第4講　萬有引力與宇宙航行  　　時間：60分鐘　 　　滿分：100分一、選擇題(本題共12小題，每小題6分，共72分。其中1～9題為單選，10～12題為多選)1．(2019·全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金<R地<R火，由此可以判定(　　)A．a金>a地>a火  B.a火>a地>a金C．v地>v火>v金  D.v火>v地>v金答案　A解析　行星繞太陽做圓周運(yùn)動時，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動知識有：G＝ma，得向心加速度a＝，G＝m，得線速度v＝ ，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正確。2．(2018·全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　)A．5×109 kg/m3  B.5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3  D.5×1018 kg/m3答案　C解析　設(shè)脈沖星質(zhì)量為M，密度為ρ，半徑為R，星體表面一物塊質(zhì)量為m，根據(jù)天體運(yùn)動規(guī)律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正確。3．(2019·北京高考)2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(　　)A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少答案　D解析　同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A錯誤；由＝知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，環(huán)繞速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B錯誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C錯誤；若該衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較少，D正確。4．(2021·八省聯(lián)考福建卷)人造地球衛(wèi)星的軌道可近似為圓軌道。下列說法正確的是(　　)A．周期是24小時的衛(wèi)星都是地球同步衛(wèi)星B．地球同步衛(wèi)星的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)的角速度小C．近地衛(wèi)星的向心加速度大小比地球兩極處的重力加速度大D．近地衛(wèi)星運(yùn)行的速率比地球表面赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的速率大答案　D解析　地球同步衛(wèi)星的軌道在赤道平面內(nèi)，周期是24小時的衛(wèi)星軌道與赤道平面可能有夾角，故A錯誤；根據(jù)ω＝，可知地球同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度大小相等，故B錯誤；對于近地衛(wèi)星，有＝ma，對于地球兩極處的物體，有＝mg，聯(lián)立兩式，可得a＝g，即近地衛(wèi)星的向心加速度大小與地球兩極處的重力加速大小相等，故C錯誤；同步衛(wèi)星與地球赤道上的物體具有相同的角速度，根據(jù)v＝ωr，同步衛(wèi)星的線速度大于赤道物體的線速度，又因?yàn)榻匦l(wèi)星的速率大于同步衛(wèi)星的速率，故近地衛(wèi)星的速率比地球表面赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的速率大，故D正確。5．(2021·浙江省寧波市慈溪市高三上適應(yīng)性測試)中國首個火星探測器“天問一號”于2020年7月23日發(fā)射升空，計劃飛行約7個月抵達(dá)火星。若已知火星半徑為地球半徑的一半、質(zhì)量為地球的十分之一，則(　　)A．此次天問一號的發(fā)射速度大于16.7 km/sB．火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為∶1C．火星表面處的重力加速度為地球的0.4倍D．天問一號在火星表面環(huán)繞飛行時的周期與地球近地衛(wèi)星的周期相等答案　C解析　16.7 km/s為第三宇宙速度，發(fā)射速度大于此速度將脫離太陽系飛行，故A錯誤；由題可知R火＝R地，M火＝M地，由G＝m，可得地球的第一宇宙速度為v＝ ，同理可得火星的第一宇宙速度為v′＝ ，則火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為＝＝＝，故B錯誤；由G＝mg，可得地球表面的重力加速度為g＝，同理可得火星表面的重力加速度為g′＝，則＝·＝0.4，即火星表面處的重力加速度為地球的0.4倍，故C正確；天問一號在火星表面環(huán)繞飛行時，由G＝mR火，可得其運(yùn)行周期為T′＝，同理，地球近地衛(wèi)星的周期為T＝，可得T＝T′，即天問一號在火星表面環(huán)繞飛行時的周期與地球近地衛(wèi)星的周期不相等，故D錯誤。6．(2020·湖北省荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)盟10月聯(lián)考)北京時間2019年4月10日晚21點(diǎn)，人類史上首張黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果將大量物質(zhì)集中于空間一點(diǎn)，其周圍會產(chǎn)生奇異的現(xiàn)象，即在質(zhì)點(diǎn)周圍存在一個界面——事件視界面，一旦進(jìn)入界面，即使光也無法逃脫，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天體周圍事件視界面看作球面，球面的半徑稱為史瓦西半徑。