第7章 銳角三角函數(shù) 蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊單元測試卷(含答案)

這是一份第7章 銳角三角函數(shù) 蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊單元測試卷(含答案)，共23頁。
?第7章 銳角三角函數(shù)單元測試卷

一．選擇題（共10小題，滿分30分）
1．用計算器求sin24°37'的值，以下按鍵順序正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
2．如圖，點(diǎn)A在半徑為6的⊙O內(nèi)，OA＝2，P為⊙O上一動點(diǎn)，當(dāng)∠OPA取最大值時，PA的長等于（　　）

A．3 B．2 C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項(xiàng)，正確的是（　　）
A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，則sinA＝（　?。?br /> A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB＝（　　）
A． B． C． D．
6．若銳角α滿足tanα＝，則角α＝（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如圖，小羽利用儀器測量一電線桿AB的拉線AC的長度，測得拉線AC與水平地面BC的夾角為70°，并測得C點(diǎn)到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長度為（　　）

A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
8．如圖，某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生測量教學(xué)樓AB的高度，已知測量人員與教學(xué)樓的水平距離BC為18m，在C處觀測樓頂A的仰角為a，測量人員的眼睛與地面的距離CD為1.5m．則教學(xué)樓的高度是（　?。?br />
A．18?tanαm B．（18?tanα+1.5）m
C．18?sinαm D．（18?cosα+1.5）m
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點(diǎn)且AE＝4EB，EF⊥AC于F，連結(jié)FB，則tan∠CFB＝（　?。?br />
A． B． C． D．
10．如圖，小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動中要測量河的寬度，他和同學(xué)在河對岸選定一點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)P和點(diǎn)B，使BP⊥AP．利用工具測得PB＝50米，∠PBA＝α，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可計算得到小河寬度PA為（　?。?br />
A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
二．填空題（共10小題，滿分30分）
11．一山坡的的坡比為3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么這人垂直高度上升了 　 　米．
12．若cosθ＝，則銳角θ的度數(shù)是 　 ?。?br /> 13．如圖是北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔，此設(shè)計體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念，它的主體形狀呈正六邊形，若點(diǎn)A，B，C是正六邊形的三個頂點(diǎn)，則cos∠ABC＝　 　．

14．請從下列兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一個計分．
A．用4個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相鄰的內(nèi)個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1．用n個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則n的值為　 　．
B．用科學(xué)計算器計： +3tan56°≈　 ?。ńY(jié)果精確到0.01）．

15．若α是銳角，且sinα＝1﹣3m，則m的取值范圍是　 ??；將cos21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的順序排列是　 ?。?br /> 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，則tanB＝　 ?。?br /> 17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，則cosA的值為 　 ?。?br /> 18．如圖，廣州塔與木棉樹間的水平距離BD為600m，從塔尖A點(diǎn)測得樹頂C點(diǎn)的俯角α為44°，測得樹底D點(diǎn)俯角β為45°，則木棉樹的高度CD是 　 ?。ň_到個位，參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）

19．如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為R海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°方向上，且A，P之間的距離為36海里，若輪船自A處開始調(diào)整為沿南偏東60°的方向航行，恰好能安全通過這一海域，則R＝　 ?。?br />
20．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，那么BE：AE的值是 　 　．

三．解答題（共6小題，滿分90分）
21．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的長和tan∠B的值．

22．（1）如圖甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；

（2）如圖乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．

23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線EF交AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)CF＝2，∠E＝30°時，求圖中陰影部分的面積．

24．某商場準(zhǔn)備改善原有自動樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的37°減至30°（如圖所示），已知原樓梯AB的長為7.5米，調(diào)整后的樓梯會多占一段地面BD，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，試比較cosA與sinB大小，說明理由．
26．如圖一艘輪船以50海里/小時速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處，此時剝得燈塔在北偏東30°方向上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？


參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分）
1．用計算器求sin24°37'的值，以下按鍵順序正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
解：先輸入正弦函數(shù)，再輸入度數(shù)，按＝號即可，
故選：A．
2．如圖，點(diǎn)A在半徑為6的⊙O內(nèi)，OA＝2，P為⊙O上一動點(diǎn)，當(dāng)∠OPA取最大值時，PA的長等于（　?。?br />
A．3 B．2 C． D．2
解：方法1：作OH⊥PA于H，如圖，
∵sin∠OPA＝，
∵OP＝6，
∴當(dāng)OH最大時，即OH＝OA＝2時，∠OPA最大，
此時PA＝＝＝2，
方法2：如圖，

點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓（圖中小圓O），
當(dāng)PA與小圓O相切時，∠OPA最大，
此時PA＝＝＝2，
故選：B．

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四個選項(xiàng)，正確的是（　?。?br /> A．tanB＝ B．cotB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
解：如圖，根據(jù)勾股定理得：BC＝＝＝3，
tanB＝＝，
cotB＝＝，
sinB＝＝，
cosB＝＝，
故選：C．

