?2022-2023學(xué)年浙江省寧波市北侖區(qū)十校聯(lián)考九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（本大題共10小題，共40分）
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
2．拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
3．如圖：點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)是（　?。?br />
A．18° B．30° C．36° D．72°
4．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊邊角空地建造了一個(gè)扇形花圃，扇形圓心角∠AOB＝120°，半徑OA為3m，那么花圃的面積為（　?。?br />
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
5．如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，則⊙O的半徑長為（　?。?br />
A． B．3 C．4 D．5
6．已知拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2018的值（　?。?br /> A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7．下列各組條件中一定能推得△ABC與△DEF相似的是（　　）
A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
8．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，則⊙O的周長為（　?。?br />
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
9．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．BD＝AD B．BC2＝AB?CD C．AD2＝BD?AB D．CD2＝AD?BD
10．當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（　?。?br /> A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
二、填空題（本大題共6小題，共30分）
11．二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的開口方向是向　 　．
12．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　 ?。?br />
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，則a的值為 　 ?。?br /> 14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函數(shù)，則m＝　 ?。?br /> 15．如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，AB＝2，∠ACD＝30°，則AD＝　 ?。?br />
16．如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝4，點(diǎn)F位于的處且靠近點(diǎn)A的位置．點(diǎn)C、D分別在線段OA、OB上，CD＝4，E為CD的中點(diǎn)，連接EF、BE．在CD滑動(dòng)過程中（CD長度始終保持不變），當(dāng)EF取最小值時(shí)，陰影部分的周長為 　 　．

三、解答題（本大題共8小題，第17-19題各8分，第20-22題各10分，第23題12分，第24題14分，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．
（1）求出m的值并畫出這條拋物線；
（2）求拋物線與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？

18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）求⊙O的直徑．

19．已知如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求證：△ADE∽△ACB．

20．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑．如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑．

21．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．

22．某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進(jìn)價(jià)為每件30元，物價(jià)部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進(jìn)價(jià)的60%．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這種兒童玩具每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣10x+700．
（1）求該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
23．如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的半圓上，AD平分∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，連結(jié)BD，求BD的長．

24．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+（k﹣1）x﹣k與直線y＝kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y＝kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．



參考答案
一、單選題（本大題共10小題，共40分）
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0），逐一判斷即可解答．
解：A、y＝﹣不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、y＝2x2﹣x+2是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；
C、y＝是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、y＝2x+2是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用頂點(diǎn)式的特點(diǎn)可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解：∵頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），
∴拋物線y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸的方法．
3．如圖：點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，若∠AOB＝72°，則∠ACB的度數(shù)是（　?。?br />
A．18° B．30° C．36° D．72°
【分析】利用圓周角定理直接求解即可．
解：根據(jù)圓周角定理，得∠ACB＝∠AOB＝36°．故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用．
4．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊邊角空地建造了一個(gè)扇形花圃，扇形圓心角∠AOB＝120°，半徑OA為3m，那么花圃的面積為（　　）

A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
【分析】利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
解：∵扇形花圃的圓心角∠AOB＝120°，半徑OA為3cm，
∴花圃的面積為＝3π，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式．
5．如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，則⊙O的半徑長為（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【分析】已知AB和OC的長，根據(jù)垂徑定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可以求出OA．
解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根據(jù)勾股定理，
OA＝＝5．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理；解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．
6．已知拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2018的值（　?。?br /> A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．
解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2018＝2+2018＝2020．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．
7．下列各組條件中一定能推得△ABC與△DEF相似的是（　?。?br /> A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
【分析】根據(jù)三角形相似的判定方法（①兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判斷出A、B的正誤；②兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）進(jìn)行判斷．
解：A、△ABC與△DEF的三組邊不是對(duì)應(yīng)成比例，所以不能判定△ABC與△DEF相似．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∠A與∠E不是△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，所以不能判定△ABC與△DEF相似．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、△ABC與△DEF的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等，所以能判定△ABC與△DEF相似．故本選項(xiàng)正確；
D、，不是△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)邊成比例，所以不能判定△ABC與△DEF相似．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，則⊙O的周長為（　?。?br />
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長為BC＝4cm；然后由圓的周長公式進(jìn)行計(jì)算．
解：如圖，連接OD、OC．
∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的周長＝2×4π＝8π（cm）．
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定．該題利用“有一內(nèi)角是60度的等腰三角形為等邊三角形”證得△AOD是等邊三角形．
9．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列結(jié)論正確的是（　　）

