2023屆陜西省咸陽市武功縣普集高級中學高三重點班上學期10月階段性測試數學（理）試題 一、單選題1．為調查學生的課外閱讀情況，學校從高二年級四個班的182人中隨機抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機剔除的個數分別為（    ）A．6，2 B．2，3 C．2，60 D．60，2【答案】A【分析】根據系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機剔除人.故選：A.2．四個冪函數在同一平面直角坐標系中第一象限內的圖象如圖所示，則冪函數的圖象是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】由冪函數為增函數，且增加的速度比較緩慢作答．【詳解】冪函數為增函數，且增加的速度比較緩慢，只有④符合.故選：D.【點睛】本題考查冪函數的圖象與性質，屬于基礎題．3．關于的方程，有下列四個命題：甲：是方程的一個根；乙：是方程的一個根；丙：該方程兩根之和為3；?。涸摲匠虄筛愄枺?/span>如果只有一個假命題，則假命題是（    ）．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進而可得出結論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根為，兩根同號，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關于的方程的兩根為和，兩根同號，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關于的方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，結合已知條件求出方程的兩根，再結合各命題的真假進行判斷.4．函數的零點個數為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】的零點的問題轉化成圖象的交點個數的問題，令后，整理成，在同一坐標系中中畫出兩者圖象即可.【詳解】令，整理得，再令，不難在同一坐標系中畫出它們的圖象如下，根據圖象可知它們有兩個交點，即方程有兩個根，于是有兩個零點.故選：C5．已知動點在不等式組 表示的平面區(qū)域內部及其邊界上運動，則的最小值（    ）A．4 B． C． D．3【答案】B【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，明確表示的幾何意義，數形結合，即可求得答案.【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖陰影部分：表示的幾何意義為不等式組表示的區(qū)域內一點與點P(5,3)連線的斜率，由圖可知當連線經過區(qū)域內的A點時，斜率最小，即取到最小值；解可得,此時 ,即的最小值為，故選：B6．已知集合，若不是的子集，則下列命題中正確的是（  ）A．對任意的，都有B．對任意的，都有C．存在，滿足，D．存在，滿足，【答案】C【分析】根據子集的定義即可得出答案.【詳解】根據子集的定義，如果集合中任意一個元素都是集合的元素，那么集合稱為集合的子集.所以若不是的子集，也就是說中存在某個元素不屬于，則應表述為：存在，滿足，.故選：C.7．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8．某班同學在一次化學實驗中發(fā)現，某化學固體溶于水時，水中未溶解固體的質量M（單位：克）與放入水中的時間t（單位：分鐘）滿足以下關系：（為常數），若把9克的該化學固體放入水中t分鐘后變成3克，則t約為（    ）（取，）A．6分鐘 B．5分鐘 C．4分鐘 D．3分鐘【答案】B【分析】根據已知函數關系，結合已知條件，待定系數，結合參考數據和對數運算，即可求得結果.【詳解】由題意，當時，，因為，所以，.故選：.9．設定義在上的函數滿足，且對任意的、，都有，則函數的值域為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過特殊法，代值法代入題目中的函數式即可求得，從而求出解析式，利用換元法得出答案.【詳解】令，得，即；令 ，則，即； 令，則所以的值域是.故選：B.10．圓上到直線距離為3的點共有（    ）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通過計算可知:圓心到直線的距離等于圓的半徑的一半,由此可得結論.【詳解】圓可化為,所以圓心為,半徑為2,圓心到直線的距離為:,所以,.所以圓上到直線的距離為3的點共有1個.故選: A【點睛】本題考查了由圓的方程求圓心坐標和半徑,考查了點到直線的距離公式,屬于基礎題.11．已知是定義在上的奇函數，且，則函數的零點個數至少為A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據函數是定義在上的奇函數可得，可判斷函數的零點個數為奇數，結合求得的值為零，從而可得結果.【詳解】是定義在上的奇函數，，且零點關于原點對稱，零點個數為奇數，排除選項，又，，，，的零點至少有個，故選C.【點睛】本題主要考查函數的零點、函數奇偶性的應用以及抽象函數的解析式，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題. 二、多選題12．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（    ）A．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度B．所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度C．向右平移個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變D．向右平移個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變【答案】AC【分析】根據三角函數的圖象變換規(guī)律逐個分析可得答案.【詳解】將函數的圖象所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，可以得到函數的圖象，A正確.將函數的圖象所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，可以得到函數的圖象，B不正確.將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可以得到函數的圖象，C正確.將函數的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可以得到函數， D不正確.故選：AC 三、填空題13．為虛數單位，復數______．【答案】【分析】根據復數的除法法則計算．【詳解】．故答案為：．14．已知、是等軸雙曲線的左、右焦點，點在上，，則等于___________.【答案】【分析】利用余弦定理結合雙曲線的定義可求得的值.【詳解】解：∵雙曲線的方程為：，∴，得，由此可得、，焦距，∵，∴，即，①又∵點在雙曲線上，∴，平方得，②① ②，得，故答案為：.15．過圓外一點P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B.