8=13個，第8次后是13+8=21個，第9次后是21+13=34個，第10次后是21+34=55個；
即經(jīng)過10次操作變?yōu)?的數(shù)有55個．
答：經(jīng)過10次操作變?yōu)?的數(shù)有55個．
故答案為：55．

【例103】 3．（2013?希望杯）A、B、C、D四個箱子中分別裝有一些小球，現(xiàn)將A 箱中的部分小球按如下要求轉(zhuǎn)移到其他三個箱子中：該箱中原有幾個小球，就再放入幾個小球，此后，按照同樣的方法依次把B、C、D箱中的小球轉(zhuǎn)移到其他箱子中，此時，四個箱子都各有16個小球，那么開始時裝有小球最多的是A箱，其中裝有33小球個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)最后四個箱子都各有16個小球，所以小球總數(shù)為16×4=64個，最后一次分配達(dá)到的效果是，從D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球數(shù)翻倍，則最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2=8個，由于小球的轉(zhuǎn)移不改變總數(shù)，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8=40個；于是得到D被分配前的情況：A8，B8，C8，D40；倒數(shù)第二次分配達(dá)到的效果是，從C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球數(shù)翻倍，則倒數(shù)第二次分配前，A、B中各有小球8÷2=4個，D中有40÷2=20個，總數(shù)不變，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20=36個
于是得到C被分配前的情況：A4，B4，C36，D20，同樣的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2=2個，C中有小球36÷2=18個，D中有小球20÷2=10個，B中有小球64﹣2﹣18﹣10=34個，即B被分配前的情況：A2，B34，C18，D10；再推導(dǎo)一次，在A被分配前，B中有小球34÷2=17個，C中有小球18÷2=9個，D中有小球10÷2=5個，B中有小球64﹣17﹣9﹣5=33個，即A被分配前的情況：A33，B17，C9，D5，而A被分配前的情況，就是一開始的情況，所以一開始，A箱子裝有最多的小球，數(shù)量為33個
【解答】解：根據(jù)最后四個箱子都各有16個小球，所以小球總數(shù)為16×4=64個，
最后一次分配達(dá)到的效果是，從D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球數(shù)翻倍，則最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2=8個，由于小球的轉(zhuǎn)移不改變總數(shù)，
所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8=40個；于是得到D被分配前的情況：A8，B8，C8，D40；
倒數(shù)第二次分配達(dá)到的效果是，從C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球數(shù)翻倍，則倒數(shù)第二次分配前，A、B中各有小球8÷2=4個，D中有40÷2=20個，總數(shù)不變，
所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20=36個，于是得到C被分配前的情況：A4，B4，C36，D20，
同樣的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2=2個，C中有小球36÷2=18個，D中有小球20÷2=10個，B中有小球64﹣2﹣18﹣10=34個，即B被分配前的情況：A2，B34，C18，D10；
再推導(dǎo)一次，在A被分配前，B中有小球34÷2=17個，C中有小球18÷2=9個，D中有小球10÷2=5個，B中有小球64﹣17﹣9﹣5=33個，即A被分配前的情況：A33，B17，C9，D5；
而A被分配前的情況，就是一開始的情況，所以一開始，A箱子裝有最多的小球，數(shù)量為33個；
答：開始時裝有小球最多的是A箱，其中裝有33小球個；
故答案為：A，33．

【例104】 4．（2012?其他模擬）三年級有甲、乙、丙三個班，甲班比乙班多 4 名女生，乙班比丙班多 1 名女生，如果將甲班的第一組同學(xué)調(diào)入乙班，同時將乙班的第一組同學(xué)調(diào)入丙班，將丙班的第一組同學(xué)調(diào)入甲班，則三個班的女生人數(shù)恰好相同．已知丙班第一組有2 名女生，那么甲班第一組有5名女生．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】甲班比乙班多4個女生，乙班比丙班多1個女生，可以知道甲班比丙班多5個女生，乙班比丙班多1個女生，可以知道甲乙兩班一共比丙班多6個女生，由“甲班比乙班多4名女生”，則甲班第一組有（6﹣4）÷2+4=5（名）．
【解答】解：（4+1+1﹣4）÷2+4
=2÷2+4
=1+4
=5（名）
答：甲班第一組有5名女生．
故答案為：5．

【例105】 5．（2012?其他模擬）將某數(shù)的3倍減5，計算出答案，將答案再3倍后減5，計算出答案，這樣反復(fù)經(jīng)過4次，最后計算的結(jié)果為691，那么原數(shù)是11．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后的結(jié)果往前逆推，結(jié)果是691，這是一個數(shù)的3倍減5得到的，這個數(shù)應(yīng)該是（691+5）÷3=232，這是經(jīng)過3次后的結(jié)果；以此類推便可求出原數(shù)．
【解答】解：第四次計算后的結(jié)果為691，
第三次計算后的結(jié)果為：（691+5）÷3=232，
第二次計算后的結(jié)果為：（232+5）÷3=79，
第一次計算后的結(jié)果為（79+5）÷3=28；
原數(shù)為：（28+5）÷3═11
答：原數(shù)為11．
故答案為：11．

【例106】 6．一只海龜從出生起體重一年增產(chǎn)一倍，30年長到40千克，那么這只海龜從出生起長到5千克需要27年．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】利用逆推法，根據(jù)“每年增產(chǎn)1倍，”，30年長到40千克，則第29年就是長到20千克，28年長到10千克，27年即可長到5千克，據(jù)此解答．
【解答】解：30年長到40千克，
則第29年就是長到40÷2=20（千克），
28年長到20÷2=10（千克），
27年即可長到10÷2=5（千克），
答：這只海龜從出生起長到5千克需要27年．
故答案為：27．

【例107】 7．馬虎作減法時，他把減數(shù)個位上的6看成了5，有把十位上的7看成了9，結(jié)果得181，正確結(jié)果是200．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題將錯就錯，從結(jié)果出發(fā)，算出被減數(shù)，即：95+181=276；然后再減去正確的減數(shù)，即可得出正確的結(jié)果．
【解答】解：令減數(shù)是兩位數(shù)，那么錯誤的減數(shù)是95，正確的減數(shù)是76．
被減數(shù)是：95+181=276；
正確的差是：276﹣76=200．
故答案為：200．

【例108】 8．對一個自然數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加1，如此進(jìn)行，直到得數(shù)是1時停止．那么，經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有55個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題可以通過所給的變換規(guī)律，由易到難，確定操作可變?yōu)?的數(shù)組成斐波拉契數(shù)列，再根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出經(jīng)過9次操作變?yōu)閘的數(shù)的個數(shù)．
【解答】解：通過1次操作變?yōu)?的數(shù)為2，再經(jīng)過一次操作變?yōu)?的數(shù)為4、1，即通過兩次操作變?yōu)?的數(shù)為4、1，
再經(jīng)過1次操作變?yōu)?的數(shù)有兩個為3、8、2，即通過3次操作變?yōu)?的數(shù)有兩個為3，8，…，
經(jīng)過1、2、3、4、5…次操作變?yōu)?的數(shù)依次為1、2、3、5、8…，這即為斐波拉契數(shù)列，
后面的數(shù)依次為：13+8=21，21+13=34，34+21=55．
答：經(jīng)過9次操作變?yōu)?的數(shù)有55個．
故答案為：55．

【例109】 9．今有甲、乙、丙三堆棋子共98枚，先從甲堆中分棋子給另外兩堆，使這兩堆棋子數(shù)各增加一倍，再把乙堆棋子照這樣分配一次，最后把丙堆棋子也這樣分配，結(jié)果甲堆棋子數(shù)是丙堆的，乙堆棋子數(shù)是丙堆的，原來三堆各有棋子52、30、16．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)最后一次的結(jié)果，甲=丙=丙，乙=丙，所以設(shè)丙=15，乙=22，甲=12；丙堆棋子分前，甲=6，乙=11，丙=32；乙堆棋子分前，甲=3，乙=30，丙=16；甲堆棋子分前，甲=26，乙=15，丙=8；所以甲占，乙占，丙占，進(jìn)而用按比例分配的方法分別求出三堆棋子的枚數(shù)．
【解答】解：甲=丙=丙，乙=丙，設(shè)丙=15，甲=12，乙=22，
丙分前：甲=6，乙=11，丙=32，
乙分前：甲=3，乙=30，丙=16，
甲分前：甲=26，乙=15，丙=8，
所以甲占，乙占，丙占，
因此：甲堆棋子數(shù)：98×=52（枚），
乙堆棋子數(shù)：98×=30（枚），
丙堆棋子數(shù)：98×=16（枚）；
答：原來甲堆有棋子52枚，乙堆有棋子30枚，丙堆有棋子16枚．

【例110】 10．（2011?其他模擬）有一堆桃子，第一只猴子拿走一半加半個；第二只猴子拿走剩下的一半加半個；第三只猴子拿走剩下的一半加半個，結(jié)果剩下一個桃．那么原來有桃子15個．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后剩下一個桃向前推，再加半個就是第三只猴子拿走剩下的一半，所得結(jié)果再加半個是第二只猴子拿走剩下的一半，所得結(jié)果再加半個是第一只猴子拿走一半，由此列式解決問題．
【解答】解：{[（1+0.5）÷+0.5]÷+0.5}÷，
={[3+0.5]÷+0.5}÷，
={7+0.5}÷，
=15（個）；
答：原來有桃子15個．
故答案為：15．