A．BD＝AD B．BC2＝AB?CD C．AD2＝BD?AB D．CD2＝AD?BD
【分析】根據(jù)直角三角形結(jié)合垂線的定義，可得出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB，進(jìn)而可得出△ADC∽△CDB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解：∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD?BD．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的判定定理找出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB、△ADC∽△CDB是解題的關(guān)鍵．
10．當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（　?。?br /> A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【分析】分類討論：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根據(jù)函數(shù)的增減性，可得答案．
解：當(dāng)m＜﹣2，x＝﹣2時(shí)，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），
當(dāng)﹣2≤m≤1，x＝m時(shí)，y最大＝m2+1＝4，解得m＝﹣；
當(dāng)m＞1，x＝1時(shí)，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
綜上所述：m的值為﹣或2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是最大值，利用函數(shù)的增減性得出函數(shù)的最值，分類討論是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，共30分）
11．二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的開口方向是向　上?。?br /> 【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)由a＝1＞0即可得到拋物線的開口向上．
解：∵a＝1＞0，
∴拋物線的開口向上．
故答案為上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)：二次函數(shù)的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下．
12．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點(diǎn)，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝　4?。?br />
【分析】根據(jù)相似三角形的判定可得到△ABC∽△CDE，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AB的長．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
∵C是線段BD的中點(diǎn)，ED＝1，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，
∴，
∴AB＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，則a的值為 　12?。?br /> 【分析】直接利用已知比例式假設(shè)出a，b，c的值，進(jìn)而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．
解：∵＝＝，
∴設(shè)a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．
14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函數(shù)，則m＝　﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可．
解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函數(shù)，得
，
解得m＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
15．如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，AB＝2，∠ACD＝30°，則AD＝　1?。?br />
【分析】利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求AD的長．
解：∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
16．如圖所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝4，點(diǎn)F位于的處且靠近點(diǎn)A的位置．點(diǎn)C、D分別在線段OA、OB上，CD＝4，E為CD的中點(diǎn)，連接EF、BE．在CD滑動(dòng)過程中（CD長度始終保持不變），當(dāng)EF取最小值時(shí)，陰影部分的周長為 　　．

【分析】如圖，連接OF，OE，BF，取OF的中點(diǎn)T，連接BT．證明△OBF是等邊三角形，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出當(dāng)O，E，F(xiàn)共線時(shí)，EF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合，求出BT，F(xiàn)T，的長即可．
解：如圖，連接OF，OE，BF，取OF的中點(diǎn)T，連接BT．

∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的長＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴當(dāng)O，E，F(xiàn)共線時(shí)，EF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)T重合，
∴此時(shí)EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等邊三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝＝2，
∴此時(shí)陰影部分的周長為2+2+π．
故答案為：2+2+π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長的計(jì)算，等邊三角形的判定，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，注意：已知圓的半徑為r，那么n'°的圓心角所對(duì)的弧的長度為．
三、解答題（本大題共8小題，第17-19題各8分，第20-22題各10分，第23題12分，第24題14分，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．
（1）求出m的值并畫出這條拋物線；
（2）求拋物線與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？

【分析】（1）先把點(diǎn)（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m求出m的值即可得出拋物線的解析式，利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可；
（2）、（3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接得出結(jié)論；
解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），
∴m＝3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
列表如下：
，
函數(shù)圖象如圖；

（2）由函數(shù)圖象可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；

（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，能根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度數(shù)；
（2）求⊙O的直徑．

【分析】（1）由垂徑定理知，，∴∠DCB＝∠CAB＝30°；
（2）由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，有CE＝CD＝3，AB是直徑，∴∠ACB＝90°，再求出AC的長，利用∠A的余弦即可求解．
解：（1）∵直徑AB⊥CD，
∴，
∴∠DCB＝∠CAB＝30度；

（2）∵直徑AB⊥CD，CD＝6cm，
∴CE＝3cm，
在Rt△ACE中，∠A＝30°，
∴AC＝6cm，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝4（cm）．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了垂徑定理和圓周角定理及銳角三角函數(shù)的概念求解．
19．已知如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求證：△ADE∽△ACB．

【分析】首先根據(jù)已知得出AD：AC＝AE：AB，又因?yàn)椤螪AE＝∠CAB，進(jìn)而得出△ADE∽△ACB．
【解答】證明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
20．某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑．如圖，若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB＝16cm，水最深的地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑．

【分析】先過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OB，得出BD＝AB，再設(shè)半徑為xcm，則OD＝（x﹣4）cm，根據(jù)OD2+BD2＝OB2，得出（x﹣4）2+82＝x2，再求出x的值即可．
解：過點(diǎn)O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由題意可知，CD＝4cm
∴設(shè)半徑為xcm，則OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：這個(gè)圓形截面的半徑為10cm．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾股定理，要能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．
21．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．