已知地球的半徑約為6400 km，地球的第一宇宙速度為7.9 km/s，天體的第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，光速為3.0×108 m/s，假設(shè)地球保持質(zhì)量不變收縮成黑洞，則地球黑洞的史瓦西半徑最接近(　　)A．1 mm  B.1 cm C.1 m  D.1 km答案　B解析　設(shè)地球半徑為R，則第一宇宙速度v1＝；當(dāng)?shù)厍蚴湛s成黑洞時，設(shè)半徑為R0，根據(jù)題意，這時的第二宇宙速度v2′＝v1′＝ ≥c，聯(lián)立可得R0≤R，代入數(shù)據(jù)得，R0的最大值R0max≈9×10－3 m≈1 cm，B正確。7．(2020·廣東省揭陽市高三線上教學(xué)摸底)如圖所示，衛(wèi)星a和b分別在半徑相同的軌道上繞金星和地球做勻速圓周運(yùn)動，已知金星的質(zhì)量小于地球的質(zhì)量，則(　　)A．a、b的線速度大小相等  B.a的角速度較大C．a的周期較大  D.a的向心加速度較大答案　C解析　對于衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力有＝＝mω2r，得線速度v＝，角速度ω＝，衛(wèi)星a和b的軌道半徑相同，中心天體金星的質(zhì)量小于地球的質(zhì)量，則衛(wèi)星b的線速度較大，角速度較大，故A、B錯誤；衛(wèi)星a的角速度較小，由ω＝知，衛(wèi)星a的周期較大，故C正確；由＝ma，得向心加速度a＝，則衛(wèi)星b的向心加速度較大，故D錯誤。8.(2021·八省聯(lián)考廣東卷)2020年12月17日，嫦娥五號成功返回地球，創(chuàng)造了我國到月球取土的偉大歷史。如圖所示，嫦娥五號取土后，在P處由圓形軌道Ⅰ變軌到橢圓軌道Ⅱ，以便返回地球。下列說法正確的是(　　)A．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行時均超重B．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行時機(jī)械能相等C．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行至P處時速率相等D．嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行至P處時加速度大小相等答案　D解析　嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行時均處于失重狀態(tài)，故A錯誤。嫦娥五號在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點(diǎn)時經(jīng)加速后進(jìn)入軌道Ⅱ運(yùn)行，故嫦娥五號在軌道Ⅰ上P處的速率小于在軌道Ⅱ運(yùn)行至P處時速率；加速后嫦娥五號重力勢能不變，動能增大，則其機(jī)械能增大，故B、C錯誤。根據(jù)G＝ma得a＝，可知嫦娥五號在軌道Ⅰ和Ⅱ運(yùn)行至P處時加速度大小相等，故D正確。9．(2021·福建省三明市高三上期末質(zhì)量檢測)2020年11月24日4點(diǎn)30分，嫦娥五號探測器成功發(fā)射升空。若嫦娥五號在距月球表面高度分別為h1、h2的軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行時，均可視為做勻速圓周運(yùn)動，則在軌道Ⅰ、Ⅱ上運(yùn)行時，嫦娥五號與月球中心連線掃過相同面積所用的時間之比為(月球看成半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體)(　　)A.   B.C.   D. 答案　D解析　根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝mω2(R＋h)，可知嫦娥五號在距月球表面高度為h1、h2的軌道Ⅰ、Ⅱ上的角速度分別為ω1＝ ，ω2＝，又因?yàn)殒隙鹞逄柵c月球中心連線在時間t內(nèi)掃過的面積為S＝ωt(R＋h)2，當(dāng)掃過的面積相等時，有ω1t1(R＋h1)2＝ω2t2(R＋h2)2，解得＝，故選D。10.(2020·廣東省潮州市高三下二模)2019年春節(jié)期間，中國科幻電影里程碑作品《流浪地球》熱播，影片中為了讓地球逃離太陽系，人們在地球上建造特大功率發(fā)動機(jī)，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過程可設(shè)想成如圖所示，地球在橢圓軌道Ⅰ上運(yùn)行到遠(yuǎn)日點(diǎn)B變軌，進(jìn)入圓形軌道Ⅱ，在圓形軌道Ⅱ上運(yùn)行到B點(diǎn)時再次加速變軌，從而最終擺脫太陽束縛。對于該過程，下列說法正確的是(　　)A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期B．在軌道Ⅰ上由A點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過程，速度逐漸增大C．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時，在A點(diǎn)的加速度大于在B點(diǎn)的加速度D．沿軌道Ⅰ運(yùn)動至B點(diǎn)時，需向前噴氣減速才能進(jìn)入軌道Ⅱ答案　AC解析　根據(jù)開普勒第三定律＝k，軌道Ⅰ的半長軸小于軌道Ⅱ的半徑，則地球沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期，A正確；由開普勒第二定律可知，地球在軌道Ⅰ上由A點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過程中，速度逐漸減小，B錯誤；地球沿軌道Ⅰ運(yùn)行時，在A點(diǎn)受到的萬有引力大于B點(diǎn)所受的萬有引力，可知在A點(diǎn)的加速度大于在B點(diǎn)的加速度，C正確；沿軌道Ⅰ運(yùn)動至B點(diǎn)時，需向后噴氣加速，做離心運(yùn)動才能進(jìn)入軌道Ⅱ，D錯誤。