二．解答題（共40小題）
【例111】 11．（2015?學(xué)而思杯）甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是192，甲加上3、乙減去3、丙乘3和丁除以3的結(jié)果相同，這四個數(shù)分別是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】設(shè)最后相同的結(jié)果是x，那么甲數(shù)就是x﹣3，乙數(shù)是x+3，丙數(shù)就是x÷3，丁數(shù)就是3x，把這四個數(shù)相加的和就是192，由此列出方程求解．
【解答】解：設(shè)最后相同的結(jié)果是x，則：
x﹣3+x+3+x÷3+3x=192
5x=192
x=192×
x=36
甲數(shù)：36﹣3=33
乙數(shù)：36+3=39
丙數(shù)：36÷3=12
丁數(shù)：36×3=108
答：甲數(shù)是33，乙數(shù)是39，丙數(shù)是12，丁數(shù)是108．

【例112】 12．（2015?學(xué)而思杯）豬八戒喜歡吃西瓜，他找到一片成熟的西瓜地，第一天吃了西瓜地里一半的西瓜還多6個，第二天吃了剩下的一半還少一個，第三天他吃了剩下的一半還剩兩個，原來這片西瓜地有多少個西瓜？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】運(yùn)用逆推的方法，第三天吃了第二天吃后剩下的一半后還剩下2個，那么第二天吃后剩下個就是2×2=4個；第二天吃了第一天吃后剩下的一半還少一個，那么第二天吃后剩下的個數(shù)就第一天吃后剩下的個數(shù)一半多1個，用第二天吃后剩下的個數(shù)減去1個就是第一天吃后剩下的一半，再乘上2就是第一天吃后剩下的個數(shù)；第一天吃了西瓜地里一半的西瓜還多6個，那么第一天吃后剩下的個數(shù)加上6個，就是西瓜總數(shù)的一半，再乘上2就是總數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題意列表如下：

數(shù)量
最后剩下
2個
第二天吃后剩下
2×2=4（個）
第一天吃后剩下
（4﹣1）×2=6（個）
總數(shù)量
（6+6）×2=24（個）
答：原來這片西瓜地有24個西瓜．

【例113】 13．（2014?創(chuàng)新杯）三年級（1）班小馬做兩個兩位數(shù)乘法時，把其中一個乘數(shù)的個位4看成了1，得出的乘積是735，另一個同學(xué)把這個乘數(shù)的個位數(shù)看成了8，得出乘積為980．
（1）求另一個沒有被看錯的乘數(shù)是多少？
（2）正確的乘積應(yīng)該是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】（1）980﹣735=245，乘積相差245，是因為一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)多看了8﹣1=7，即：7乘未變的因數(shù)=245，求出未變的因數(shù)；
（2）根據(jù)看錯的積求出另一個正確的因數(shù)，進(jìn)而可求出正確的積．
【解答】解：（1）由題意，980﹣735=245，一個因數(shù)多看了8﹣1=7，
245÷7=35，
∴另一個沒有被看錯的乘數(shù)是35；
（2）735÷35=21，
把這個乘數(shù)的個位數(shù)字誤看成1，這個因數(shù)是24，
∴正確的乘積應(yīng)該是24×35=840．

【例114】 14．（2013?奧林匹克）有紅、黃、藍(lán)三個小分隊，現(xiàn)在對這三個小分隊進(jìn)行了一次調(diào)整，第一次，藍(lán)隊不動，紅、黃兩隊中的一隊調(diào)出7人給另一組；第二次，黃隊不動，紅、藍(lán)兩隊中的一隊調(diào)出7人給另一組；第三次，紅隊不動，黃、藍(lán)兩隊中的一隊調(diào)出7人給另一組．最后紅、黃、藍(lán)三個小分隊分別有5人、13人、6人，那么，原來三個小分隊分別有多少人？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題采用倒推的策略，根據(jù)最后的情況往前推．
【解答】解：

紅
黃
藍(lán)
第三次
5
13
6
第二次
5
13﹣7=6
6+7=13
第一次
5+7=12
6
13﹣7=6
最初
12﹣7=5
6+7=13
6
答：紅隊原來有5人，黃隊原來有13人，藍(lán)隊原來有6人．

【例115】 15．（2012?其他模擬）有一堆西瓜，第一次賣出總個數(shù)的又6個，第二次賣出余下的又4個，第三次賣出余下的又3個，正好買完．問：這堆西瓜原來有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】第三次，賣出余下的，還剩1﹣=，所以這就是多賣的3個，所以第三次賣出3÷=6（個）；
第二次賣出后余下的，還有1﹣=，再賣出4個還剩6個，所以第二次賣出以前有（6+4）÷=15（個）；
第一次賣出總數(shù)的，還有1﹣=，則再賣出6個，還有15個，那么這堆西瓜原來有：（15+6）÷=28（個）．
【解答】解：[（3÷+4）÷（1﹣）+6]÷，
=[（6+4）÷+6]÷，
=[10×+6]×，
=[15+6]×，
=21×，
=28（個）；
答：這堆西瓜原來有28個．

【例116】 16．小明讀一本英語書，第一次讀時，第一天讀35頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只讀了35頁便讀完了；第二次讀時，第一天讀45頁，以后每天都比前一天多讀5頁，結(jié)果最后一天只需讀40頁就可以讀完，問這本書有多少頁？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題考察還原問題．考慮到第一種閱讀的方案，第二天讀40頁，第三天讀45頁，而第二種閱讀的方案是從45頁開始，最后一天讀的40頁可以調(diào)到第一天，則第二種方案所讀的頁數(shù)依舊能保持是一個等差數(shù)列，首項為40，則第一種方案把第一天讀的35頁調(diào)至最后一天，應(yīng)與最后一天的35頁湊成一個完整的等差數(shù)列的末項，依此解答．
【解答】解：第一方案：35、40、45、50、55、……、35
第二方案：45、50、55、60、65、……、40，
兩次方案調(diào)整如下：
第一方案：40、45、50、55、……、35+35（第一天放到最后）
第二方案：40、45、50、55、……、□（最后一天放到第一天）
這樣第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，
40+45+50+55+60+65+70=385（頁）
答：這本書共有385頁．

【例117】 17．南水池有水3830立方米，北水池有水850立方米，如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池，那么，多少分后南水池中的水是北水池的3倍？
【考點】N3：和倍問題；NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】水的總體積不變，要使最后南水池中的水是北水池的3倍，那么現(xiàn)在（3830+850）立方米就是北水池的（3+1）倍，用除法求出現(xiàn)在北水池水的體積，再求出與原來的體積差，然后再除以每分流水的速度32立方米即可．
【解答】解：（3830+850）÷（3+1）
=4680÷4
=1170（立方米）
（1170﹣850）÷32
=320÷32
=10（分鐘）
答：10分鐘后南水池中的水是北水池的3倍．

【例118】 18．某車間分成甲、乙兩個組，因生產(chǎn)需要，把甲組工人的一半調(diào)到乙組去了，后來改變工作程序，又把乙組工人中的25人調(diào)到了甲組，這時甲組有45人，乙組有22人．甲、乙兩個組原來各有多少人？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】我們知道調(diào)動前后總?cè)藬?shù)45+22=67人不變；在沒有把乙組的25人調(diào)到甲組時，甲組的人數(shù)是45﹣25=20人，這20人是它原來人數(shù)的一半，這樣就可求得甲組原有的人數(shù)，之后也就可得出乙組原有人數(shù)了．
【解答】解：22+45=67（人）
（45﹣25）×2=40（人）
67﹣40=27（人）
答：甲組原來有40人，乙組原來有27人．

【例119】 19．有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組．這時，三組的人數(shù)一樣多．問原來各組有多少個小朋友？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】由題意知：第三次并入后三個小組人數(shù)相等均為72÷3=24人．在這以前，即第三組沒把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時，第一組應(yīng)是24÷2=12人，第三組應(yīng)是（24+12）=36人，第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組沒把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18人，第二組應(yīng)為（24+18）=42人，第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組沒把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21人，第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33人，第三組應(yīng)為18人．整個推理過程如下表

【解答】解：72÷3=24（人）
24÷2=12（人）
（24+12）÷2=18（人）
（24+18）÷2=21（人）
12+21=33（人）
（具體的三組人數(shù)變化及推理過程見分析中的圖表）
答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人

【例120】 20．一條毛毛蟲由幼蟲長到成蟲，每天長一倍，16天能長到16厘米．問它幾天可以長到4厘米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】一條毛毛蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，16天能長到16厘米，16厘米的一半的一半是4厘米，提前2天，逆推知道14天就長到4厘米，由此得出答案．
【解答】解：16÷2÷2=4（厘米），
所以從4厘米長到16厘米只要2天，
16﹣2=14（天），
答：長到4厘米時要用14天．

【例121】 21．甲在加工一批零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個，第二天又加工了剩下的一半又10個，還剩下25個沒有加工．問：這批零件有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】第二天又加工了剩下的一半又10個，還剩下25個沒有加工，也就是25+10=35（個），正好是第一天加工后剩下的一半，那么第一天加工后剩下35×2=70（個）；第一天加工了這堆零件的一半又10個，剩下70個，那么70+10=80（個）是這堆零件的一半，那么這堆零件共有80×2=160（個），解決問題．
【解答】解：[（25+10）×2+10]×2
=[35×2+10]×2
=[70+10]×2
=80×2
=160（個）
答：這批零件有160個．

【例122】 22．爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多1個，第三天又吃了剩下的一半多1個，還剩下1個，問爸爸買了多少個橘子？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】利用逆推的方法，即可得出結(jié)論．
【解答】解：最后只剩下1個，因為第三天吃掉了剩下的一半多一個
所以第二天剩下的有：（1+1）×2=4個
第二天剩下四個是因為第二天吃了剩下的一半多一個
所以第一天剩下的：（4+1）×2=10個
第一天剩下10個是因為吃了這些橘子的一半多一個
所以這些橘子：（10+1）×2=22個
答：爸爸買了22個橘子．

