實驗技能儲備
1．實驗原理
當擺角較小時，單擺做簡諧運動，其運動周期為T＝2πeq \r(\f(l,g))，由此得到g＝eq \f(4π2l,T2)，因此，只要測出擺長l和振動周期T，就可以求出當地的重力加速度g的值．
2．實驗器材
單擺，游標卡尺，毫米刻度尺，停表．
3．實驗過程
(1)讓細線的一端穿過金屬小球的小孔，做成單擺．
(2)把細線的上端用鐵夾固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處做上標記，如圖所示．
(3)用毫米刻度尺量出擺線長度l′，用游標卡尺測出金屬小球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計算出擺長l＝l′＋r.
(4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩(wěn)后測出單擺完成30～50次全振動所用的時間t，計算出單擺的振動周期T.
(5)根據單擺周期公式，計算當地的重力加速度．
(6)改變擺長，重做幾次實驗．
4．數據處理
(1)公式法：利用T＝eq \f(t,N)求出周期，算出三次測得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq \f(4π2l,T2)求重力加速度．
(2)圖像法：根據測出的一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖像，由單擺周期公式得l＝eq \f(g,4π2)T2，圖像應是一條過原點的直線，如圖所示，求出圖線的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．
5．注意事項
(1)懸線頂端不能晃動，需用夾子夾住，保證懸點固定．
(2)單擺必須在同一平面內振動，且擺角小于5°.
(3)選擇在擺球擺到平衡位置處時開始計時，并數準全振動的次數．
(4)應在小球自然下垂時用毫米刻度尺測量懸線長．
(5)一般選用一米左右的細線．
考點一 教材原型實驗
例1 實驗小組的同學們用如圖所示的裝置做“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗．
(1)測出懸點O到小球球心的距離(擺長)l及單擺完成n次全振動所用的時間t，則重力加速度g＝________.(用l、n、t表示)
(2)實驗時除用到停表、刻度尺外，還應該用到下列器材中的________．(填選項前的字母)
A．長約1 m的細線
B．長約1 m的橡皮繩
C．直徑約1 cm的均勻鐵球
D．直徑約10 cm的均勻木球
(3)選擇好器材，將符合實驗要求的單擺懸掛在鐵架臺上，應采用圖________中所示的固定方式．
(4)某實驗小組組裝單擺時，在擺線上端的懸點處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖所示，這樣做的目的是________．(填選項前的字母)
A．保持擺動過程中擺長不變
B．可使周期測量得更加準確
C．需要改變擺長時便于調節(jié)
D．保證擺球在同一豎直平面內擺動
(5)他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺量得從懸點到擺球的最低端的長度L＝0.999 0 m，再用游標卡尺測量擺球直徑，結果如圖所示，則該擺球的直徑為_____ mm.
(6)將單擺正確懸掛后進行如下操作，其中正確的是________．(填選項前的字母)
A．測出擺線長作為單擺的擺長
B．把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，使之做簡諧運動
C．在擺球經過平衡位置時開始計時
D．用停表測量擺球完成一次全振動所用時間并作為單擺的周期
(7)甲同學多次改變單擺的擺長并測得相應的周期，他根據測量數據畫出了如圖所示的圖像，但忘記在圖中標明橫坐標所代表的物理量．你認為橫坐標所代表的物理量是________(填“l(fā)2”“l(fā)”或“eq \r(l)”)，若圖線斜率為k，則重力加速度g＝________(用k表示)．
(8)乙同學測得的重力加速度數值大于當地的重力加速度的實際值，造成這一情況的原因可能是________．(填選項前的字母)
A．開始擺動時振幅較小
B．開始計時時，過早按下停表
C．測量周期時，誤將擺球(n－1)次全振動的時間記為n次全振動的時間
D．測量擺長時，以懸點到小球下端邊緣的距離為擺長
答案 (1)eq \f(4π2n2l,t2) (2)AC (3)乙 (4)AC (5)12.0 (6)BC (7)eq \r(l) eq \f(4π2,k2) (8)CD
解析 (1)單擺的周期T＝eq \f(t,n)，由單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))得重力加速度g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2l,t2).
(2)為了便于測量周期和減小空氣阻力，擺線選擇較細且結實、無彈性的線，故選A；為了減小空氣阻力的影響，擺球選擇質量大體積小的，故選C.
(3)為了避免運動過程中擺長發(fā)生變化，懸點要固定，不能松動，則選題圖乙．
(4)這樣做的目的是便于調節(jié)擺長，把擺線夾得更緊一些，使擺動過程中擺長不變，因此A、C正確．
(5)擺球的直徑為d＝12.0 mm.