11.(2021·八省聯(lián)考湖南卷)在“嫦娥五號”任務(wù)中，有一個重要環(huán)節(jié)，軌道器和返回器的組合體(簡稱“甲”)與上升器(簡稱“乙”)要在環(huán)月軌道上實(shí)現(xiàn)對接，以便將月壤樣品從上升器轉(zhuǎn)移到返回器中，再由返回器帶回地球。對接之前，甲、乙分別在各自的軌道上做勻速圓周運(yùn)動，且甲的軌道半徑比乙小，如圖所示。為了實(shí)現(xiàn)對接，處在低軌的甲要抬高軌道。下列說法正確的是(　　)A．在甲抬高軌道之前，甲的線速度小于乙B．甲可以通過增大速度來抬高軌道C．在甲抬高軌道的過程中，月球?qū)椎娜f有引力逐漸增大D．返回地球后，月壤樣品所受的重力比在月球表面時大答案　BD解析　在甲抬高軌道之前，甲、乙均繞月球做勻速圓周運(yùn)動，有G＝m，可得線速度為v＝，因r甲<r乙，則甲的線速度大于乙的線速度，故A錯誤；甲從低軌道變?yōu)楦哕壍?，需要做離心運(yùn)動，則萬有引力小于向心力，故需增大速度，B正確；在甲抬高軌道的過程中，甲離月球中心的距離r逐漸增大，由F＝G可知月球?qū)椎娜f有引力逐漸減小，故C錯誤；因地球表面的重力加速度比月球表面的重力加速度大，由G＝mg可知月壤樣品所受的重力在地球表面比在月球表面時要大，故D正確。12.(2021·遼寧省高三上高考模擬)2020年7月23日，中國火星探測任務(wù)“天問一號”探測器在海南文昌航天發(fā)射場發(fā)射升空。如圖所示，已知地球和火星到太陽的距離分別為R和1.5R，若某火星探測器在地球軌道上的A點(diǎn)被發(fā)射出去，進(jìn)入預(yù)定的橢圓軌道，通過橢圓軌道到達(dá)遠(yuǎn)日點(diǎn)B進(jìn)行變速被火星俘獲。下列說法正確的是(　　)A．探測器在橢圓軌道A點(diǎn)的速度等于地球的公轉(zhuǎn)速度B．探測器由A點(diǎn)大約經(jīng)0.7年才能抵達(dá)火星附近的B點(diǎn)C．地球和火星相鄰兩次相距最近的時間間隔約為2.2年D．探測器在橢圓軌道A點(diǎn)的加速度小于在B點(diǎn)的加速度答案　BC解析　探測器由地球軌道進(jìn)入橢圓軌道需在A點(diǎn)減速，所以在橢圓軌道A點(diǎn)的速度小于地球的公轉(zhuǎn)速度，故A錯誤；因?yàn)榈厍虻墓D(zhuǎn)周期T1＝1年，設(shè)探測器在橢圓軌道運(yùn)動的周期為T2，根據(jù)開普勒第三定律得＝，解得T2≈1.4年，則探測器由A點(diǎn)發(fā)射之后，大約經(jīng)t＝＝0.7年才能抵達(dá)火星附近的B點(diǎn)，同理可求得火星繞太陽運(yùn)動的周期T3≈1.84年，設(shè)地球和火星相鄰兩次相距最近的時間間隔為Δt，則Δt＝1，解得Δt＝2.2年，故B、C正確；根據(jù)a＝G，可知探測器在橢圓軌道A點(diǎn)的加速度大于在B點(diǎn)的加速度，故D錯誤。二、非選擇題(本題共2小題，共28分)13．(2020·湖北省荊州市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測)(12分)引力波探測于2017年獲得諾貝爾物理學(xué)獎。雙星的運(yùn)動是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點(diǎn)在二者萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動，測得P星的周期為T，P、Q兩顆星的距離為l，P、Q兩顆星的軌道半徑之差為Δr(P星的軌道半徑大于Q星的軌道半徑)，引力常量為G，求：(1)P、Q兩顆星的線速度之差Δv；(2)Q、P兩顆星的質(zhì)量之差Δm。答案　(1)　(2)解析　(1)設(shè)P、Q兩顆星的軌道半徑分別為rP、rQ，P星的線速度大小vP＝Q星的線速度大小vQ＝則P、Q兩顆星的線速度大小之差為Δv＝vP－vQ＝－＝。(2)雙星系統(tǒng)靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，則有G＝mPrPω2＝mQrQω2解得mP＝，mQ＝則Q、P兩顆星的質(zhì)量差為Δm＝mQ－mP＝＝。14．(2020·福建省仙游第一中學(xué)、福建八中高三上學(xué)期第三次質(zhì)檢)(16分)一顆在赤道上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星，其軌道半徑為r＝2R(R為地球半徑)，衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω0，地球表面處的重力加速度為g。求：(1)該衛(wèi)星所在處的重力加速度g′；(2)該衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動的角速度ω；(3)該衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過赤道上同一建筑物正上方的時間間隔Δt。答案　(1)g　(2) 　(3)解析　(1)在地球表面處物體受到的重力等于萬有引力，即mg＝，在軌道半徑為r＝2R處，仍有萬有引力等于重力，即mg′＝，解得：g′＝。(2)根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝mω2(2R)，又mg＝，聯(lián)立可得ω＝。(3)該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空。以地面為參照物，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上方時，建筑物隨地球轉(zhuǎn)過的弧度比衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的弧度少2π，即ωΔt－ω0Δt＝2π，解得Δt＝。 

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