2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古通遼市科爾沁區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本題共10小題，共30分）如圖，下列圖形是以科學(xué)家名字命名的，其中不是軸對稱圖形的有(    )
 A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)用小棒釘成一個(gè)三角架，兩根小棒分別是和，第三根小棒可取(    )A.  B.  C.  D. 華為系列搭載了麒麟芯片，這個(gè)被華為稱之為全球首個(gè)納米工藝的芯片，擁有個(gè)全球第一，納米就是米．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 下面運(yùn)算中正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定≌的是(    )
A.  B.
C.  D. 下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的為(    )A.
B.
C.
D. 在探究證明“三角形的內(nèi)角和是”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是”的是(    )A.
B.
C.
D. 已知：，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 下列各式從左到右變形正確的是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知的內(nèi)角，分別作內(nèi)角與外角的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得；以此類推得到，則的度數(shù)是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本題共7小題，共21分）分式有意義的條件是______．十二邊形的內(nèi)角和是______．如圖，在中，，，垂直平分，交于點(diǎn)，，則______．
等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為______ ．如圖，，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
 九章算術(shù)中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間多一天，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時(shí)間．設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則可列方程為______．的結(jié)果是______．三、解答題（本題共9小題，共69分）計(jì)算：
；
．解方程：
；
．如圖所示的折疊凳．圖是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖木條等材料寬度忽略不計(jì)，其中凳腿和的長相等，是它們的中點(diǎn)．為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度設(shè)計(jì)為，則由以上信息可推得的長度為______，說明理由．
 先化簡，再求值：，其中滿足是．如圖，已知，，．
作關(guān)于軸對稱的；
在軸上找一點(diǎn)使得最小，畫出點(diǎn)所在的位置；
求的面積．
某單位在疫情期間用元購進(jìn)、兩種口罩個(gè)，購買種口罩與購買種口罩的費(fèi)用相同，且種口罩的單價(jià)是種口罩單價(jià)的倍；
求，兩種口罩的單價(jià)各是多少元？
隨著口罩供應(yīng)量不斷充足，、兩種口罩的進(jìn)價(jià)都下降了，若計(jì)劃用不超過元的資金再次購進(jìn)、兩種口罩共個(gè)，求種口罩最多能購進(jìn)多少個(gè)？如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)、，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，且．

求點(diǎn)的坐標(biāo)；
判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
如圖，求證：平分．閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法可以解決一些數(shù)學(xué)問題．比如運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
例：．
．
根據(jù)以上材料，利用多項(xiàng)式的配方解答下列問題．
分解因式：；
求多項(xiàng)式的最小值；
已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．【問題背景】
在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【初步探索】
小亮同學(xué)認(rèn)為：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明≌，再證明≌，則可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．

【探索延伸】
在四邊形中如圖，，，、分別是、上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．
【結(jié)論運(yùn)用】
如圖，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心處北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以海里小時(shí)的速度前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：第個(gè)不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
第個(gè)是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
第個(gè)不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
第個(gè)是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
此題考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
即．
只有適合，
故選：．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．第三邊的取值范圍是大于而小于，即大于而小于．
考查了三角形的三邊關(guān)系．三角形的三邊關(guān)系：任意第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和．
 3.【答案】 【解析】解：  ．
故選：．
絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．
本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．
 4.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：．
根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷選項(xiàng)；根據(jù)冪的乘方和積的乘方判斷選項(xiàng)；根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式判斷選項(xiàng)．
本題考查了合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、添加，根據(jù)，能判定≌，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、添加，根據(jù)，能判定≌，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、添加時(shí)，根據(jù)，能判定≌，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、添加，不能判定≌，故D選項(xiàng)符合題意；
故選：．
要判定≌，已知，是公共邊，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加、、后可分別根據(jù)、、能判定≌，而添加后則不能．
本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
 6.【答案】 【解析】本題考查了因式分解，掌握把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)因式分解的定義以及因式分解是恒等變形判斷即可得出答案．
解：、等號右邊不是積的形式，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，故該選項(xiàng)符合題意；
C、等號右邊左邊，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、等號右邊不是積的形式，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
 7.【答案】 【解析】解：由，則，由，得，故A不符合題意．
B.由，則，由，得，故B不符合題意．
C.由，得，由，得，，那么由，得，故C不符合題意．
D.由于，則，無法證得三角形內(nèi)角和是，故D符合題意．
故選：．
本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．
本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：由題意可知：，，且，
原式．
故選：．
將原式化簡，然后將代入原式即可求出答案．
本題考查分式的值，解題的關(guān)鍵是將原式化簡，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 9.【答案】 【解析】解：．，所以選項(xiàng)不符合題意；
B.，所以選項(xiàng)不符合題意；
C.，所以選項(xiàng)不符合題意；
D.，所以選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)分式的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于的整式，分式的值不變．
 10.【答案】 【解析】解：是的平分線，是的平分線，
，，
又，，
，
，
，
；
同理可得，
，