【例123】 23．一群螞蟻搬家，原存一堆食物．第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克．第二天運(yùn)出剩下的一半少12克，結(jié)果窩里還剩下43克，問螞蟻家原有食物多少克？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題從后向前推算，根據(jù)“第二天運(yùn)出剩下的一半少12克，還剩43克”可知，43﹣12=31正好是第一次運(yùn)出剩下的一半，所以第一次運(yùn)出余下了31×2=62（克）；由“第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克，”，剩下62克噸，那么62﹣12=50克，正好是全部的一半，因此這個螞蟻家原有食物50×2，解決問題．
【解答】解：[（43﹣12）×2﹣12]×2
=[62﹣12]×2
=50×2
=100（克）
答：螞蟻家原有食物100克．

【例124】 24．在電腦里輸入一個數(shù)，它將按給定的特殊指令進(jìn)行如下計算：

請問a可能是哪些數(shù)？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】27是奇數(shù)，所以不可能是奇數(shù)+3得到的，所以前一步得到的數(shù)是54，再根據(jù)給定的特殊指令進(jìn)行計算，即可得出結(jié)論．
【解答】解：27是奇數(shù)，所以不可能是奇數(shù)+3得到的，所以前一步得到的數(shù)是54；
如果54是由奇數(shù)51+3得到的，那么輸入的數(shù)字只可能是51×2=102；
如果54是由108÷2得到的，那么那么輸入的數(shù)字有兩種可能，一個是108﹣3=105，一個是108×2=216；
如果102是由奇數(shù)99+3得到的，那么輸入的數(shù)字只可能是99×2=198；
如果102是由204÷2得到的，那么那么輸入的數(shù)字有兩種可能，一個是204﹣3=201，一個是204×2=408；
如果105是由210÷2得到的，那么那么輸入的數(shù)字有兩種可能，一個是210﹣3=207，一個是210×2=420；
如果216是由奇數(shù)213+3得到的，那么輸入的數(shù)字只可能是213×2=426；
所以a可能是198，201，408，207，420，426．

【例125】 25．小明讀一本書．第一天讀了全書的又3頁，第二天讀的頁數(shù)比余下的少2頁，第三天讀的比剩下的多2頁，還有16頁沒讀．這本書有多少頁？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意的敘述順序，由后向前逆推計算，把第三天沒讀前的頁數(shù)看作單位“1”，則（2+16）是它的（1﹣），由此根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義可得第三天沒讀前的頁數(shù)：（2+16）÷（1﹣）=48（頁）；同理，再把第二天沒讀前的頁數(shù)看作單位“1”，是（48﹣2）÷（1﹣）=69（頁）；再把第一天沒讀前的頁數(shù)看作單位“1”，即這本書的總頁數(shù)是（69+3）÷（1﹣）=144（頁）；據(jù)此解答即可．
【解答】解：（2+16）÷（1﹣）
=18
=48（頁）
（48﹣2）÷（1﹣）
=46
=69（頁）
（69+3）÷（1﹣）
=72
=144（頁）
答：這本書有144頁．

【例126】 26．一根電線，第一次用去全長的少1米，第二次用去的比余下的多3米，還剩下51米，第一次用去多少米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先把第二次用去的后余下的長度看作單位“1”，則（3+51）米相當(dāng)于余下長度的（1﹣），由此用除法求出余下的長度，即（3+51）÷（1﹣）=81（米）；再把原來的長度看作單位“1”，那么（81﹣1）米相當(dāng)于原來長度的（1﹣），由此再用除法求出原來的總長度，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義進(jìn)一步解答即可．
【解答】解：（3+51）÷（1﹣）
=54
=81（米）
（81﹣1）÷（1﹣）
=80
=100（米）
100×﹣1=19（米）
答：第一次用去19米．

【例127】 27．A、B、C三人各有巧克力若干，A先拿出自己的一半平分給B、C；然后B拿出自己現(xiàn)有的一半平分給A、C；最后，C又拿出自己現(xiàn)有的一半平分給A、B．這時，三人的巧克力數(shù)量相同，都是32顆．原來，A、B、C各有多少顆巧克力？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】運(yùn)用逆推法求解，最后三人的巧克力數(shù)是32顆；
第三步操作C拿出自己現(xiàn)有的一半后是32顆，那么這之前C有32×2=64顆；
C拿出的32顆，A、B各分了32÷2=16顆；
那么第三步操作前A、B各有32﹣16=16顆；
第二步操作B拿出自己現(xiàn)有的一半平分給A、C；那么這之前B有16×2=32顆；
B拿出了16顆平均分給A和C，A、C各分了16÷2=8顆；
那么第二步操作前，A有16﹣8=8顆，C有64﹣8=56顆；
第一步操作A先拿出自己的一半平分給B、C，那么這之前A有8×2=16顆；
A拿出了8顆平均分給了B和C，B、C各分8÷2=4顆，
第一步操作前B有32﹣4=28顆，C有56﹣4=52顆．
【解答】解：第三步操作前：
C有：32×2=64（顆）；
C拿出的32顆，A、B各分了32÷2=16（顆）；
A、B各有32﹣16=16（顆）；

第二步操作前
B有：16×2=32（顆）；
B拿出了16顆平均分給A和C，A、C各分了16÷2=8（顆）；
A有16﹣8=8（顆），
C有64﹣8=56（顆）；

第一步操作前（原來）：
A有：8×2=16（顆）；
A拿出了8顆平均分給了B和C，B、C各分8÷2=4（顆），
B有32﹣4=28（顆），
C有56﹣4=52（顆）．
答：原來A有16顆，B有28顆，C有52顆．

【例128】 28．一群螞蟻搬家，第一次把所存的糧食運(yùn)出一半少12克；第二次運(yùn)出剩下的一半多10克；第三次運(yùn)出48克，這時，窩里還剩28克．原來窩里有糧食多少克？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】第三次運(yùn)出48克，這時，窩里還剩28克，那么第二次運(yùn)走后還剩下48+28=76克；
第二次運(yùn)出剩下的一半多10克，用第二次剩下的質(zhì)量加上10克，即可求出第一次運(yùn)走后剩下質(zhì)量的一半，再乘上2即可求出第一次運(yùn)走后剩下的質(zhì)量；
第一次把所存的糧食運(yùn)出一半少12克，再用第一次運(yùn)走后剩下的質(zhì)量減去12克，就是總質(zhì)量的一半，再乘上2就是總質(zhì)量．
【解答】解：第二次運(yùn)走后剩下：
48+28=76（克）
第一次運(yùn)走后剩下：
（76+10）×2
=86×2
=172（克）
原來有：
（172﹣12）×2
=160×2
=320（克）
答：原來窩里有糧食320克．

【例129】 29．A、B、C三人各有硬幣若干枚．A將自己的硬幣分給B、C，使他們的硬幣各增長了一倍；之后，B將自己的硬幣分給A、C，使他們的硬幣各增長了一倍；最后，C將自己的硬幣分給A、B，使他們的硬幣各增長了一倍．這樣，三人的硬幣都是8枚．請問他們原來各有硬幣多少枚？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】運(yùn)用逆推法，最后3人都是有8枚硬幣；
最后一步操作前：
A、B各有：8÷2=4枚；C減少了8枚，那么在最后一步操作前有8+8=16枚；
第二步操作前：
A有：4÷2=2枚，C有：16÷2=8枚；B減少了2+8=10枚，那么在第二步操作前有4+10=14枚；
第一步操作前（原來）：
B有：14÷2=7枚，C有8÷2=4枚，A減少了7+4=11枚，A原來有2+11=13枚．
【解答】解：最后一步操作前：
A、B各有：8÷2=4（枚）；
C減少了4+4=8（枚），
那么在最后一步操作前有：8+8=16（枚）；

第二步操作前：
A有：4÷2=2（枚），
C有：16÷2=8（枚）；
B減少了2+8=10（枚），
那么在第二步操作前有4+10=14（枚）；

第一步操作前（原來）：
B有：14÷2=7（枚），
C有：8÷2=4（枚），
A減少了7+4=11（枚），
A原來有2+11=13（枚）．
答：A原來有硬幣13枚，B原來有硬幣7枚，C原來有硬幣4枚．

【例130】 30．四只猴子摘了一堆桃子，它們準(zhǔn)備先回去睡一覺后再來分桃子．過了一會，其中一只猴子來了，它見別的猴子沒來，便把桃子平分成4堆，發(fā)現(xiàn)余下3個，于是給其中三堆各多分了一個桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又過一會兒，另一只猴子來了，它見別的猴子沒來，把桃子也分成4堆，發(fā)現(xiàn)還是多出3個，于是也給其中三堆各多分了一個桃子，自己帶著余下的一堆跑掉了；輪到另外兩只猴子時，分別發(fā)生了同樣的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一個桃子，那么這堆桃子至少有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】如果沒有多3個的話，分了四次，答案應(yīng)是4×4×4×4=256個，現(xiàn)在多了3個，所以結(jié)果是256+3=259個．
【解答】解：4×4×4×4+3
=256+3
=259（個）
答：堆桃子至少有259個．

