2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日在北京開(kāi)幕，冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源．下列冬奧元素圖片中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（    ）A． B． C． D．2．下列計(jì)算正確的是（    ）A． B． C． D．3．如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則的度數(shù)是（    ）A． B． C． D．4．如圖，≌，，，則的長(zhǎng)是（    ）A．    B．    C．    D．5．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形之后余下部分又剪開(kāi)拼成個(gè)長(zhǎng)方形不重疊無(wú)縫隙，若拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形的面積是（    ）A． B． C． D．6．如圖，在中，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，連接，若是等邊三角形，則的度數(shù)是（    ）A． B． C． D．7．如圖，是的邊上的中線，，，則的值可以是（    ）A．  B．  C．  D．8．如圖，在中，，為上一點(diǎn)，且，，則的度數(shù)是（    ）A． B． C． D．9．如圖，在中，，，垂足為，點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值是（    ）A．3  B．6  C．9   D．1210．已知實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，則（    ）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）11．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．12．已知，，則______．13．如圖，網(wǎng)格中的所有小正方形的邊長(zhǎng)相同，則______14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，且，點(diǎn)在軸正半軸，若以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)為______．15．如圖，是蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時(shí)秋千位于鉛垂線上，轉(zhuǎn)軸到地面的距離繩長(zhǎng)，當(dāng)秋千擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，測(cè)得當(dāng)秋千從處擺動(dòng)到時(shí)，，則到地面的距離是______．16．如圖，在中，，按以下步驟作圖：以為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；作射線，交于點(diǎn)若，，則線段的長(zhǎng)為______．17．對(duì)于有理數(shù)，，有如下定義：：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則的值為______．18．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作，使，為的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為______．三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19．（本小題分）計(jì)算：（1）；
（2）．20．（本小題分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．（本小題分）如圖，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的不寫(xiě)作法，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）請(qǐng)?jiān)?/span>軸上找一點(diǎn)，使得最小，并直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（本小題分）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，求證：．23．（本小題分）在學(xué)習(xí)“平方差公式”時(shí)，張老師出了一道題：計(jì)算嘉嘉發(fā)現(xiàn)把寫(xiě)成，把寫(xiě)成后可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．
請(qǐng)根據(jù)上述思路，計(jì)笲：
（1）；
（2）．24．（本小題分）如圖，和都是等腰直角三角形，，連接，．
（1）求證：≌；（2）過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，若，與的交點(diǎn)為，請(qǐng)判斷和的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．25．（本小題分）如圖，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為．
（1）求證：≌；
（2）若，，求的長(zhǎng)；
（3）如圖，延長(zhǎng)至，連接，過(guò)點(diǎn)作，且，連接交直線于點(diǎn)，若，，則______．26．（本小題分）定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．27．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有______只填寫(xiě)序號(hào)．①頂角是的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是的直角三角形．（2）如圖，在中，，，將沿邊所在的直線翻折得到，延長(zhǎng)到點(diǎn)，連接．①若，求證：是“倍角三角形”；②點(diǎn)在線段上，連接若，分所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)． 答案和解析 1．【答案】【解析】解：由題意知，選項(xiàng)中得圖形都不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，選項(xiàng)中的圖形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，故選：．
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的概念得出結(jié)論即可．
本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的概念是解題的關(guān)鍵．2．【答案】【解析】解：、，故A符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：．
利用同底數(shù)冪的除法的法則，合并同類(lèi)項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．3．【答案】【解析】解：由三角形內(nèi)角和定理得，，兩個(gè)三角形全等，，故選：．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵．4．【答案】【解析】解：≌，，，，，，故選：．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出和，即可求出答案．本題考查了全等三角形的性質(zhì)，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，題目比較好，難度不是很大．
5．【答案】【解析】解：由題意得，拼成的長(zhǎng)方形的面積為： ，故選：．根據(jù)長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)正方形的面積差，列式計(jì)算即可．本題考查列代數(shù)式，平方差公式，掌握拼圖前后面積之間的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．6．【答案】【解析】解：垂直平分，，，為等邊三角形，，．故選：．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到，從而可得的度數(shù)．本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到．7．【答案】【解析】解：延長(zhǎng)至，使，連接．在與中，，≌，．在中，，即，．，，故選：．延長(zhǎng)至，使，連接根據(jù)證明≌，得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．此題綜合運(yùn)用了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長(zhǎng)中線是常見(jiàn)的輔助線之一．8．【答案】【解析】解：設(shè)，，，，，，，，，，，，故選：．