【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，
∴＝，
設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．
22．某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進(jìn)價(jià)為每件30元，物價(jià)部門規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進(jìn)價(jià)的60%．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這種兒童玩具每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣10x+700．
（1）求該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）列不等式得到x≤48，將（1）中函數(shù)關(guān)系式化成頂點(diǎn)式w＝﹣10（x﹣50）2+4000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：（1）根據(jù)題意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）
＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
∴w＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，對(duì)稱軸x＝50，
∴當(dāng)x＝48時(shí)，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：當(dāng)銷售單價(jià)為48時(shí)，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是3960元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
23．如圖，C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的半圓上，AD平分∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，連結(jié)BD，求BD的長．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠CAD＝∠DAB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB＝∠ADO，求出∠CAD＝∠ADO，再根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得出∠C＝∠ADB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEM＝∠C＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC＝6，根據(jù)三角形的中位線求出OE，求出DE，根據(jù)相似求出EM，再根據(jù)勾股定理求出DM，再根據(jù)勾股定理求出BD即可．
【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC；

（2）解：設(shè)AD交BC于M，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DEM＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴CE＝BE＝＝4，
∵AC＝6，
∴OE＝AC＝3，
∵OD＝AB＝10＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵OD∥AC，
∴△DEM∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝1，則BM＝4+1＝5，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：DM＝＝＝，
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出DE長和∠CAD＝∠ADO是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)．
24．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+（k﹣1）x﹣k與直線y＝kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），在直線y＝kx+1上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】方法一：
（1）當(dāng)k＝1時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，解方程求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°”的含義是，以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，由圓周角定理可知，此時(shí)∠OQC＝90°且點(diǎn)Q為唯一．以此為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點(diǎn)是考慮直線AB是否與拋物線交于C點(diǎn)，此時(shí)亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)．
（2）利用面積公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）列出定點(diǎn)O坐標(biāo)，用參數(shù)表示C，Q點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線垂直的性質(zhì)構(gòu)建方程求出k的值．
【解答】方法一：
解：（1）當(dāng)k＝1時(shí)，拋物線解析式為y＝x2﹣1，直線解析式為y＝x+1．
聯(lián)立兩個(gè)解析式，得：x2﹣1＝x+1，
解得：x＝﹣1或x＝2，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x+1＝0；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）設(shè)P（x，x2﹣1）．
如答圖2所示，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于點(diǎn)F，則F（x，x+1）．

∴PF＝y(tǒng)F﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）＝PF（xB﹣xA）＝PF
∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
當(dāng)x＝時(shí)，yP＝x2﹣1＝﹣．
∴△ABP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，﹣）．

（3）設(shè)直線AB：y＝kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，
則E（﹣，0），F(xiàn)（0，1），OE＝，OF＝1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．
令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．
∴C（﹣k，0），OC＝k．
Ⅰ、假設(shè)存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°，如答圖3所示，
則以O(shè)C為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)Q，根據(jù)圓周角定理，此時(shí)∠OQC＝90°．

設(shè)點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．
∴EN＝OE﹣ON＝﹣．
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k＝±，
∵k＞0，
∴k＝．
∴存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°，此時(shí)k＝．
Ⅱ、若直線AB過點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)直線與圓的交點(diǎn)只有另一點(diǎn)Q點(diǎn)，故亦存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°，
將C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°，此時(shí)k＝1．
綜上所述，k＝或1時(shí)，存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）略．
（2）過點(diǎn)P作x軸垂線，叫直線AB于F，
設(shè)P（t，t2﹣1），則F（t，t+1）
∴S△ABP＝（FY﹣PY）（BX﹣AX），
∴S△ABP＝（t+1﹣t2+1）（2+1），
∴S△ABP＝﹣t2+t+3，
當(dāng)t＝時(shí)，S△ABP有最大值，
∴S△ABP＝．

（3）∵y＝x2+（k﹣1）x﹣k，
∴y＝（x+k）（x﹣1），
當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣k，x2＝1，
∴C（﹣k，0），D（1，0），
當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C重合時(shí)，將C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°，此時(shí)k＝1．
當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C不重合時(shí)，
∵點(diǎn)Q在y＝kx+1上，設(shè)Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC＝90°，
∴CQ⊥OQ，
∴KCQ×KOQ＝﹣1，
∴
∴（k2+1）t2+3kt+1＝0有唯一解，
∴△＝（3k）2﹣4（k2+1）＝0，
∴k1＝，k2＝﹣（k＞0故舍去），
∴k＝．
綜上所述，k＝或1時(shí)，存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、相似等重要知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問中，注意圖形面積的計(jì)算方法；第（3）問中，解題關(guān)鍵是理解“存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠OQC＝90°”的含義．


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