【例131】 31．一群螞蟻搬家，蟻洞內(nèi)原存放一堆食物，第一次運(yùn)出一半少80克，第二次運(yùn)出剩下的一半多50克，第三次運(yùn)出再剩下的一半多20克，這時蟻洞里還剩250克食物．問蟻洞內(nèi)原來有多少克食物？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題從后向前推算．第二次運(yùn)出余下：（250+20）×2=540（克），第一次運(yùn)出余下：（540+50）×2=1180（克），那么在第一次沒運(yùn)之前有食物（1180﹣80）×2，解決問題．
【解答】解：{[（250+20）×2+50]×2﹣80}×2，
={[270×2+50]﹣80}×2，
={[540+50]×2﹣80}×2，
={590×2﹣80}×2，
=1100×2，
=2200（克）；
答：蟻洞內(nèi)原來有2200克食物．

【例132】 32．一天，三只小貓在湖邊釣了一堆魚，實在太累了，就坐在河邊的柳樹下休息，一會兒都睡著了．第一只小貓醒了，看到其他兩只小貓睡得正香，沒有吵醒他們，就把魚平均分成三分，自已拿一份走了，不一會兒，第二只小貓也醒了，他也把魚平均分成三份，自已拿一份走了．太陽快落山了，第三只小貓才醒來．他想，我的兩個同伴去哪了？這么晚了，我得回家，于是，他又把魚平均分成三份，自己拿一份．最后剩下8條魚．他們這一天共釣了27條魚．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】從最后剩下8條魚是兩份，求得一份，進(jìn)一步求得3份，即8÷2×3；向前推得出第二只貓拿走之前的條數(shù)為8÷2×3÷2×3；再向前推得出第一只貓拿走之前的條數(shù)為8÷2×3÷2×3÷2×3；由此問題解決．
【解答】解：8÷2×3÷2×3÷2×3，
=12÷2×3÷2×3，
=18÷2×3，
=27（條）；
答：他們這一天共釣了27條魚．
故答案為：27．

【例133】 33．一根鐵絲，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米．問這根鐵絲原來長多少米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題采用逆推法來解答，先從結(jié)果出發(fā)向前推算．“第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米”，那么（5+1）米正好占第一次用完剩下的，即第一次用完剩下（5+1）=12（米）；“第一次用去它的一半少1米”，那么（12﹣1）正好占全長的，所以全長就為（12﹣1）．
【解答】解：[（5+1）﹣1]，
=[12﹣1]，
=11×2，
=22（米）．
答：這根鐵絲原來長22米．

【例134】 34．小明用一元買了5支鉛筆和8塊橡皮，余下的錢，如果買一支鉛筆就不足2分；如果買一塊橡皮就多出1分．每支鉛筆多少分？每塊橡皮多少分？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意知道，如果小明多2分錢的話，正好可以買6支鉛筆和8塊橡皮，從總的錢數(shù)中減去鉛筆比橡皮貴的錢，剩下的錢正好是14塊橡皮的價錢，可用除法先求出每塊橡皮的價錢，進(jìn)而求出每支筆的價錢．
【解答】解：橡皮的單價：1元=100分，
[100+2﹣（2+1）×（5+1）]÷14，
=[100+2﹣18]÷14，
=84÷14，
=6（分），
鉛筆的單價：6+2+1=9（分），
答：每支鉛筆9分，每塊橡皮6分．

【例135】 35．有甲、乙兩個港口，各停小船若干只，如果按下面的規(guī)則移動船只：第一次從甲港開出和乙港同樣多的船只到乙港，第二次從乙港開出和甲港剩下的同樣多的船只到甲港，那么照這樣移動四次后，甲乙兩港所停的小船只數(shù)都是48只，甲乙兩港最初各有小船多少只？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】第四次從乙港開出船只到甲港后，兩港各有船48只，那么在乙港船只移動前，甲港所停的船只數(shù)應(yīng)是（48÷2）只，乙港所停船的只數(shù)應(yīng)是（48+48÷2）只，這是第四次移動船只前的情況，依照這個逆推的過程，可以逆推出每次移動前的情況，直到推出甲乙兩港最初停有船的只數(shù)．
【解答】解：（1）第四次移動前：
甲港：48÷2=24（只），
乙港：48+24=72（只），
（2）第三次移動前：
乙港：72÷2=36（只），
甲港：24+36=60（只），
（3）第二次移動前：
甲港：60÷2=30（只），
乙港：36+30=66（只），
（4）第一次移動前：
乙港：66÷2=33（只），
甲港：33+30=63（只），
答：最初甲港有船63只，乙港有船33只．

【例136】 36．甲、乙、丙、丁4人打橋牌，由甲發(fā)牌，牌從丁開始按順時針方向分發(fā)，牌發(fā)到中間，甲被事情打斷，待甲回來后他已記不得剛才最后一張牌發(fā)給誰了（其他3人也未留意）．請問：有無辦法在各人不數(shù)自己手中現(xiàn)有牌數(shù)的情況下，可準(zhǔn)確無誤地將剩下的牌發(fā)完？

【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后一張牌發(fā)給最后一個人，然后按逆時針從依次倒數(shù)第二張發(fā)給第二人，…，一定要從底下拿牌，
即：從最后一張倒過來發(fā)牌，順序是：丙→乙→丁→甲，順序也就是反過來．
【解答】解：我們知道橋牌用52張牌，分發(fā)給4人，這樣最后一張牌應(yīng)發(fā)給發(fā)牌人甲（一者他是上首丁開始分發(fā)的，二者52÷4=13無剩余），
倒數(shù)第2張應(yīng)發(fā)給丁，例數(shù)第3張應(yīng)發(fā)給乙，這樣便有了繼續(xù)分發(fā)剩余牌的方法：從底往上按逆時針方向從甲開始分發(fā)其余下的牌即可．

【例137】 37．桌上有四堆木棒，分別有17根、7根、6根和2根，現(xiàn)在請你從某一堆中拿出幾根到另一堆中，使另一堆的木棒數(shù)量增加一倍．這樣挪動四次后，要使四堆木棒的數(shù)目相等，應(yīng)如何移動？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意知道四堆木棒共（17+7+6+2）根，挪動四次后每堆有[（17+7+6+2）÷4]根，再根據(jù)四堆木棒中，最多的是17根，最少的是2根，所以先從最多的木棒中拿取，再根據(jù)“從某一堆中拿出幾根到另一堆中，使另一堆的木棒數(shù)量增加一倍，”可以得出每次拿出木棒的根數(shù)及要拿給哪堆木棒，由此即可得出答案．
【解答】解：原來的四堆木棒分別是：17根，7根，6根，2根，
第1次，從17根中移出7根，形成10，14，6，2，
第2次，從14根中移出6根，形成10，8，12，2，
第3次，從10根中移出2根，形成8，8，12，4，
第4次，從12根中移出4根，形成8，8，8，8．

【例138】 38．一輛汽車從甲地開往乙地，平路占全程的3/5，剩下的路程中3/8是上坡路，其余是下坡路．回來時上坡路是5千米．甲、乙兩地相距多少千米？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】回來時上坡路也就是去時的下坡路，即：剩下路程中的是回來時的上坡路，也就是5千米，把剩下的路程看作單位“1”，于是剩下的路程為5÷（1﹣）；全程為5÷（1﹣）÷（1﹣）=20千米．
【解答】解：5÷（1﹣）÷（1﹣），
=8÷，
=20（千米）．
答：甲、乙兩地相距20千米．

【例139】 39．某人駕駛一輛小轎車要作32000千米的長途旅行，除了車上裝著四只輪胎，只帶了一只備用胎，為了使五只輪胎磨損程度相同，司機(jī)有規(guī)律地把五只輪胎輪換使用，到達(dá)終點時．每只輪胎行駛了25600千米．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】車上需要4只輪胎，因為最后每只輪胎的磨損程度相同，那么每只輪胎就都跑了全程的．
【解答】解：32000×=25600（千米）
故答案為：25600．

【例140】 40．瓶內(nèi)裝有油，倒進(jìn)500克油以后又倒出一半，又倒進(jìn)600克，這時瓶內(nèi)有油1300克，問瓶內(nèi)原有油多少克？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】瓶中最后有1300克油，那么倒進(jìn)600克之前就有1300﹣600克，這是倒進(jìn)500克后的一半，乘以2就是倒入500克后的重量再減去500克就是原有的重量．
【解答】解：（1300﹣600）×2﹣500
=700×2﹣500
=1400﹣500
=900（克）；
答：瓶內(nèi)原有油900克．

【例141】 41．貝貝和晶晶本來有相同數(shù)量的彈子球，后來貝貝又買了35顆，而晶晶丟掉了15顆，這時他們兩人彈子球的總數(shù)是100．請問剛開始時貝貝和晶晶分別有多少顆彈子球？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】貝貝又買了35顆，而晶晶丟掉了15顆，實際增加了35﹣15=20顆，用100減20就是兩人原來彈子的總數(shù)，再除以2就是兩人分別原來有多少顆彈子球．據(jù)此解答．
【解答】解：[100﹣（35﹣15）]÷2
=[100﹣20]÷2
=80÷2
=40（顆）
答：開始時貝貝和晶晶分別有40顆彈子球．

【例142】 42．有一個賣茶葉蛋的老太太，第一次賣去鍋內(nèi)茶葉蛋的一半多2個，第二次又買去了一半多2個，鍋內(nèi)還有1個茶葉蛋，這個老太太原來一共有多少個茶葉蛋？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題根據(jù)已知條件從后往前分析，因為第二次拿走后剩下的一半多2個，這時還剩下1個．所以剩下的一半為：1+2=3（個），所以第一次拿走后剩下的就是：3×2=6（個），又因為第一次賣去鍋內(nèi)茶葉蛋的一半多2個，所以可得出原來的一半是6+2=8個，據(jù)此乘2即可得出原來的茶葉蛋數(shù)量．
【解答】解：因為第二次拿走后剩下的一半多2個，這時還剩下1個．
所以剩下的一半為：1+2=3（個），剩下的就是：3×2=6（個）
第一次拿走全部的一半多2個，那么全部的一半是6+2=8（個），原來一共有8×2=16（個）
答：原來一共有16個茶葉蛋．