(6)擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，A錯誤；將停表測量擺球完成一次全振動所用時間作為單擺的周期，誤差較大，應采用累積法測量周期，D錯誤．
(7)根據單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))＝eq \f(2π,\r(g)) eq \r(l)，所以應該作出T－eq \r(l)圖像，故橫坐標所代表的物理量是eq \r(l)，斜率k＝eq \f(2π,\r(g))，解得g＝eq \f(4π2,k2).
(8)由周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)，單擺振幅大小與g無關，故A錯誤；開始計時時，過早按下停表，周期偏大，則g偏小，故B錯誤；測量周期時，誤將擺球(n－1)次全振動的時間記為n次全振動的時間，周期偏小，則g偏大，故C正確；擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，若測量擺長時以懸點到小球下端邊緣的距離為擺長，擺長偏大，g＝eq \f(4π2l,T2)，所以g偏大，故D正確．
例2 某同學在“用單擺測定重力加速度的大小”的實驗中進行了如下的操作：
(1)用游標尺測量擺球的直徑如圖，可讀出擺球的直徑為________ cm.把擺球用細線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長，通過計算得到擺長L.
(2)用停表測量單擺的周期，測定了40次全振動的時間如圖所示，那么停表讀數是________ s.
(3)測量出多組周期T、擺長L的數值后，畫出T2－L圖線，此圖線斜率的物理意義是________．
A．g B.eq \f(1,g)
C.eq \f(4π2,g) D.eq \f(g,4π2)
(4)在(3)中，描點時若誤將擺線長當作擺長，那么畫出的直線將不通過原點，由圖線斜率得到的重力加速度與原來相比，其大小________．
A．偏大 B．偏小
C．不變 D．都有可能
答案 (1)2.06 (2)75.2 (3)C (4)C
解析 (1)用游標尺測量擺球的直徑為2 cm＋0.1 mm×6＝2.06 cm
(2)停表讀數是1 min＋15.2 s＝75.2 s
(3)根據T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得T2＝eq \f(4π2,g)L
可知T2－L圖像的斜率為eq \f(4π2,g)，故選C.
(4)在(3)中，描點時若誤將擺線長當作擺長
T＝2πeq \r(\f(L＋r,g))，可得T2＝eq \f(4π2,g)L＋eq \f(4π2r,g)
圖像的斜率不變，則由圖線斜率得到的重力加速度與原來相比，其大小不變，故選C.
考點二 探索創(chuàng)新實驗
例3 (2022·山東菏澤市調研)在探究單擺運動的實驗中：
(1)圖(a)是用力傳感器對單擺運動過程進行測量的裝置圖，圖(b)是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，根據圖(b)的信息可得，從t＝0時刻開始擺球第一次擺到最低點的時刻為________s，擺長為________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)．
(2)單擺運動的回復力是________．
A．擺球所受的重力
B．擺球重力在垂直擺線方向上的分力
C．擺線對擺球的拉力
D．擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力
(3)某同學的操作步驟如下，其中正確的是________．
A．取一根細線，下端系住直徑為d的金屬小球，上端固定在鐵架臺上
B．用米尺量得細線長度l，即擺長為l
C．在擺線偏離豎直方向5°位置由靜止釋放小球
D．讓小球在水平面內做圓周運動，測得擺動周期，再根據公式計算重力加速度
答案 (1)0.5 0.64 (2)B (3)AC
解析 (1)擺球第一次擺到最低點時，力傳感器顯示的力最大，根據題圖(b)的信息可得，所對應的時刻為t＝0.5 s．根據題圖(b)的信息可得，單擺周期T＝1.6 s，由單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得擺長為l＝0.64 m.
