一、單選題
1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由補(bǔ)集和交集的定義即可得出答案.
【詳解】因為集合，，，
所以=，
所以.
故選：C.
2．已知命題：，，則為（ ）.
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)存在性命題的否定直接求解.
【詳解】由存在性命題的否定知，
：，的否定為：，，
故選：B
3．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】，則當(dāng)時，必有，
反之當(dāng)時，不一定成立，如，滿足，而不滿足，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將的指數(shù)化為與，指數(shù)相同，再結(jié)合對應(yīng)冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷大小.
【詳解】解：，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
，即.
故選：D.
5．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函數(shù)的定義域以及具體函數(shù)的定義域的發(fā)法求解.
【詳解】由條件可知，且，解得:且，
所以函數(shù)的定義域.
故選：D
6．若，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】對變形后，利用基本不等式進(jìn)行求解最小值.
【詳解】因為，所以，
由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值為4.
故選：B
7．定義集合，若，，且集合有3個元素，則由實數(shù)所有取值組成的集合的非空真子集的個數(shù)為（ ）
A．2B．6C．14D．15
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的新定義運(yùn)算，再由集合有3個元素確定出n的取值集合，求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，又集合有3個元素，
當(dāng)時，即時，滿足題意，
當(dāng)時，即，（舍去）時，，不符合題意，
當(dāng)時，即時，滿足題意，
當(dāng)時，即，（舍去）時，，不符合題意.
綜上，，故所構(gòu)成集合的非空真子集的個數(shù)為.
故選：B
8．已知函數(shù)，且對于，，都滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意知分段函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及一次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組求解即可.
【詳解】因為對于，，都滿足，
所以分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故每段函數(shù)為減函數(shù)，應(yīng)滿足，解得，
同時在在上單調(diào)遞減，還需滿足，解得或，
所以.
故選：C
二、多選題
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則B．若，，則
C．若，則D．若，，則
【答案】ABD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，判斷選項.
【詳解】A.，則，，則，故A正確；
B.若，，則，故B正確；
C.當(dāng)，，，滿足，但，故C錯誤；
D. 若，，不等式兩邊同時乘以，不等號改變，即，故D正確.
故選：ABD
10．下列選項中正確的是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)空集的概念以及元素和集合的關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】對A，空集沒有任何元素，故A錯誤；
對B，空集是任何集合的子集，故B正確；
對C，方程無解，故C正確；
對D，由元素構(gòu)成的集合并不是空集，故D錯誤.
故選：BC
11．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】AD
【分析】根據(jù)兩函數(shù)相等的三要素一一判斷即可.
【詳解】對于A, 的定義域為,
的定義域為,
且兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同,所以是同一函數(shù),故A正確;
對于B, 的定義域為,
的定義域為,
所以不是同一函數(shù),故B錯誤;
對于C，
與對應(yīng)關(guān)系不相同,故C錯誤;
且定義域為,
定義域為,所以兩個函數(shù)是同一函數(shù),故D正確.
故選:AD.
12．已知函數(shù)，且，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的單增區(qū)間是
B．函數(shù)在定義域上有最小值為0，無最大值
C．若方程有三個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是
D．設(shè)函數(shù)，若方程有四個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】先求出，然后研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，從而可判斷ABC的正誤，利用換元法可求參數(shù)的取值范圍，從而可判斷D的正誤.
【詳解】因為時，，故，故，
故.
因為，，故函數(shù)在上不單調(diào)，故A錯誤.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
因為，故，故，
故的值域為，故，故B正確.
方程即為或，
整理得到：或，
因為方程有三個不同的實數(shù)根，故且，
故，故C正確.
設(shè)任意的，則，
因為，，，，
故即，
故在上為增函數(shù)，同理可證在上為減函數(shù)，
又當(dāng)時，恒成立，故的圖象如圖所示：
令，考慮的解即的解，
因為方程有四個不等實根，故必有解，
設(shè)解為，
因為方程有四個不等實根，故，
故即，
故D正確，
故選：BCD.
【點睛】思路點睛：對于分段函數(shù)的性質(zhì)的研究，應(yīng)該根據(jù)各段函數(shù)形式結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)來研究，對于復(fù)合方程的解的討論，應(yīng)該根據(jù)內(nèi)外方程對應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)來處理.
三、填空題
13．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，列式求解.
【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.
故答案為：
14．已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________.
【答案】或}##
【分析】首先根據(jù)不等式的解集求，再求解一元二次不等式的解集.
【詳解】因為的不等式的解集為，所以，
解得：，，
所以，，解得：或,
所以不等式的解集是或}.
故答案為：或}
15．已知函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且，則實數(shù)t的值為__________.
【答案】6
【分析】首先將函數(shù)中的一部分設(shè)為，再利用函數(shù)是奇函數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)最大值與最小值的關(guān)系，即可求解.
【詳解】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，所以的最大值和最小值互為相反數(shù)，
所以，得.
故答案為：
16．已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為__________.
【答案】
【分析】首先變形為，再根據(jù)，變形為，展開后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.
【詳解】由題，，
其中
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等.
故答案為：
四、解答題
17．設(shè)，，.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）計算，，再計算交集得到答案.
（2）計算，再計算并集得到答案.