【例143】 43．古時候，傳說捷克的公主柳布莎出過這樣一道有趣的題：“一只籃子中有若干李子，取它的一半又一個給第一個人；再取其余一半又一個給第二人；又取最后所余的一半又三個給第三個人．那么籃內(nèi)的李子就沒有剩余，籃中原有李子多少個？”
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后的一半又3個給第三人，說明最后的一半就是3個，第三人得到6個；取余下一半又1個給第二人，說明第二人所取的余下一半比最后的6個多1個，所以第二人得到8個；第一人取后還剩下14個；若干李子，取一半又1個給第一人，剩下14個，說明這一半是15個，所以這個籃子里原來有30個李子．
【解答】解：[（3×2+1）×2+1]×2，
=[7×2+1]×2，
=15×2，
=30（個）；
答：籃中原有李子30個．

【例144】 44．小明在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，把一個因數(shù)的個位數(shù)6錯寫成9，結(jié)果得936，實際應(yīng)為864．這兩個因數(shù)各是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，把一個因數(shù)的個位數(shù)6錯寫成9，也就是這個因數(shù)多了9﹣6=3，那么結(jié)果就比原來的結(jié)果多了3個另一個因數(shù)，用兩次結(jié)果的差除以3就是另一個因數(shù)，然后再進(jìn)一步解答即可．
【解答】解：另一個因數(shù)是：（936﹣864）÷（9﹣6）
=72÷3，
=24；
這個因數(shù)是：864÷24=36；
答：這兩個因數(shù)分別是24、36．

【例145】 45．小明在計算有余數(shù)除法時，把被除數(shù)567錯寫成521，這樣商比原來少了2，而余數(shù)正好相同．請你算出正確的除數(shù)和余數(shù)．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】因為商比原來少了2，但余數(shù)恰好相同，所以被除數(shù)減少的數(shù)即除數(shù)的2倍，即除數(shù)為：（567﹣521）÷2=23，然后根據(jù)“被除數(shù)÷除數(shù)=商…余數(shù)”進(jìn)行解答即可．
【解答】解：（567﹣521）÷2，
=46÷2，
=23；
567÷23=24…15；
答：除數(shù)為23，余數(shù)為15．

【例146】 46．桌上放有4堆糖，小美從第1堆中拿出一半放入第2堆，拿出43顆放入第3堆，再拿出剩下中的一半放入第4堆，最后又吃掉第1堆中的6顆，這時第1堆中還有32顆糖．那么，第1堆中原有多少顆糖？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)“最后又吃掉第1堆中的6顆，這時第1堆中還有32顆糖，”得出沒吃6顆糖前，第1堆有：32+6=38（顆）；再根據(jù)“再拿出剩下中的一半放入第4堆，”得出沒放第4堆前，第1堆有：38×2=76（顆）；再根據(jù)“拿出43顆放入第3堆，”則沒放第3堆前，第1堆有：76+43=119（顆）；最后根據(jù)“小美從第1堆中拿出一半放入第2堆”，得出沒放第2堆前，第1堆有：119×2=238（顆）．
【解答】解：沒吃6顆糖前，第1堆有：32+6=38（顆）；
沒放第4堆前，第1堆有：38×2=76（顆）；
沒放第3堆前，第1堆有：76+43=119（顆）；
沒放第2堆前，第1堆有：119×2=238（顆），
答：第1堆原有238顆糖．

【例147】 47．一塊冰，每小時失去其重量的一半，八小時之后其重量為千克，那么一開始這塊冰的重量是80千克．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】抓住最后的重量千克，是第八小時之前的重量的一半，則第八個小時之前的重量就是×2=千克，這又是第七小時之前的重量的一半，所以第七小時之前的重量是×2=千克，依此類推，即可得出冰塊最初的重量．
【解答】解：×2×2×2×2×2×2×2×2=80（千克），
答：一開始這塊冰的重量是80千克．
故答案為：80．

【例148】 48．小誠在做一道減法題時，錯把被減數(shù)十位上的2看作7，減數(shù)個位上的5看作8，結(jié)果得到的是592．正確的差是545．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】被減數(shù)十位上的2抄成了7，結(jié)果差就多了70﹣20=50；減數(shù)個位的5抄成8，結(jié)果差就減少了8﹣5=3；所以最后得到的差比正確的差多了50﹣3=47，所以正確的差是592與47的差，據(jù)此計算即可．
【解答】解：70﹣20=50，
8﹣5=3，
50﹣3=47，
592﹣47=545，
答：正確的商是545．
故答案為：545．

【例149】 49．袋子里有若干個球，小明每次拿出其中的一半再放回一個球，一共這樣做了五次，袋中還有3個球，問原來袋中有多少個球？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】每次拿出其中的一半再放回一個球，也就是每次拿出其中的一半少1個；最后剩3個球，則第五次拿之前的小球數(shù)為：2×（3﹣1）=4（個），同理推出第四次拿之前的小球數(shù)：2×（4﹣1）=6（個），…第一次拿之前的小球數(shù)：2×（18﹣1）=34 （個）．
【解答】解：第五次拿之前的小球數(shù)：2×（3﹣1）=4（個），
第四次拿之前的小球數(shù)：2×（4﹣1）=6（個），
第三次拿之前的小球數(shù)：2×（6﹣1）=10（個），
第二次拿之前的小球數(shù)：2×（10﹣1）=18 （個），
第一次拿之前的小球數(shù)：2×（18﹣1）=34 （個）；
答：原來袋中有34個球．

【例150】 50．（2010?中環(huán)杯）甲乙丙丁四人約定上午10時在公園門口集合．人到齊后，甲說：“我提前了6分鐘，乙正點到的．”乙說：“我提前了7分鐘，丙比我晚3分鐘．”丙說：“我提前了4分鐘，丁提前了2分鐘．”丁說：“我還以為我遲到了1分鐘呢，其實我到達(dá)兩分鐘后才聽到收音機(jī)里十時整的報時聲．”請根據(jù)以上談話，分析誰的表最快，快多少分鐘？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】首先根據(jù)每個人說的內(nèi)容推理出到達(dá)時間和手表的顯示時間，找出誰的手表快的最多即可．
【解答】解：首先“丁”是到達(dá)兩分鐘后才聽到收音機(jī)里十時整的報時聲是正確的．到點是9：58分．顯示時間10：01，快3分鐘．
根據(jù)丙丁時間差是2分鐘，丙提前4分鐘，那么時間是9：56分．
根據(jù)乙丙時間差4分鐘，那么乙的時間是在前4分鐘，是9：53．
甲乙的時間差是6分鐘．甲的時間是9：47．甲說提前6分鐘那么到的時間是9：54分．快7分鐘
人物
達(dá)到的正確時間
每個人的顯示時間
丁
9：58
10：01
丙
9：56
9：56
乙
9：53
9：53
甲
9：47
9：54
答：甲的手表最快，快7分鐘．

【例151】 1．（2013?育苗杯）某細(xì)菌繁殖每小時增加1倍，10小時后增加到1024萬個，當(dāng)細(xì)菌增加到256萬個時，用了8 小時．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題屬于逆推問題，從后向前推算．因為細(xì)菌繁殖每小時增加1倍，也就是每小時是原來的2倍，那么第9個小時是1024÷2=512（萬個），第8個小時是512÷2=256（個）；因此，當(dāng)細(xì)菌增加到256萬個時，用了8小時．
【解答】解：第9個小時：1024÷2=512（萬個）；
第8個小時：512÷2=256（個）；
答：當(dāng)細(xì)菌增加到256萬個時，用了8個小時．
故答案為：8．

【例152】 2．（2011?創(chuàng)新杯）有三個最簡分?jǐn)?shù)：．如果把這三個分?jǐn)?shù)的分子都加上c，得到三個新分?jǐn)?shù)之和為6，那么ɑ+b+c=10．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】三個分?jǐn)?shù)都是最簡真分?jǐn)?shù)．因此a＜3，b＜4，c＜6，6之內(nèi)和6互質(zhì)的只有1和5，若C=1，則變化后三個分?jǐn)?shù)都不超過1，和不可能為6；當(dāng)C=5，由于三個分?jǐn)?shù)和為6，且通分后分母為12，因此分子和為72，有4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，c=5，4a+3b=17，a=（17﹣3b）÷4，由于各字母都是整數(shù)，只有當(dāng)b=3時，17﹣3b才能被4整除，此時a=2，從而問題得解．
【解答】解：因為a＜3，b＜4，c＜6，
則c只能是1或5，
又因C=1，則變化后三個分?jǐn)?shù)都不超過1，和不可能為6；
所以c是5；
因此：4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，
則4a+3b=17，a=（17﹣3b）÷4，
所以只有當(dāng)b=3時，17﹣3b才能被4整除，此時a=2，
a+b+c=2+3+5=10．
故答案為：10．

