2021～2022學(xué)年度江蘇省啟東中學(xué)高一第一學(xué)期第一次月考（數(shù)學(xué)）一、單選題1. 已知集合，則下列關(guān)系表示正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷可得出合適的選項.【詳解】解：集合，
對于A，易得，故A錯誤；
對于B，由集合與集合之間的關(guān)系可得，故B錯誤；      
對于C，，故C錯誤；
對于D， ，故D正確.故選：D.2. 已知集合A滿足，則A的個數(shù)為（    ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件分析集合中元素的個數(shù)，進(jìn)而即可得到答案.【詳解】由題意，集合A中一定含3，4，5，可能含6，7，8，9，10，
由此可得滿足條件的集合A的個數(shù)就是集合的子集的個數(shù)，共有個
故選：C.3. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　)A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】，所以答案選擇B【考點定位】考查充分條件和必要條件，屬于簡單題. 4. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式可求得集合，由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，或，.故選：A.5. 當(dāng)時，下列不等式恒成立的是（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意排除錯誤的選項即可確定正確的恒等式.【詳解】當(dāng)時，滿足，不滿足，選項A錯誤；當(dāng)時，滿足，不滿足，也不滿足，選項B、D錯誤；，則，，則，由不等式的性質(zhì)可得，選項C正確.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6. 已知命題，，若命題p是假命題，則a的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求得命題的否定，結(jié)合不等式恒成立，求解即可.【詳解】命題，是假命題，
，恒成立是真命題；
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，需，，解得，
當(dāng)時，，不可能滿足恒成立，
綜上可得a的取值范圍為.
故選：.7. 已知不等式的解集為，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意可知2，4是一元二次方程的實數(shù)根，且利用韋達(dá)定理可知，代入得，然后解一元二次不等式即可.【詳解】因為不等式的解集是，
所以2，4是一元二次方程的實數(shù)根，且
所以，即
所以不等式化為，即，解得或
所以不等式的解集為故選：B8. 若，且，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故選：C.二、多選題9. 若集合，，且，則實數(shù)a的值為（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】解方程可得集合A，由題可得，然后分情況討論即得.詳解】，，
集合，集合，
，又，
當(dāng)時，則，滿足題意；
當(dāng)時，若，，，滿足題意，
若，則，，滿足題意；
或1或.故選：ABC.10. 下列命題正確的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. 命題“任意，則”的否定是“存在，則”C. “，”是“”成立的充要條件D. 設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】A.根據(jù)推出關(guān)系進(jìn)行判斷；B.全稱命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論即可；C.根據(jù)推出關(guān)系進(jìn)行判斷；D.根據(jù)推出關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】A選項：時，時不能推出，故A正確；B選項：全稱命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論，故B正確；C選項：時不能推出，，故C錯誤；D選項：不能推出，能推出，故D正確.故選：ABD.11. 若，，且，則下列說法正確的是（    ）A. ab的最大值為 B. 的最大值為2C. 的最小值為2 D. 的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式，結(jié)合已知條件，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時ab取得最大值，故正確；對：由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值2，即有最小值2 ，故錯誤，正確；對：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即取得最小值4，故正確.故選：12. 已知，，，則的值可能是（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】有則且,分和打開 ，然后用重要不等式求出其最值，從而得到答案.【詳解】由，得，則且.當(dāng)時, ==.當(dāng)且僅當(dāng)即 時取等號.當(dāng)時, ==.當(dāng)且僅當(dāng)即 時取等號.綜上，.故選：BCD.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.三、填空題13. 不等式解集為__________.【答案】或【解析】【分析】化簡不等式為，轉(zhuǎn)化為不等式組即得解.【詳解】由題得，所以或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.14. 已知，若關(guān)于的不等式有解，則的取值范圍為_____________;【答案】【解析】【分析】先求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】由于，所以.故答案為：15. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（用幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，并稱之為“無字證明”.設(shè)，稱為、的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線段AB上的點，且AC=，CB=，且，O為AB中點，以AB為直徑作半圓.過點C作AB的垂線，交半圓于D，連結(jié)OD，AD，BD.過點C作OD的垂線，垂足為E.則圖中線段OD的長度是、的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長度是、的幾何平均數(shù)，線段______的長度是、的調(diào)和平均數(shù),該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為_________.【答案】    ①. ##    ②. 