【詳解】（1）由，得，解得，
所以，
由，得，解得，所以，
所以.
（2），所以，
所以.
18．已知命題“，都有不等式恒成立”是真命題.
(1)求由實數(shù)的所有取值組成的集合；
(2)設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)根據(jù)一元二次不等式恒成立得到對應(yīng)判別式小于零，解之即可求解；
(2)根據(jù)集合的運(yùn)算推導(dǎo)出，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因為，都有不等式恒成立，
所以，解得，
所以由實數(shù)的所有取值組成的集合為，
（2）因為，所以，下面分類討論：
①若，即時，顯然成立；
②若，即時，由，有，故，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
19．為了加強(qiáng)“疫情防控”，并能更高效地處理校園內(nèi)的疫情突發(fā)情況，重慶市育才中學(xué)校決定在學(xué)校門口右側(cè)搭建一間高為3米，底面面積為20平方米的長方體形狀的臨時隔離室，設(shè)臨時隔離室的左右兩側(cè)的地面長度均為米.現(xiàn)就該項目對外進(jìn)行公開招標(biāo)，其中甲公司給出的報價細(xì)目為：臨時隔離室的左右兩側(cè)墻面報價為每平方米200元，前后兩側(cè)墻面報價為每平方米250元，屋頂總報價為3400元；而乙公司則直接給出了工程的整體報價關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.
(1)設(shè)公司甲整體報價為元，試求關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若采用最低價中標(biāo)規(guī)則，哪家公司能競標(biāo)成功？請說明理由.
【答案】(1)
(2)公司乙能競標(biāo)成功，理由見解析
【分析】（1）由已知臨時隔離室的左右兩側(cè)的長度均為米，則隔離室前后面的地面長度為米，根據(jù)題意即可列出解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用基本不等式和二次函數(shù)性質(zhì)，即可求出最值，在根據(jù)最值比較大小即可求出競標(biāo)成功的公司.
【詳解】（1）解：因臨時隔離室的左右兩側(cè)的長度均為米，則隔離室前后面的地面長度為米，
于是得，，
所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式是.
（2）解：由（1）知，對于公司甲，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，則當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為5米時，公司甲的最低報價為15400元，
對于公司乙，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即乙公司最高報價為15380元，
因，因此，無論取何值，公司甲的報價都比公司乙的高，所以公司乙能競標(biāo)成功.
20．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集；
(2)當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）代入，再解分式不等式；
（2）首先分式不等式變形為，再討論，求解一元二次不等式的解集.
【詳解】（1）
，
當(dāng)時，不等式等價于，則不等式解集；
（2）當(dāng)時，不等式等價于
①當(dāng)時，令一元二次方程的兩個根為，，
因為，所以恒有，則不等式解集或；
②當(dāng)時，令一元二次方程的兩個根為，，
1）當(dāng)，即時，不等式解集；
2）當(dāng)，即時，不等式解集；
3）當(dāng)，即時，不等式解集.
綜上所述：當(dāng)時，不等式解集；
當(dāng)時，不等式解集；
當(dāng)時，不等式解集
當(dāng)時，不等式解集或；
21．已知
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若是定義在上的奇函數(shù)，且時，，求函數(shù)的解析式；
(3)求關(guān)于的不等式.
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）利用湊配法，求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，則，再利用函數(shù)的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；
（3）首先不等式變形為，再利用函數(shù)單調(diào)遞減，解不等式.
【詳解】（1），令，，
∴，即函數(shù)的解析式為：.
（2）當(dāng)時，，且為上的奇函數(shù).
∴當(dāng)時，，
∴函數(shù)的解析式為：，
（3）由，且在上單調(diào)遞減
∴，∴
∴且
∴不等式的解集為或.
22．已知定義域為，對任意，都有.當(dāng)時，，且.
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)單調(diào)性，并證明；
(3)若，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞減函數(shù)，證明見解析
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，，即可求得；
（2）對任意，利用單調(diào)性定義及題目條件，判斷的正負(fù)，即可得出答案；
（3）可根據(jù)題意將題目轉(zhuǎn)化為，
∴，，恒成立，
令，轉(zhuǎn)化為，，恒成立，
結(jié)合單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為使得成立，即，
再結(jié)合二次函數(shù)對稱軸分析，利用最值即可求得的取值范圍.
【詳解】（1）令，則，∴，
令，，則，又由，∴.
（2）設(shè)，
則，
又∵，∴，
∴，∴，
∴是上的單調(diào)遞減函數(shù).
（3）若，都有恒成立，
即，
∴，，恒成立，
令，，則，
∴，，恒成立，
由為上的單減函數(shù)，
∴，，恒成立，
即使得成立，即，
令，則即可，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴，∴；
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴，∴；
③當(dāng)時，∴，∴，∴.
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：
（1）在已知區(qū)間上任取，；
（2）作差；
（3）判斷的符號（往往先分解因式，再判斷各因式的符號）；
（4）得出單調(diào)性結(jié)論.
23．已知，，是正實數(shù)，證明：
【答案】證明見解析
【分析】由均值不等式即可證明.
【詳解】證明：由均值不等式可知：
,
則,
所以
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
又可利用均值不等式構(gòu)造：
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，即，，時取等.
所以
.

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