【例153】 3．（1993?其他杯賽）甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒．甲從乙處取來一些糖豆，使原有糖豆增加一倍；乙從丙處取來一些糖豆，使留下的糖豆也增加一倍；丙再從甲處取來一些糖豆，也使留下的糖豆增加一倍．現(xiàn)在三人的糖豆一樣多．開始時，甲有a粒糖豆，那么乙有糖豆a粒．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】“甲從乙處取來一些糖豆，使原有糖豆增加一倍，開始時，甲有a粒糖豆”，則甲從乙處取了a粒糖豆后有2a粒糖豆，“丙再從甲處取來一些糖豆，也使留下的糖豆增加一倍．現(xiàn)在三人的糖豆一樣多”，這時丙從甲處取的糖豆就是2a×=a粒糖豆，這時甲的糖豆數(shù)是2aa=a粒糖豆，就是三人一樣多時的糖豆，“乙從丙處取來一些糖豆，使留下的糖豆也增加一倍”，乙在沒從丙處取之前的糖豆應(yīng)是a÷2=a粒糖豆，乙開始時的糖豆數(shù)就是a+a=a粒糖豆．據(jù)此解答．
【解答】解：①甲從乙處取糖豆后有糖豆：a+a=2a（粒）
②丙從甲處取的糖豆是：2a×=a（粒）
這時甲的糖豆數(shù)是：2aa=a（粒）
③乙在沒從丙處取之前的糖豆應(yīng)是：a÷2=a（粒）
乙開始時的糖豆數(shù)是：a+a=a（粒）
答：開始時乙有糖豆a粒．
故答案為：a．

【例154】 4．三堆煤共有240噸，先從第一堆搬出與第二堆相同的噸數(shù)的煤并入第二堆，再從第二堆里搬出與第三堆相同的噸數(shù)的煤并入第三堆，最后再從第三堆里搬出與這時第一堆噸數(shù)相同的煤并入第一堆．這時，三堆煤的噸數(shù)相等，問原來三堆煤各有110噸、70噸、60噸．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后各堆的質(zhì)量相等，那么各有80噸，根據(jù)各堆的變化從后向前推算，進(jìn)行列表求解．
【解答】解：最后有240÷3=80（噸）；
列表如下：
搬動情況
第一堆
第二堆
第三堆
第三次搬動后
80噸
80（噸）
80（噸）
第二次搬動后
80÷2=40（噸）
80（噸）
80+40=120（噸）
第一次搬動后
40（噸）
80+60=140（噸）
120÷2=60（噸）
初始情況
40+70=110（噸）
140÷2=70（噸）
60噸
由表格可知：原來第一堆有110噸，第二堆有70噸，第三堆有60噸．
故答案為：110噸、70噸、60．

二．解答題（共21小題）
【例155】 5．（2012?中環(huán)杯）甲、乙兩個油桶中各裝了15千克油．售貨員在售出14千克油后對兩個油桶中的油進(jìn)行了重新分配．他先把甲桶中的一部分油倒入乙桶中，使乙桶中的油增加了5千克．然后又把乙桶中的一部分油倒回甲桶中，使甲桶中的油增加了一倍．這時，甲桶中的油恰好是乙桶中的油的7倍．問原來兩個桶中各售出了多少千克油？
【考點】N3：和倍問題；NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)題意，賣出后，甲乙兩桶還剩油的總重是15×2﹣14=16千克；當(dāng)甲桶油恰好是乙桶油的7倍，由和倍公式可以求出這時甲乙各有多少千克油，再根據(jù)逆推法可以求出所求的問題．
【解答】解：賣出后，甲乙兩桶還剩油的總重是：15×2﹣14=16（千克）
所以甲桶油恰好是乙桶油的7倍時
乙桶：16÷（7+1）=2（千克）
甲桶：2×7=14（千克）
乙桶倒給甲桶：14÷（1+1）=7（千克）
這時乙桶有：16﹣7=9（千克）
乙桶原來有：9﹣5=4（千克）
那么乙桶賣了：15﹣4=11（千克）
甲桶原有：16﹣4=12（千克）
甲桶賣出了：15﹣12=3（千克）
答：甲售出3千克，乙售出11千克．

【例156】 6．（2009?春蕾杯）有甲、乙、丙三堆彈子共96顆，第一次從甲堆中取出與乙堆相同的彈子并入乙堆；第二次再從乙堆中取出與丙堆相同的彈子并入丙堆；第三次從丙堆中取出與甲堆剩下的彈子數(shù)相同的彈子并入甲堆中，這時三堆彈子數(shù)相等．原來每堆彈子各有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】三堆彈子的顆數(shù)恰好完全相同，就是把96平均分成3份，據(jù)此即可求出相等時，三堆彈子的顆數(shù)，再按照各自的變化情況，逆推回去即可得出原來的顆數(shù)．
【解答】解：三次交換只改變了三堆各自的數(shù)目，而總數(shù)不變最后結(jié)果三堆數(shù)目相同，因此總數(shù)應(yīng)該是3的倍數(shù)．
所以當(dāng)三堆彈子相等時，每堆都有：96÷3=32（顆），
因為第三次從丙堆中取出與甲堆剩下的彈子數(shù)相同的彈子并入甲堆中，
則甲堆第二次交換后剩下的是32÷2=16（顆），丙此時就是32+16=48（顆），
又因為第二次是從乙堆中取出與丙堆相同的彈子并入丙堆，使丙堆有48顆，則可得丙原來有48÷2=24（顆）；
所以乙堆第一次交換后剩下的就是32+24=56（顆），
又因為第一次是從甲堆中取出與乙堆相同的彈子并入乙堆，
則乙原來有56÷2=28（顆）；
所以甲原來有16+28=44（顆）；
答：甲堆原來有44顆，乙堆原來有28顆，丙堆原來有24顆．

【例157】 7．（2007?希望杯）有一個培養(yǎng)某種微生物的容器，這個容器的特點是：往里面放入微生物，再把容器封住，每過一個夜晚，容器里的微生物就會增加一倍，但是若在白天揭開蓋子，容器內(nèi)的微生物正好減少16個．小麗在實驗室的當(dāng)天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二，三，四天都開封看了看，到了第五天，當(dāng)他又啟封查看時，驚訝得發(fā)現(xiàn)微生物都沒了，請問，小麗開始往容器里放了多少微生物？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】這是一道還原問題，從正面來看這道題目，覺得會很困難．這就需要我們采取倒推法還原：0←16←8←24←12←28←14←30←15，所以原來容器內(nèi)放了15個微生物．
【解答】解：①第四天晚上有
0+16=16（個）；
第四天白天有
16÷2=8（個）；
②第三天晚上有
8+16=24（個）；
第三天白天有
24÷2=12（個）；
③第二天晚上有
12+16=28（個）；
第二天白天有
28÷2=14（個）；
④第一天晚上有
14+16=30（個）；
第一天白天有
30÷2=15（個）．
答：小麗開始往容器里放了15個微生物．

【例158】 8．（1990?迎春杯）今有甲、乙、丙三堆棋子共98枚．先從甲堆中分棋子給另外兩堆，使兩堆棋子數(shù)各增加一倍，再把乙堆棋子照這樣分配一次．最后把丙堆棋子也這樣分配．結(jié)果甲堆棋子數(shù)是丙堆摸子數(shù)的，乙堆棋子數(shù)是丙堆棋子數(shù)的．問三堆中原來最多一堆的棋子是多少？（要求說明過程）
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)最后一次的結(jié)果，甲=丙=丙，乙=丙=丙，所以設(shè)丙=15，乙=22，甲=12；丙堆棋子分前，甲=6，乙=11，丙=32；乙堆棋子分前，甲=3，乙=30，丙=16；甲堆棋子分前，甲=26，乙=15，丙=8；所以甲占，乙占，丙占，進(jìn)而用按比例分配的方法分別求出三堆棋子的枚數(shù)即可得解．
【解答】解：甲=丙=丙，乙=丙=丙，設(shè)丙=15，乙=22，甲=12；
丙分前：甲=6，乙=11，丙=32；
乙分前：甲=3，乙=30，丙=16；
甲分前：甲=26，乙=15，丙=8；
所以甲占，乙占，丙占，
因此：甲堆棋子數(shù)：98×=52（枚），
乙堆棋子數(shù)：98×=30（枚），
丙堆棋子數(shù)：98×=16（枚）；
答：三堆中原來最多一堆的棋子是52枚．

【例159】 9．甲、乙、丙、丁四個小組的同學(xué)共植樹45棵，如果甲組多植2棵，乙組少植2棵，丙組植的樹擴(kuò)大2倍，丁組植的樹減少一半，那么4個小組植的棵數(shù)正好相同，原來四個小組各植樹多少棵？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后4個小組植的棵數(shù)相等，設(shè)最后的數(shù)都是x，那么甲組原來是x﹣2，乙組原來是x+2，丙組原來是x÷2，丁組原來是2x，它們的和是45，由此列出方程解答即可．
【解答】解：設(shè)后來每組植的棵數(shù)為x，由題意得
x﹣2+x+2+x+2x=36
x=45
x=10
甲組：10﹣2=8（棵）
乙組：10+2=12（棵）
丙組：10÷2=5（棵）
丁組：10×2=20（棵）
答：甲組植樹8棵，乙組植樹12棵，丙組植樹5棵，丁組植樹20棵．．

【例160】 10．老師買了13盒鋼筆分給同學(xué)們，每盒鋼筆的支數(shù)都相同，每人拿到的鋼筆數(shù)目也相同，分完后發(fā)現(xiàn)剩下了半盒，這時又來了8名同學(xué)，于是老師又買了3盒鋼筆，給他們發(fā)了同樣數(shù)目的鋼筆后，還剩下2支，后來又來了10名同學(xué)，老師又買了4盒鋼筆后，正好全部分完．請問：原來有多少名同學(xué)？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】設(shè)每盒有鋼筆x支，8名同學(xué)分了3盒半鋼筆，還剩下2支，所以8人一共分了（3.5x﹣2）支，這個數(shù)量除以8，就是每人分的支數(shù)；最后10個同學(xué)分了4盒零2支，那么可以得出每人分了（4x+2）÷10支；根據(jù)每人分的支數(shù)相等列出方程，求出每盒的支數(shù)，進(jìn)而求出每人分的支數(shù)；再根據(jù)原來的人數(shù)分了12.5盒，求出原來的學(xué)生數(shù)．
【解答】解：設(shè)每盒有鋼筆x支，
（3.5x﹣2）÷8=（4x+2）÷10
=
（3.5x﹣2）×10=（4x+2）×8
35x﹣20=32x+16
3x=36
x=12
每人分：（4x+2）÷10=（4×12+2）÷10=50÷10=5（支）
原來的人數(shù)：
（13﹣0.5）×12÷5
=12.5×12÷5
=150÷5
=30（名）
答：原來有30名同學(xué)．