若△PAB為等邊三角形，則過D(2，1)的直線l被P點軌跡所截得的最短弦長為________.【答案】【分析】先根據∠APC＝30°，可得P點軌跡方程為圓，再數形結合可知當l與CD垂直時，l被圓所截得的弦長最短，結合垂徑定理計算即可【詳解】由題意知，連接PC，因為△PAB為等邊三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P點軌跡的方程為.因為，所以點D(2，1)在圓(x－1)2＋y2＝4的內部.連接CD，結合圖形可知，當l與CD垂直時，l被圓所截得的弦長最短，最短弦長為故答案為：16．如圖，在四面體中，，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長為______．【答案】或【分析】取的中點，連接、，求出的值，利用余弦定理可求得線段的長.【詳解】取的中點，連接、，、分別為、的中點，且，同理可得且，為異面直線與所成的角或其補角，則或.在中，.若，則為等邊三角形，此時，；若，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.【點睛】思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角． 四、解答題17．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.已知每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】（1）88輛車；（2）當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.【分析】（1）根據每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會增加一輛可求出結果；（2）根據題意求出租賃公司的月收益關于每輛車的月租金的函數解析式，再根據二次函數知識可求出結果.【詳解】（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為，所以這時租出了88輛車.（2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益（單位：元），整理得.所以當時，最大，其最大值為.所以當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.18．(1)利用“五點法”畫出函數在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.(2)并說明該函數圖象可由的圖象經過怎樣平移和伸縮變換得到的.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】先列表如圖確定的值,后描點并畫圖,利用“五點法”畫出函數在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.(2)依據的圖象上所有的點向左平移個單位長度,，再把所得圖象的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到.【詳解】(1)先列表,后描點,并畫圖(2)把的圖象上所有的點向左平移個單位長度,得到的圖象,再把所得圖象的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到的圖象.或把的圖象橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到的圖象.再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度,得到,即的圖象.本題考查五點法作函數的圖象,函數的圖象變換,考查計算能力,是基礎題.19．已知數列前項和為，(1)證明：(2)設 求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據與前項和為的關系，即可證明結果；（2）由（1），對分奇數和偶數兩種情況討論，可得，由此可得，再根據分組求和即可求出結果.【詳解】(1)解：由題可知，當時，解得，所以又因為，將其與兩式相減得：，因為，有.當時，上式也成立，綜上，.(2)解：當n為大于1的奇數時，有，，，…，累加得又滿足上式，所以n為奇數時；當n為大于2的偶數時，有，，，…，累加得，滿足上式，又，綜上可知.20．已知在直角坐標系中（為坐標原點），，，．（1）若，，共線，求的值；（2）當時，直線上存在點使，求點的坐標．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用，結合向量共線的坐標表示列方程，解方程求得的值.（2）設點的坐標為，利用，結合向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得的值，進而求得點的坐標.【詳解】（1）；∵、、共線，∴∴∴．（2）∵在直線上，∴設∴∵∴即：解得：或.∴或．∴點的坐標為或．【點睛】本小題主要考查向量共線、垂直的坐標表示，屬于中檔題.21．已知函數．(1)求的極值；(2)若函數，求的極小值的最大值．【答案】(1)極小值1，無極大值(2)1 【分析】（1）由導數判斷單調性后求解，（2）設出的零點，在中消去，轉化為關于的函數求解最值【詳解】(1)）函數的定義域為．令，則，所以在上單調遞增，且．當時，；當時，．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時有極小值，無極大值．(2)因為，所以．由（1）知，在上單調遞增，當時，；當時，，則有唯一解．當時，；當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，且滿足．所以．令，則．當時，；當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，此時，所以當時，的極小值的最大值為1．22．已知直線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線交于，兩點，求的值.【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接把參數方程和極坐標方程轉換為直角坐標方程．（2）利用直線和曲線的位置關系，進一步聯立方程組，借助一元二次根和系數的關系式求出結果．【詳解】（1）直線的參數方程為（為參數），消去，得，即直線的普通方程為.又曲線，即，，曲線的直角坐標方程為.（2）由（1）得，直線的標準參數方程為（為參數），代入曲線的直角坐標方程得，，，，.【點睛】本題考查的知識要點：直角坐標方程與參數方程和極坐標方程的互化，直線和曲線的位置關系的應用，一元二次方程根與系數的關系的應用．23．已知正數滿足，證明：(1)；(2)≥.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據3個數的不等式關系即可求解，（2）根據基本不等式即可求解.【詳解】(1)因為均為正數，所以，則，所以.當且僅當時，取得等號.(2)由基本不等式可知，，所以.，當且僅當時，取得等號.故. 

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