?2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市老河口市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將其序號(hào)填涂在答題卡上相應(yīng)位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）對(duì)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是　　
A．對(duì)稱軸是直線，最小值是2
B．對(duì)稱軸是直線，最大值是2
C．對(duì)稱軸是直線，最小值是2
D．對(duì)稱軸是直線，最大值是2
3．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）如圖，是的外接圓，連接、，，則的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
5．（3分）如圖，為外一點(diǎn)，、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、，若，則的周長(zhǎng)為　　

A．8 B．6 C．12 D．10
6．（3分）如果反比例函數(shù)是常數(shù)）的圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，隨增大而減小，那么的取值范圍是　　
A． B． C． D．
7．（3分）如圖，，則在圖中下列關(guān)系式一定成立的是　　

A． B． C． D．
8．（3分）如圖，線段，相交于點(diǎn)，．若，，，則的長(zhǎng)為　　

A．2 B．3 C．4 D．5
9．（3分）已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積是　　
A． B． C． D．
10．（3分）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是　　
A． B．
C． D．
二．填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共l8分．把答案填在答題卡的對(duì)應(yīng)位置的橫線上．）
11．（3分）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則　 ??；另一根為　 ?。?br /> 12．（3分）拋物線與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是 　　．
13．（3分）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)，，在同一條直線上，，則的度數(shù)是 　　．

14．（3分）如圖是反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，若圖中的矩形的面積為4，則等于 　?。?br />
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心， 相似比為，把縮小， 則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　　．
16．（3分）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，以為直徑的分別交，于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是 　?。?br />
三．解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．）
17．（6分）解方程：．
18．（6分）如圖，在中，，，．求的長(zhǎng)．

19．（6分）列方程解應(yīng)用題：參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？
20．（7分）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．

21．（7分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)．
（1）　　，　　，　??；
（2）比較大?。骸　。ㄌ睢啊被颉啊被颉啊?；
（3）關(guān)于的不等式的解集是 　?。?br />
22．（8分）如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，．求圖中陰影部分的面積．

23．（10分）小明的爸爸投資1200元圍一個(gè)矩形菜園（如圖），其中一邊靠墻（墻長(zhǎng)，另外三邊選用不同材料建造．平行于墻的邊的費(fèi)用為20元，垂直于墻的邊的費(fèi)用為15元，設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為．
（1）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)菜園的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)時(shí)的值；
（3）小明計(jì)算出菜園的最大面積是，小明計(jì)算的對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．

24．（10分）如圖1，點(diǎn)是中邊上一點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過點(diǎn)（如圖2所示），若，求線段的長(zhǎng)．

25．（12分）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求線段長(zhǎng)度的最大值；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．


2021-2022學(xué)年湖北省襄陽市老河口市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將其序號(hào)填涂在答題卡上相應(yīng)位置．）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．
【解答】解：、是二元二次方程，不合題意；
、是一元二次方程，符合題意；
、不是整式方程，不合題意；
、是二元一次方程，不合題意，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．
2．（3分）對(duì)于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是　　
A．對(duì)稱軸是直線，最小值是2
B．對(duì)稱軸是直線，最大值是2
C．對(duì)稱軸是直線，最小值是2
D．對(duì)稱軸是直線，最大值是2
【分析】根據(jù)拋物線的圖象與性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：由拋物線的解析式：，
可知：對(duì)稱軸，
開口方向向下，所以有最大值，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解拋物線的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
4．（3分）如圖，是的外接圓，連接、，，則的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解．
【解答】解：，，
，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理．一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
5．（3分）如圖，為外一點(diǎn)，、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、，若，則的周長(zhǎng)為　　

A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】由切線長(zhǎng)定理可求得，，，則可求得答案．
【解答】解：
、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，
，，，
，
即的周長(zhǎng)為12，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的性質(zhì)，利用切線長(zhǎng)定理求得、和是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如果反比例函數(shù)是常數(shù)）的圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，隨增大而減小，那么的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，再解不等式即可．
【解答】解：反比例函數(shù)是常數(shù)）的圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，隨增大而減小，
，
解得：，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)．對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增大而減??；當(dāng)時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量增大而增大．
7．（3分）如圖，，則在圖中下列關(guān)系式一定成立的是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)，再利用平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出正確答案．
【解答】解：，
，，，；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)平行線分線段成比例定理得出有關(guān)比例線段．
8．（3分）如圖，線段，相交于點(diǎn)，．若，，，則的長(zhǎng)為　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出，，進(jìn)而可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，即可求出的長(zhǎng)，此題得解．
【解答】解：，
，，
，
，即，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則圓錐的側(cè)面積是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．
10．（3分）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】本題只有一個(gè)待定系數(shù)，且，根據(jù)和分類討論．也可以采用“特值法”，逐一排除．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，但當(dāng)時(shí)，，故不可能；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，但當(dāng)時(shí)，，故、不可能．
可能的是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的兩種情況，用了分類討論的思想．
二．填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共l8分．把答案填在答題卡的對(duì)應(yīng)位置的橫線上．）
11．（3分）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則　2??；另一根為　 ?。?br /> 【分析】把代入已知方程列出關(guān)于的新方程，通過解新方程來求的值；然后利用根與系數(shù)的關(guān)系來求方程的另一根．
【解答】解：依題意，得
，
解得，．
設(shè)方程的另一根為，則，
解得．
故答案是：2；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解定義和根與系數(shù)的關(guān)系．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
12．（3分）拋物線與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是 　?。?br /> 【分析】利用判別式的意義得到△，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得△，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．△決定拋物線與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
13．（3分）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．若點(diǎn)，，在同一條直線上，，則的度數(shù)是 　?。?br />
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出和度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)即可．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
，，
．
．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決這類問題關(guān)鍵是找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)角，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等量轉(zhuǎn)化角或線段．
14．（3分）如圖是反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象，若圖中的矩形的面積為4，則等于 　?。?br />
【分析】過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積是個(gè)定值，再由反比例的函數(shù)圖象所在象限確定出的值．
【解答】解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)，且矩形的面積為4，
所以，即，
又反比例函數(shù)的圖象在第二象限內(nèi)，，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心， 相似比為，把縮小， 則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是　或?。?br /> 【分析】根據(jù)已知得出位似圖形對(duì)應(yīng)坐標(biāo)與位似圖形比的關(guān)系進(jìn)而得出答案 ．
【解答】解：頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，以原點(diǎn)為位似中心相似比為將縮小得到它的位似圖形△，
點(diǎn)的坐標(biāo)是：，，，，
即或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)， 根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心， 相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或得出是解題關(guān)鍵 ．
16．（3分）如圖，在中，，為的中點(diǎn)，以為直徑的分別交，于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是 　　．