【例161】 11．如圖空格中的數(shù)是上層兩側(cè)數(shù)字的和．（例如11=5+6）．問x的值一定是多少？

【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)觀察可知：從下向上數(shù)第二層的兩個相加的和是60，第二層的兩個數(shù)分別是11+（6+x）和（6+x）+（7+x）．據(jù)此可列式解答．
【解答】解：11+（6+x）+（6+x）+（7+x）=60
3x+30=60
3x=30
x=30÷3
x=10
答：x的值一定是10．

【例162】 12．有20堆石子，每堆100個．每次操作都可任選一堆，而從其它19堆中各取1個石子，將19個石子全部都加入所選的這堆石子中，您可以繼續(xù)以上的操作．經(jīng)過不超過50次的操作之后，其中某一堆石子有66個石子，此時另有一堆石子的數(shù)量介于170和200個之間．請問這堆石子的確切數(shù)量是多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】某一堆石子，如果被取一次，則數(shù)量減少1，如果被放入一次，則數(shù)量增加19．考慮有66粒石子的那一堆，如果至少一次被放，則最多49次被取，最后石子數(shù)是70粒，不符合題意．所以該堆石子一次也沒被放入過，則總共操作了100﹣66=34次．假設(shè)另一堆在170﹣200之間的石頭在34次操作中被加了x次，那么這堆石頭現(xiàn)在的個數(shù)為
100+19x﹣（34﹣x）=66+20x，且要使這個石頭的總數(shù)在170﹣200之間．據(jù)此解答．
【解答】解：根據(jù)分析知一堆只有66個石子沒有放入石子過一共取的次數(shù)是
100﹣66=34（次）
假設(shè)另一堆在170﹣200之間的石頭在34次操作中被加了x次，那么這堆石頭現(xiàn)在的個數(shù)為
100+19x﹣（34﹣x）=66+20x
即170＜66+20x＜200
可知x=6
66+20×6
=66+120
=186（粒）
答：這堆石子有186粒．

【例163】 13．甲、乙、丙三個倉庫各自存放若干噸糧食，第一次從甲倉庫取出的糧食平分給乙倉庫和丙倉庫；第二次從這時的乙倉庫取出的糧食平分給甲倉庫和丙倉庫；第三次從這時的丙倉庫取出的糧食平分給甲倉庫和乙倉庫，現(xiàn)在三個倉庫存糧都是432噸，問原來三個倉庫各存糧多少噸？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】根據(jù)最后三個倉庫存糧噸數(shù)相等，都是432噸，據(jù)此求出第三次取出之前，丙倉庫內(nèi)的糧食是432÷（1﹣）=576（噸），那么此時甲乙倉庫的糧食數(shù)相等是：432﹣576××=360（噸），又因為第二次從這時的乙倉庫取出的糧食平分給甲倉庫和丙倉庫；那么乙倉庫之前有是360÷=720（噸），則甲倉庫此時是360﹣720×=180（噸），丙倉庫就是576﹣720×=396（噸）；又因為第一次從甲倉庫取出的糧食平分給乙倉庫和丙倉庫；所以之前甲倉庫是180÷（1﹣）=300（噸），則乙倉庫是720﹣300×=660（噸），丙倉庫是396﹣300×=336（噸），據(jù)此即可解答問題．
【解答】解：根據(jù)題干分析可得：
第三次取出之前：丙倉庫內(nèi)的糧食是432÷（1﹣）=576（噸）
那么此時甲乙倉庫的糧食數(shù)相等是：432﹣576××=360（噸）

第二次取出之前：乙倉庫之前有是360÷=720（噸）
則甲倉庫此時是360﹣720×=180（噸）
丙倉庫就是576﹣720×=396（噸）

第一次取出之前：甲倉庫是180÷（1﹣）=300（噸），
則乙倉庫是720﹣300×=660（噸），
丙倉庫是396﹣300×=336（噸）．
答：原來甲倉庫存糧300噸，乙倉庫存糧660噸，丙倉庫存糧336噸．

【例164】 14．計算一條除數(shù)式時，若不小心將除數(shù)由31寫成13，結(jié)果得出商數(shù)是10、余數(shù)是4．問這條除數(shù)式正確的商數(shù)和余數(shù)是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】先求出除數(shù)是13，商是10，余數(shù)是4時被除數(shù)是多少，利用被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)；然后被除數(shù)不變，除數(shù)換成31，求出正確的商和余數(shù)，即可得解．
【解答】解：被除數(shù)：
13×10+4=134，
134÷31=4…10；
因此正確的商是4，余數(shù)是10；
答：這條除數(shù)式正確的商數(shù)是4，余數(shù)是10．

【例165】 15．有一堆棋子，把它們五等份后還剩4個；取其中的三份再五等份還剩3個；再取其中兩份五等份還剩2個．這堆棋子最少有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】設(shè)棋子的數(shù)量是x顆，第一次分每等分a顆；第一次分每等分b顆；第一次分每等分c顆；由此找出x與c之間的關(guān)系，再根據(jù)x和c都是整數(shù)，把c從1開始進(jìn)行討論求解．
【解答】解：設(shè)棋子共有x顆，第一次分每等分a顆；第一次分每等分b顆；第一次分每等分c顆；則
x=5a+4；
3a=5b+3；
2b=5c+2；
化簡可知：6x=125c+104；
因為x和c都為正整數(shù)，
c=1時，x=38.166…，不符合題意；
c=2時，x=59，符合題意；
答：這堆棋子最少有59顆棋子．
用還原法：
最后“取其中2份5等分剩2個”，則最少每份2個（由于取2的倍數(shù)，所以最少取2個），所以2份共5×2+2=12個，
所以每份是12÷2=6個，
又“取其中的三份再五等分剩3個”，說明三份共5×6+3=33個，
所以每份是33÷3=11個，
“把它們五等分剩余4個”，說明共有11×5+4=59個，
即這堆棋子最少有59個．

【例166】 16．小明做減法題時，把被減數(shù)個位上的3錯寫成5，把十位上的1錯寫成7，這樣算得的結(jié)果是201．正確的差應(yīng)該是多少？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】“把被減數(shù)個位上的3錯寫成5，把十位上的1錯寫成7”，相當(dāng)于把被減數(shù)看多了75﹣13=62，再根據(jù)減數(shù)不變，可知算得的差比正確的差也得多62，據(jù)此用201減去62即為正確的差．
【解答】解：小明把被減數(shù)看多了：75﹣13=62，
減數(shù)不變，差也多了62，
所以正確的差應(yīng)該是：201﹣62=139；
答：正確的差應(yīng)該是139．

【例167】 17．蔡明家有很多書，他把這些書借給同班同學(xué)看，他先借給了甲2本和剩下的，然后借給了乙3本和剩下的，又借給了丙4本和剩下的，最后剩下1本，求蔡明共有多少本書？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】這道題有多個單位“1”，可用倒推法把每一個單位“1”求出來解．這道題從后往前做，根據(jù)“又借給丙4本4本和剩下的，最后剩下1本”入手，把借給了丙4本后剩下的看作單位“1”，1本所對的分率是，所以這時的單位“1”的量是1÷=2（本），由此可知借給丙之前有4+2=6（本）；這時原題可變?yōu)椤跋冉杞o了甲2本和剩下的，然后借給了乙3本和剩下的，最后還剩下6本”，同上方法可求出借給乙之前有6÷（1﹣）+3=12（本）；借給甲之前有12÷（1﹣）+2=18（本）．
【解答】解：借給丙之前的本數(shù)：
1÷+4，
=2+4，
=6（本），
借給乙之前的本數(shù)：
6÷（1﹣）+3，
=6+3，
=9+3，
=12（本），
借給甲之前的本數(shù)：
12÷（1﹣）+2
=12+2，
=16+2，
=18（本）．
答：蔡明共有18本書．

【例168】 18．有一籃子雞蛋分給若干人，第一人拿走1個雞蛋和余下的，第二人拿走2個和余下的，第三人拿走3個和余下的，…，最后恰好分完，并且每人分到的雞蛋數(shù)相同，問：共有多少雞蛋？分給幾個人？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】依次拿出的雞蛋的個數(shù)為1、2、3…是連續(xù)的幾個自然數(shù)，每個人都又拿出剩下的，說明第一個人拿完1個雞蛋后，剩下的個數(shù)正好是9的倍數(shù)，…由此推理可得：最后一個人拿完前一個人剩下的正好拿完，由此可得一共有8個人，進(jìn)而解答．
【解答】解：根據(jù)題干分析可得：
一共有8個人，最后一個人拿了8個雞蛋，
1﹣=，
則第六個人拿完剩下了：8÷+7=16個雞蛋，
第五個人拿完剩下了：16÷+6=24個雞蛋，
第四個人拿完剩下了：24÷+5=32個雞蛋，
第三個人拿完剩下了：32÷+4=40個雞蛋，
第二個人拿完剩下了：40÷+3=48個雞蛋，
第一個人拿完剩下了：48÷+2=56個雞蛋，
所以原來一共有：56÷+1=64個雞蛋．
答：共有64個雞蛋，分給8個人．