(2)單擺運動的回復力是擺球重力在垂直擺線方向上的分力，而擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力在徑向上提供向心力，選項B正確．
(3)測得擺長應為l＋eq \f(d,2)，選項B錯誤；若讓小球在水平面內做圓周運動，則為圓錐擺運動，測得的擺動周期不是單擺的周期，選項D錯誤．
課時精練
1．在“用單擺測量重力加速度”實驗中．(如圖所示)
(1)下列操作正確的是________．
A．甲圖：小球從偏離平衡位置60°開始擺動
B．乙圖：細線上端用鐵夾子固定
C．丙圖：小球到達最高點時作為計時開始與終止的位置
D．丁圖：小球自由下垂時測量擺線的長度
(2)某同學通過測量30次全振動的時間來測定單擺的周期T，他在單擺經過平衡位置時按下秒表記為“1”，若同方向再次經過平衡位置時記為“2”，在數到“30”時停止秒表，讀出這段時間t，算出周期T＝eq \f(t,30).其他操作步驟均正確．多次改變擺長時，他均按此方法記錄多組數據，并繪制了T2－L圖像，則他繪制的圖像可能是________．
(3)按照(2)中的操作，此同學獲得的重力加速度將________．(選填“偏大”“偏小”或“不變”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)擺線與豎直方向的夾角小于5°時，才可以認為小球的運動為簡諧運動，故A錯誤；細線上端應用鐵夾子固定，防止松動引起擺長變化，故B正確；當小球運動到最低點時開始計時誤差較小，故C錯誤；實驗時應該測量小球自由下垂時擺線的長度，故D正確．
(2)根據T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2L,g)，可知T2與L成正比，故D正確，A、B、C錯誤．
(3)實際的全振動次數為29，按30次計算，則計算得到的周期測量值偏小，根據g＝eq \f(4π2L,T2)知，測得的重力加速度偏大．
2．在“用單擺測量重力加速度的大小”的實驗中．
(1)安裝好實驗裝置后，先用游標卡尺測量擺球直徑d，測量的示數如圖所示，則擺球直徑d＝________ cm，再測量擺線長l，則單擺擺長L＝________(用d、l表示)；
(2)擺球擺動穩(wěn)定后，當它到達________(填“最低點”或“最高點”)時啟動停表開始計時，并記錄此后擺球再次經過最低點的次數n(n＝1、2、3…)，當n＝60時剛好停表．停止計時的停表如圖所示，其讀數為________ s，該單擺的周期為T＝________ s(周期要求保留三位有效數字)；
(3)計算重力加速度測量值的表達式為g＝______(用T、L表示)，如果測量值小于真實值，可能原因是________；
A．將擺球經過最低點的次數n記少了
B．計時開始時，停表啟動稍晚
C．將擺線長當成了擺長
D．將擺線長和球的直徑之和當成了擺長
(4)正確測量不同擺長L及相應的單擺周期T，并在坐標紙上畫出T2與L的關系圖線，如圖所示．由圖線算出重力加速度的大小g＝________ m/s2(保留3位有效數字，計算時π2取9.86)．
答案 (1)1.84 eq \f(d,2)＋l (2)最低點 67.5 2.25 (3)eq \f(4π2L,T2) AC (4)9.86
解析 (1)擺球直徑d＝1.8 cm＋0.1 mm×4＝1.84 cm；
單擺擺長L＝eq \f(d,2)＋l；
(2)擺球擺動穩(wěn)定后，當它到達最低點時啟動停表開始計時，并記錄此后擺球再次經過最低點的次數n(n＝1、2、3……)，當n＝60時剛好停表．停止計時的停表讀數為67.5 s，該單擺的周期為
T＝eq \f(t,\f(n,2))＝eq \f(67.5,30) s＝2.25 s；
(3)根據T＝2πeq \r(\f(L,g))可得計算重力加速度測量值的表達式為g＝eq \f(4π2L,T2)
將擺球經過最低點的次數n記少了，則計算周期T偏大，則g測量值偏小，選項A正確；計時開始時，停表啟動稍晚，則周期測量值偏小，則g測量值偏大，選項B錯誤；將擺線長當成了擺長，則L偏小，則g測量值偏小，選項C正確；將擺線長和球的直徑之和當成了擺長，則L偏大，則g測量值偏大，選項D錯誤．
(4)根據T＝2πeq \r(\f(L,g))可得T2＝eq \f(4π2,g)L，由圖像可知k＝eq \f(4π2,g)＝eq \f(4.85－3.25,1.20－0.80)＝4，解得g＝9.86 m/s2.
3．(2022·湖南省雅禮中學高三月考)在探究“單擺周期與擺長”的關系實驗中，若擺球在垂直紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數改為自動記錄振動次數，在擺球運動最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖甲所示．光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖乙所示，則該單擺的振動周期為________．若保持懸點到小球頂點的繩長不變，改用直徑是原小球直徑一半的另一小球進行實驗(振幅不變)，則該單擺的周期將________(填“變大”“不變”或“變小”)，圖乙中的Δt將______(填“變大”“不變”或“變小”)．
答案 2t0 變小 變小
解析 單擺在一個周期內兩次經過平衡位置，每次經過平衡位置，單擺會擋住細激光束，從R－t圖線可知周期T＝2t0.擺長等于擺線的長度加上擺球的半徑，擺球的直徑變小，擺線長度不變，則擺長減小，根據T＝2πeq \r(\f(l,g))知周期變?。當[球的直徑減小，則擋光的時間變短，所以Δt將變?。?

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