設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用三角形的內(nèi)角和定理可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．【答案】【解析】解：過(guò)作于，交于，連接，則最小根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短，由于和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，，和關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，即，，，，即，故選：．過(guò)作于，交于，連接，則最小，即．本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．10．【答案】【解析】解：，，，，，，，為整數(shù)，或，故選：．由，得，根據(jù)，得，即可得到答案．本題考查完全平方公式的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式把式子變形和不等式的性質(zhì)．11．【答案】【解析】【分析】此題考查的是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；根據(jù)“關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可求解．【解答】解：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是．故答案為：．12．【答案】【解析】解：，，，．故答案為：．直接將已知提取公因式，進(jìn)而分解因式得出答案．此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確將已知變形是解題關(guān)鍵．13．【答案】【解析】解：在和中，，≌，，，，故答案為：．利用證得≌，然后利用全等三角形的性質(zhì)證得，從而根據(jù)得到．本題考查了全等圖形的定義，解題的關(guān)鍵是證得兩個(gè)三角形全等，難度不大．14．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得：若點(diǎn)在軸正半軸上，且是等腰三角形，則，、，，點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．由題意得出，即可得出結(jié)果．本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定，求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．【答案】 【解析】解：，，，，，，如圖，作，垂足為，過(guò)作于．，；在中，；又，，；在和中，≌；，，，；，
≌，，
作，垂足為．，，，即到地面的距離是，故答案為：作，垂足為，根據(jù)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．
本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．【答案】【解析】解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖，由作法得平分，，，，，．故答案為：．過(guò)點(diǎn)作于，如圖，利用基本作圖得到平分，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)．本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了角平分線的性質(zhì)．17．【答案】【解析】解：，，，，，，，．故答案為：．根據(jù)新定義可得：，通過(guò)整理配方可得：，利用非負(fù)性的性質(zhì)可判斷出，，從而代入求值．本題考查了新定義，配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行配方．18．【答案】【解析】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，，，，，，在和中，，≌，，有最小值，也有最小值，當(dāng)時(shí)，有最小值，，，，，線段的最小值為．故答案為：．取中點(diǎn)，連接，，由“”可證≌，可得，則當(dāng)時(shí)，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解．本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．19．【答案】解：（1） ；（2） ．【解析】（1）先算積的乘方，再算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，最后算整式的除法即可；（2）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行求解即可．本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．20．【答案】解： ，
當(dāng)時(shí)，原式．【解析】先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，然后把的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21．【答案】解：（1）如圖所示，即為所求，；
 （2）如圖所示，點(diǎn)即為所求，．【解析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，找出頂點(diǎn)即可求解；
（2）將點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．再根據(jù)圖形直接得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
本題考查了軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．【答案】證明：，，，在和中，，≌，．【解析】首先利用已知條件證明，然后證明≌即可求解．
此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，正確選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．23．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式

．【解析】（1）將原式化為，連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）將改寫(xiě)成后，連續(xù)利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．24．【答案】（1）證明：，，在和中，，≌；
（2）解：理由如下：
和都是等腰直角三角形，，，，，，，，，，．【解析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)證明，再通過(guò)全等三角形的判定得結(jié)論；（2）先由平行線的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得求得，進(jìn)而求得，再由三角形的內(nèi)角得定理得，便可得和的大小關(guān)系．本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用這些知識(shí)解題．25．【答案】【解析】（1）證明：，，，，，在和中，，≌；（2）解：≌，，，．，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，≌，，，，，，≌，，，，，，≌，，．故答案為：．
（1）先根據(jù)互余角性質(zhì)得，再根據(jù)得結(jié)論；（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)求得，再由線段和差求得結(jié)果；（3）過(guò)點(diǎn)作于，先證明≌，得，再已知三角形的面積求得，再證明≌得，最后由線段和差得結(jié)果．本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．【答案】【解析】（1）解：若頂角是的等腰三角形，兩個(gè)底角分別為，，
頂角是的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，三個(gè)角分別為，，，，等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一個(gè)是的直角三角形，另兩個(gè)角分別為，，，有一個(gè)的直角三角形是“倍角三角形”，故答案為：；
（2）證明：，，將沿邊所在的直線翻折得到，，，，，
，，，，是“倍角三角形”；解：由可得，如圖，若是等腰三角形，則是“倍角三角形”，是等邊三角形，
，，是“倍角三角形”，或，或；若是等腰三角形，則是“倍角三角形”，或或或，或或或，或或或，是等腰三角形，或或或，綜上所述：的度數(shù)為或或或．（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；（2）由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，理解“倍角三角形”的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 

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