【例169】 19．將一個裝有水的容器，第一次倒去原有的，第二次倒去剩余的，第三次倒去剩余的，第四次倒去剩余的．依次繼續(xù)下去，在倒9次后，剩余的水恰好是原來的水的．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】把根據(jù)題意，對應(yīng)的單位“1”是原來水的總量，則1×（1﹣）是第一次倒完剩下的；對應(yīng)的單位“1”是第一次倒去剩下的，則1×（1﹣）×（1﹣）是第二次倒完剩下的；對應(yīng)的單位“1”是第二用去剩下的，則×（1﹣）是第三次倒完剩下的；對應(yīng)的單位“1”是第三次用去剩下的，則1×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）是第五次倒完剩下的；由此即可推理解答．
【解答】解：因為1×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣），[來源:Zxxk.Com]
=1×××××××××，
=，
答：依次繼續(xù)下去，在倒9次后，剩余的水恰好是原來的水的．
故答案為：9．

【例170】 20．一個書架分上中下三層，一共放書384本．如果從上層取出與中層一樣多的本數(shù)放入中層，再從中層取出與下層一樣多的本數(shù)放入下層，最后從下層取出與上層現(xiàn)在一樣多的本數(shù)放入上層，這時三層書架中書的本數(shù)相等．書架的中層原來有書多少本？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】抓住三層書的本數(shù)相同時，書架上的書為：384÷3=128本，由此進(jìn)行逆推．
【解答】解：現(xiàn)在上中下三層都有：384÷3=128本，
下層未給上層時，上層有：128÷2=64本，下層有：128+64=192本，中層有：128本；
中層未給下層時，下層有：192÷2=96本，中層有：128+96=224本，上層有：64本；
所以上層未給中層時，中層有：224÷2=112本；
答：原來中層有112本．

【例171】 21．一只猴子偷吃桃樹上的桃子，第一天偷吃了，以后的28天，分別偷了當(dāng)天現(xiàn)有桃子的，，…，，．偷了29天后，樹上只剩下2個桃．問：樹上原有多少個桃？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】最后剩下的2個桃子是第29天吃剩的，于是可以求出第29天時，應(yīng)該有2÷（1﹣）=4個桃，第28天時有4÷（1﹣）=6個桃，第27天時有6÷（1﹣）=8個桃…就這樣倒著想，可以求出樹上原有桃子的個數(shù)．
【解答】解：2÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=4÷÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=6÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=8÷÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=58÷（1﹣），
=58×，
=60（個）；
答：樹上原有桃60個

【例172】 22．甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己棋子的一部分給了乙、丙，使乙、丙每人的棋子數(shù)各增加一倍，然后乙也把自己棋子的一部分以同樣的方式分給了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以這種方式給了甲、丁，最后丁也以這種方式將自己的棋子給了甲、乙，這時四人的棋子都是16枚．原來甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】此題是采用倒推法解決問題的，抓住最后甲乙丙丁是16，16，16，16，且每次分完后甲乙丙丁的棋子的枚數(shù)都是2的倍數(shù)，由此逆推即可解決問題．
【解答】從后往前推：最后甲乙丙丁是16，16，16，16，
那丁分之前甲乙丙丁是8，8，16，32，
那丙分之前甲乙丙丁是4，8，36，16，
那乙分之前甲乙丙丁是4，34，18，8，
那甲分之前甲乙丙丁是30，17，9，8，
答：原來甲有30、乙有17、丙有9、丁有8枚．

【例173】 23．有一個多位數(shù)，它的末位數(shù)字是4，如果把這個4移到最左邊，得到的新數(shù)是原數(shù)的4倍，求原數(shù)．
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】個位是4是已知的，那么乘4是16，所以十位是6，百位是6乘4再加1是25，所以百位是5，以此類推，找出新數(shù)是原數(shù)4倍的數(shù)．
【解答】解：（1）4×4=16，十位的數(shù)字是6，向百位進(jìn)1；
若是兩位數(shù)，則為64，
46÷64≠4，不對；
（2）若是三位數(shù)，則為164，
416÷164≠4，不對；
6×4=24，加上進(jìn)的1是25，百位上的數(shù)字是5，向千位進(jìn)2；
（3）若是四位數(shù)，則為：2564，
4256÷2564≠4，不對；
5×4=20，加上進(jìn)的2就是22，千位上的數(shù)字是2，向萬位進(jìn)2；
（4）若是五位數(shù)，則為82564，
48256÷82564≠4，不對；
2×4=8，把加進(jìn)的2是10，萬位上的數(shù)是0，向十萬位進(jìn)1；
（5）若為6位數(shù)，則為：102564，
410256÷102564=4，符合題意，正確．
故答案為：102564．

【例174】 24．一個車間計劃用5天完成加工一批零件的任務(wù)，第一天加工了這批零件的多120個，第二天加工了剩下的少150個，第三天加工了剩下的多80個，第四天加工了剩下的少20個，第五天加工了最后的1800個．這批零件總數(shù)有多少個？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題從最后的結(jié)果出發(fā)，一步一步向前推．
（1）“第四天加工了剩下的少20個，第五天加工了最后的1800個”就把后2天加工的這部分看成單位“1”，第5天加工的數(shù)量減去20，就是單位“1”的，據(jù)此就可以求出三天后剩下的數(shù)量；
（2）“第三天加工了剩下的多80個”把后3天加工的數(shù)量再看成單位“1”，那么后2天加工的數(shù)量加上80就是單位“1”的1﹣，據(jù)此就可以求出后3天加工的數(shù)量；
（3）“第二天加工了剩下的少150個”把后4天加工的數(shù)量再看成單位“1”，那么后3天加工的數(shù)量減去150就是就是單位“1”的1﹣，據(jù)此就可以求出后4天加工的數(shù)量；
（4）“第一天加工了這批零件的多120個”把這批零件的數(shù)量看成單位“1”，那么后3天加工的數(shù)量加120個就是單位“1”的1﹣；用除法就可以求出總零件的數(shù)量．
【解答】解：后2天共加工：
（1800﹣20）÷（1﹣）
=1780
=3560（個），
后3天共加工：
（3560+80）÷（1﹣）
=3640
=5460（個）
后4天加工：
（5460﹣150）÷（1﹣）
=5310
=7080（個）
零件總數(shù)為：
（7080+120）÷（1﹣）
=7200
=9000（個）．
答：這批零件總數(shù)有9000個．

【例175】 25．設(shè)有甲、乙、丙三個小組，現(xiàn)對這三組人員進(jìn)行三次調(diào)整：第一次丙組不動，甲、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第二次乙組不動，甲、丙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組；第三次甲組不動，丙、乙兩組中的一組調(diào)出7人給另一組．經(jīng)過三次調(diào)整后，甲組有5人，乙組有13人，丙組有6人．問原來各組各有多少人？
【考點】NC：逆推問題（還原問題）．
【分析】本題若按人員調(diào)整的先后順序來推算，其困難是不知道第一次調(diào)整時，究竟是從甲組調(diào)出7人給乙組，還是從乙組調(diào)出7人給甲組，需要分別討論，我們從最后的結(jié)果進(jìn)行倒推就比較容易．第三次調(diào)整（甲組不動）后，各組人數(shù)是：5、13、6，由于這時丙組只有6人，所以，一定是從丙組調(diào)出7人給乙組，因此第三次調(diào)整前各組人數(shù)是：5、6、13，這也是第二次調(diào)整（乙組不動）后的人數(shù)．同理：第二次調(diào)整是從甲組調(diào)出7人給丙組，所以第二次調(diào)整前各組人數(shù)是：12、6、6，這也是第一次調(diào)整（丙組不動）后的人數(shù)．第一次調(diào)整必是乙調(diào)出7人給甲，所以，原來各組人數(shù)是：5、13、6．
【解答】解：第三次調(diào)整后：
甲組：5人，乙組：13人，丙組：6人；
第二次調(diào)整后：
甲組：5人，乙組：13﹣7=6（人），丙組：6+7=13（人）；
第一次調(diào)整后：
甲組：5+7=12（人），乙組：6人，丙組：13﹣7=6（人）；
原來：甲組：12﹣7=5（人），乙組：6+7=13（人），丙組：6人．
答：甲組原來有5人，乙組有13人，丙組有6人．

相關(guān)試卷

2023數(shù)學(xué)年小升初專項訓(xùn)練模塊題集：【小升初專項訓(xùn)練】13 還原問題：

這是一份2023數(shù)學(xué)年小升初專項訓(xùn)練模塊題集：【小升初專項訓(xùn)練】13 還原問題，共79頁。試卷主要包含了個蘋果等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023數(shù)學(xué)年小升初專項訓(xùn)練模塊題集：【小升初專項訓(xùn)練】13 奇偶性問題：

這是一份2023數(shù)學(xué)年小升初專項訓(xùn)練模塊題集：【小升初專項訓(xùn)練】13 奇偶性問題，共79頁。試卷主要包含了個蘋果等內(nèi)容，歡迎下載使用。

【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】12盈虧問題（含答案）：

這是一份【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】12盈虧問題（含答案），共76頁。試卷主要包含了道試題，一群鴨子對一群狗說等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】09錯車問題（含答案）

【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】09錯車問題（含答案）
【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】04和倍問題（含答案）

【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】04和倍問題（含答案）
【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】03追及問題（含答案）

【小升初數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練】03追及問題（含答案）
小學(xué)數(shù)學(xué)三下還原問題專項訓(xùn)練

小學(xué)數(shù)學(xué)三下還原問題專項訓(xùn)練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
小升初專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部