【分析】連接，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接，，
，為的中點(diǎn)，，
，
，
為的直徑，
，
，
，
，
，，
，
是的切線，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（本大題共9個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．）
17．（6分）解方程：．
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
18．（6分）如圖，在中，，，．求的長(zhǎng)．

【分析】根據(jù)已知可得，由對(duì)應(yīng)邊成比例可得，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．
【解答】解：，，
．
．
，，
．
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)已知條件得到是解題關(guān)鍵．
19．（6分）列方程解應(yīng)用題：參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？
【分析】設(shè)共有家公司參加商品交易會(huì)，就可以得出有份合同，根據(jù)總共有45份合同建立方程組，求出其解即可．
【解答】解：設(shè)共有家公司參加商品交易會(huì)，由題意，得
，
解得：，（舍去）．
答：共有10家公司參加商品交易會(huì)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)單循環(huán)問題的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
20．（7分）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，連接．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）由圓周角定理，平行線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角的和差求出的度數(shù)為；
（2）由為直徑推出，再由勾股定理求出．由，，推出，根據(jù)中位線定理得出．所以．
【解答】解：（1）連接．
，
，
，
，
；
（2）是的直徑，
，，
．
，，
，
．
．

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì)，線段的和差，圓周角定理，角的和差，勾股定理等相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
21．（7分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)．
（1）　1　，　　，　?。?br /> （2）比較大?。骸　。ㄌ睢啊被颉啊被颉啊?；
（3）關(guān)于的不等式的解集是 　?。?br />
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，即可求得、，然后利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式求得、的長(zhǎng)，即可求解；
（3）觀察函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入，并解得：，，
，，
反比例函數(shù)的圖象過，
；
故答案為：1，1，4；
（2）直線為，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，，
，，
，
故答案為：；
（3）關(guān)于的不等式的解集是或；
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，．求圖中陰影部分的面積．

【分析】（1）連接，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)定理可以得到，即，即可證得是的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接．
是的切線，是的直徑，
，
于點(diǎn)，
，
，
在和中，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：于點(diǎn)，
，
，是的切線，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
在中，，
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）小明的爸爸投資1200元圍一個(gè)矩形菜園（如圖），其中一邊靠墻（墻長(zhǎng)，另外三邊選用不同材料建造．平行于墻的邊的費(fèi)用為20元，垂直于墻的邊的費(fèi)用為15元，設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為．
（1）設(shè)垂直于墻的一邊長(zhǎng)為，直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)菜園的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)時(shí)的值；
（3）小明計(jì)算出菜園的最大面積是，小明計(jì)算的對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)“垂直于墻的長(zhǎng)度”可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)矩形的面積公式列出總面積關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)矩形的面積公式列出總面積關(guān)于的函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知，，
故與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）根據(jù)題意得，，
當(dāng)時(shí)，，
解這個(gè)方程，得，，
，
當(dāng)時(shí)，；
（3）小明計(jì)算的不對(duì)，
理由：，
，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．
小明計(jì)算的不對(duì)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和二次函數(shù)的問題．
24．（10分）如圖1，點(diǎn)是中邊上一點(diǎn)，，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過點(diǎn)（如圖2所示），若，求線段的長(zhǎng)．

【分析】（1）先判斷出，即可得出結(jié)論；
（2）判斷出，得出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出，得出，再用求出，即可得出答案．
【解答】（1）證明：，，
．
．

（2）解：，
．
又，
．
．
，，
．

（3）解：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，．
，
．
．
，
．
．

，
．
，
在中，．
【點(diǎn)評(píng)】此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出是解本題的關(guān)鍵．
25．（12分）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求線段長(zhǎng)度的最大值；
（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）把，坐標(biāo)代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）令，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，則，然后求出，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值；
（3）當(dāng)時(shí)，，，可得，證明，有，可得，求解符合要求的的值，進(jìn)而可得、、的值，在中，由勾股定理得，解得的值，由，，可證，有，計(jì)算求解即．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
，，
，
，，
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為2，
線段長(zhǎng)度的最大值為2；
（3）如圖：

當(dāng)時(shí)，．
，
，
，
，
，
即，
，
解得，（不合題意，舍去），
，，，
，
，，
，
，

的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)解析式、最值，二次函數(shù)與線段綜合，三角形相似，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)靈活運(yùn)用．

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