1.2.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
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探究點(diǎn)一　命題的否定及真假的判斷探究點(diǎn)二　含有量詞的命題的否定探究點(diǎn)三　全稱量詞命題、存在量詞命題否定的應(yīng)用
1.能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定,并會(huì)判斷真假;2.能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定,并會(huì)判斷真假.
一般地,對(duì)命題p加以否定,就得到一個(gè)新的命題,記作“ p”,讀作“非p”或“p的否定”.
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)命題 p的否定是p.(　 )(2)命題p是真命題,則其否定一定是假命題. (　 )
[解析] 如果一個(gè)命題是真命題,那么這個(gè)命題的否定就是假命題,反之亦然.
知識(shí)點(diǎn)二　含有量詞的命題的否定
【診斷分析】 判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“存在一個(gè)質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)”的否定是“所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)”.(　 )(2)存在量詞命題的否定是對(duì)“量詞”和“p(x)”同時(shí)否定.(　 )(3)“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是“?x∈R,x2-2x+12;(2)q:方程x2+2x-4=0有實(shí)數(shù)根;(3)r:正方形都是菱形.
探究點(diǎn)一　命題的否定及真假的判斷
變式 寫出下列命題的否定,并判斷所得命題的真假.(1)p:空集是集合A的子集;(2)q:若xy=0,則x與y中至少有一個(gè)為0;(3)s:1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).
解:(1) p:空集不是集合A的子集.因?yàn)槊}p是真命題,所以 p是假命題.(2) q:若xy=0,則x與y均不為0. 因?yàn)槊}q是真命題,所以 q是假命題. (3) s:1是質(zhì)數(shù)或合數(shù).因?yàn)槊}s是真命題,所以 s是假命題.
[素養(yǎng)小結(jié)] p是對(duì)命題p的全盤否定,對(duì)一些詞語的正確否定是寫 p的關(guān)鍵,如“都”的否定是“不都”,“至多兩個(gè)”的否定是“至少三個(gè)”等.
探究點(diǎn)二　含有量詞的命題的否定
解:(1)“關(guān)于x的方程ax=b都有實(shí)數(shù)根”的否定是“有些關(guān)于x的方程ax=b無實(shí)數(shù)根”,為真命題,比如方程0·x=1無實(shí)數(shù)根.
[素養(yǎng)小結(jié)](1)全稱量詞命題的否定:將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,再否定它的結(jié)論.(2)存在量詞命題的否定:將存在量詞變?yōu)槿Q量詞,再否定它的結(jié)論.(3)對(duì)省略量詞的命題要補(bǔ)回量詞再否定.解題中若遇到省略“所有”“任何”“任意”“有一個(gè)”“存在”等量詞的簡化形式,則應(yīng)先將命題寫成完整形式,再依據(jù)法則寫出其否定形式.(4)若命題為真命題,則該命題的否定就是假命題;若命題為假命題,則該命題的否定就是真命題.
探究點(diǎn)三　全稱量詞命題、存在量詞命題否定的應(yīng)用
解:若全稱量詞命題為假命題,則通常轉(zhuǎn)化為其否定,即存在量詞命題為真命題來解決問題.同理,若存在量詞命題為假命題,則通常轉(zhuǎn)化為其否定,即全稱量詞命題為真命題來解決問題.
[探索] 若全稱量詞命題為假命題,則該如何處理?若存在量詞命題為假命題,則該如何處理?
(2)若“?x∈[1,2],x+a≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　 　　　.?
[解析] (2)由題可知,“?x∈[1,2],x+a≤0”的否定“?x∈[1,2],x+a>0”為真命題,則a>-x(x∈[1,2])恒成立,可得a>-1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,+∞).
變式 (1)已知p:“?x∈[1,2],x2-k≥1”為假命題,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　 　.?(2)已知p:?x∈(-∞,a],x2≠4,若 p為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　　.?
[解析] (1)因?yàn)閜:“?x∈[1,2],x2-k≥1”為假命題,所以 p:“?x∈[1,2],x2-k10的解,故該命題的否定是假命題.
2.關(guān)鍵量詞的否定 (1)常見全稱量詞的否定(2)常見存在量詞的否定
(3)一些常見判斷詞的否定
3.含量詞命題的真假問題,直接判斷含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題(存在量詞命題)的真假較為困難時(shí),可借助全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為判斷其否定的真假問題,達(dá)到化難為易的目的.

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版本： 人教B版 (2019)

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