故選：．
根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，，整理即可求出的度數(shù)，同理求出，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．
本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】根據(jù)分式有意義的條件可得：，再解即可．
解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．
 12.【答案】 【解析】解：十二邊形的內(nèi)角和是．
根據(jù)邊形的內(nèi)角和是，代入求值即可．
本題主要考查了對于多邊形內(nèi)角和公式的記憶與運(yùn)用．
 13.【答案】 【解析】解：垂直平分，，
，
，
，，
，，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，再求出即可．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能熟記線段垂直平分線的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】或 【解析】解：本題分兩種情況，
當(dāng)角為頂角時(shí)，頂角的度數(shù)為，
當(dāng)角為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為；
這個(gè)等腰三角形的頂角為或．
故答案為：或．
首先要進(jìn)行分析題意，“等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角”沒明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：當(dāng)時(shí)，有最小值，
，，，，
，
即的最小值是，
故答案為：．
根據(jù)垂線段最短得出時(shí)，的值最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再求出答案即可．
本題考查了垂線段最短和角平分線的性質(zhì)，能熟記垂線段最短和角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則快馬所需的時(shí)間為天，慢馬所需的時(shí)間為天，
由題意得：，
故答案是：．
首先設(shè)規(guī)定時(shí)間為天，則快馬所需的時(shí)間為天，慢馬所需的時(shí)間為天，由題意得等量關(guān)系：慢馬速度快馬速度，根據(jù)等量關(guān)系，可得方程．
此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．
 17.【答案】 【解析】解：原式





．
故答案為：．
利用化簡即可．
此題考查了平方差公式，熟記及是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：


；


． 【解析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、積的乘方，再依次計(jì)算加減運(yùn)算可得；
先根據(jù)完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開，再合并同類項(xiàng)即可．
此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和整式的乘法，注意運(yùn)算法則和公式的應(yīng)用．
 19.【答案】解：去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入得：，
分式方程的解為；
去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入得：，
原分式方程無解． 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
 20.【答案】 【解析】解：是和的中點(diǎn)，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案為：．
利用定理判定≌，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．
此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，以及三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)定理．
 21.【答案】解：


，
，
，
原式． 【解析】先約分，再根據(jù)分式的加減法法則算括號里面的，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，求出，最后代入求出答案即可．
本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖所示即為所求；
如圖所示點(diǎn)即為所求；
的面積． 【解析】利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出，，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；
連接交軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)即為所求；
根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查作圖軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，學(xué)會利用割補(bǔ)法求三角形面積．
 23.【答案】解：設(shè)種口罩的單價(jià)為元個(gè)，則種口罩單價(jià)為元個(gè)，
根據(jù)題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
則．
答：種口罩單價(jià)為元個(gè)，種口罩單價(jià)為元個(gè)．
設(shè)購進(jìn)種口罩個(gè)，則購進(jìn)種口罩個(gè)，
依題意，得：，
解得：．
答：種口罩最多能購進(jìn)個(gè)． 【解析】設(shè)種口罩的單價(jià)為元個(gè)，則種口罩單價(jià)為元個(gè)，由題意：用元購進(jìn)、兩種口罩個(gè)，購買種口罩與購買種口罩的費(fèi)用相同，列出分式方程，解方程即可；
購進(jìn)種口罩個(gè)，則購進(jìn)種口罩個(gè)，由題意：、兩種口罩的進(jìn)價(jià)都下降了，若計(jì)劃用不超過元的資金再次購進(jìn)、兩種口罩共個(gè)，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 24.【答案】解：點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)，
，，
在和中，
，
≌，
，
點(diǎn)；
解：，理由如下：
≌，
，
，
，
，
；
證明：如圖，過點(diǎn)作于，于，

≌，
，，
，
，
又，，
平分． 【解析】由“”可證≌，可得，即可求解；
由全等三角形的性質(zhì)可得，由余角的性質(zhì)可證；
由全等三角形的性質(zhì)可得，，由面積關(guān)系可得，可得結(jié)論．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的判定等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：；
，
，
，
多項(xiàng)式的最小值為；
，
，
即，
，
，，，
的周長為． 【解析】根據(jù)閱讀材料中的方法分解即可；
根據(jù)閱讀材料中的方法將多項(xiàng)式變形，求出最小值即可；
原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．
此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
 26.【答案】 【解析】解：初步探索：，
故答案為：，
探索延伸：結(jié)論仍然成立，
證明：如圖，延長到，使，連接，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
結(jié)論運(yùn)用：解：如圖，連接，延長、交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
符合探索延伸中的條件
結(jié)論成立，
即海里，
答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里．
探索延伸：延長到，使，連接，證明≌和≌，得到答案；
結(jié)論運(yùn)用：連接，延長、交于點(diǎn)，得到，根據(jù)距離、速度和時(shí)間的關(guān)系計(jì)算即可．
本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意要正確作出輔助線．
 

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