【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)、直角三角形射影定理用a，b表示出相關(guān)線段長即可作答.【詳解】依題意，，，由直角三角形射影定理得，即，而點C與點O不重合，在中，即，則，在中，因，，由直角三角形射影定理得，，又，則，即，所以線段的長度是、的調(diào)和平均數(shù)，該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為.故答案：；16. 若，是方程的兩根，且滿足，記實數(shù)的可能取值集合為，則中所有元素之積為___________.【答案】112【解析】【分析】利用韋達(dá)定理及已知解得的值，代入韋達(dá)兩根之積，可得結(jié)果.【詳解】由，是方程的兩根，，，，由可得，則，解得，2，，時，，，設(shè)兩解，，則，時，，，設(shè)兩解，，則，時，，，無解.綜上中所有的元素之積為.故答案為：112.四、解答題17. 設(shè)，，.（1）寫出集合的所有子集；（2）若為非空集合，求的值.【答案】（1），，，（2）的值為3.【解析】【分析】（1）解一元二次方程求得集合的元素，由此求得集合的所有子集.（2）根據(jù)集合有一個元素或有兩個元素進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次方程的知識，求得的值.【詳解】解析：（1）∴集合的所有子集為，，，（2），∴當(dāng)集合只有一個元素時，由得，即此時或，不滿足.當(dāng)集合只有兩個元素時，由得：.綜上可知，的值為.【點睛】本小題主要考查集合子集求法，考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查一元二次方程根、判別式等知識，屬于基礎(chǔ)題.18. 已知集合，，.（1）若，求集合.（2）從集合B，C中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中.已知，______，則p是q的必要不充分條件，若存在實數(shù)m，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）若選集合B，m的取值范圍為；若選集合C，m的取值范圍為.【解析】【分析】（1）m=2代入求出集合B，進(jìn)而求出；（2）若選B，求出B，再根據(jù)范圍的大小即可求出m的取值范圍；同樣的方法求出選C時，對應(yīng)的m的取值范圍.【詳解】（1）由m=2及得：，解得，所以，又，所以.（2）若選B：由，得，∴，∴.由p是q的必要非充分條件，得集合B是集合A的真子集，∴（兩端等號不會同時取得），所以m的取值范圍為.若選C：由，得，∴.由p是q的必要非充分條件，得集合C是集合A的真子集，（兩端等號不會同時取得），所以m的取值范圍為.19. 已知集合，.（1）求，；（2）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再求出集合，最后根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義計算可得；（2）依題意可得，再對與分類討論，分別求出參數(shù)的值，最后取并集即可；【詳解】解：（1），即，解得或，或，，，，；（2），，①當(dāng)時，，即時滿足，；②當(dāng)時，要使，則即得．綜上所述，．20. 中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此，甲工程隊給出的報價如下屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為x米.（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元（a>0）；若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功（報價低的工程隊中標(biāo)），求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)總造價為元，列出．利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．（2）由題意可得，對任意的，恒成立，參變分離可得恒成立，即，利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．【小問1詳解】解：設(shè)甲工程隊的總造價為y元，依題意左右兩面墻的長度均為米，則屋子前面新建墻體長為米，則因為.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以當(dāng)時，，即當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為14400元.【小問2詳解】解：由題意可得，對任意的恒成立，即，從而，即恒成立，又.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以.21. 已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根.（1）是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值.【答案】（1）不存在，理由見解析；    （2）【解析】【分析】（1）利用反證法先假設(shè)存在實數(shù)，使得成立，根據(jù)一元二次方程有兩個實數(shù)根可得，因此原假設(shè)不成立，故不存在；（2）根據(jù)題意，可得能被整除，即可求出的值.【小問1詳解】假設(shè)存在實數(shù)，使得成立，一元二次方程的兩個實數(shù)根，，(不要忽略判別式的要求)，由韋達(dá)定理得，，但，不存在實數(shù)，使得成立.【小問2詳解】，要使其值是整數(shù)，只需要能被整除，故，即，，.22. 已知集合，，命題，使成立．（1）求；（2）是否存在實數(shù)，使命題為真命題？如果存在，求出實數(shù)的取值范圍，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）    （2）存在，【解析】【分析】（1）由題知，，再求交集運算即可；（2）令，，進(jìn)而根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為，，再結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值分類討論求解即可.【小問1詳解】解：由得，故，由得，故，
所以，【小問2詳解】解：存在實數(shù)a，使得命題p為真命題，理由如下：
假設(shè)命題，使成立，則
令，，
所以，問題轉(zhuǎn)化為，，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，，
，對稱軸為，開口向上.
①當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，解得：，此時無解；
②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，解得：，即；
③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，解得：，此時；
綜上可知，實數(shù)的取值范圍為：

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