4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，則sinA＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，cosA＝，
∴設(shè)AB＝12k，AC＝13k，
∴BC＝＝＝5k，
∴sinA＝＝＝，
故選：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，則tanB＝（　?。?br /> A． B． C． D．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，
∴＝，
設(shè)AC＝4a，AB＝5a，
∴BC＝＝＝3a，
∴tanB＝＝＝，
故選：B．
6．若銳角α滿足tanα＝，則角α＝（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．90°
解：若銳角α滿足tanα＝，則角α＝60°，
故選：C．
7．如圖，小羽利用儀器測量一電線桿AB的拉線AC的長度，測得拉線AC與水平地面BC的夾角為70°，并測得C點(diǎn)到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長度為（　　）

A．米 B．米 C．5sin70°米 D．5cos70°米
解：在Rt△ABC中，cosC＝，
則AC＝＝（米），
故選：B．
8．如圖，某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生測量教學(xué)樓AB的高度，已知測量人員與教學(xué)樓的水平距離BC為18m，在C處觀測樓頂A的仰角為a，測量人員的眼睛與地面的距離CD為1.5m．則教學(xué)樓的高度是（　?。?br />
A．18?tanαm B．（18?tanα+1.5）m
C．18?sinαm D．（18?cosα+1.5）m
解：如圖，過D作DE⊥AB，

∵在D處測得教學(xué)樓的頂部A的仰角為α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE?tanα＝18?tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18?tanα+1.5）m，
則教學(xué)樓的高度是（18?tanα+1.5）m，
故選：B．
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E為AB上一點(diǎn)且AE＝4EB，EF⊥AC于F，連結(jié)FB，則tan∠CFB＝（　　）

A． B． C． D．
解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
設(shè)AB＝2x，則CB＝x，
∴AC＝，
∴CF＝AC＝，
∴tan∠CFB＝＝．
故選：D．
10．如圖，小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動中要測量河的寬度，他和同學(xué)在河對岸選定一點(diǎn)A，再在河的這一邊選定點(diǎn)P和點(diǎn)B，使BP⊥AP．利用工具測得PB＝50米，∠PBA＝α，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可計算得到小河寬度PA為（　　）

A．50sinα米 B．50cosα米 C．50tanα米 D．米
解：∵BP⊥AP，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝50米，∠PBA＝α，
∴AP＝PB?tanα＝50tanα（米），
∴小河寬度PA為50tanα米，
故選：C．
二．填空題（共10小題，滿分30分）
11．一山坡的的坡比為3：4，一人沿山坡向上走了25米，那么這人垂直高度上升了 　15　米．
解：如圖：AB＝25米，tanB＝3：4，
設(shè)AC＝3x，BC＝4x，
由勾股定理得：AB＝5x＝25，
解得：x＝5，
則AC＝3x＝15（米）．
故答案為：15．

12．若cosθ＝，則銳角θ的度數(shù)是 　60°?。?br /> 解：∵cosθ＝，
∴θ＝60°．
故答案為：60°．
13．如圖是北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔，此設(shè)計體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念，它的主體形狀呈正六邊形，若點(diǎn)A，B，C是正六邊形的三個頂點(diǎn)，則cos∠ABC＝　?。?br />
解：連接AB、AC、BC．
∵主體形狀呈正六邊形，
∴△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC＝60°．
∴cos∠ABC＝cos60°＝．
故答案為：．

14．請從下列兩個小題中任選一個作答，若多選，則按第一個計分．
A．用4個全等的正八邊形進(jìn)行拼接，使相鄰的內(nèi)個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1．用n個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則n的值為　6　．
B．用科學(xué)計算器計： +3tan56°≈　6.18?。ńY(jié)果精確到0.01）．

解：A、由題意可知：正六邊形的外角的2倍等于圍成一圈后中間形成一個正多邊形的內(nèi)角，
由于正六邊形的每一個外角為60°，
∴圍成一圈后中間形成一個正多邊形的每一個內(nèi)角為120°，
∴該正多邊形的邊數(shù)為6；
B、原式≈1.732+3×1.482 6≈6.18；
故答案為：A、6；B、6.18
15．若α是銳角，且sinα＝1﹣3m，則m的取值范圍是　0＜m＜?。粚os21°，cos37°，sin41°，cos46°的值，按由小到大的順序排列是　sin41°、cos46°、cos37°、cos21°　．
解：α是銳角，且sinα＝1﹣3m，
則有0＜1﹣3m＜1，
解得0＜m＜；
∵sin41°＝cos49°，
根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小，
故有sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
∴按由小到大的順序排列是sin41°、cos46°、cos37°、cos21°．
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，則tanB＝　?。?br /> 解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴sinB＝cosA＝，
∴cosB＝＝＝，
∴tanB＝＝＝．
故答案為：．
17．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，則cosA的值為 　?。?br /> 解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝＝＝2，
∴cosA＝＝，
故答案為：．
18．如圖，廣州塔與木棉樹間的水平距離BD為600m，從塔尖A點(diǎn)測得樹頂C點(diǎn)的俯角α為44°，測得樹底D點(diǎn)俯角β為45°，則木棉樹的高度CD是 　24米?。ň_到個位，參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）

解：如圖：延長DC，交過點(diǎn)A的水平線于點(diǎn)E，

則BD＝AE＝600米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，
∴DE＝AE?tan45°＝600×1＝600（米），
在Rt△AEC中，∠EAC＝44°，
∴EC＝AE?tan44°≈600×0.96＝576（米），
∴CD＝DE﹣CE＝600﹣576＝24（米），
∴木棉樹的高度CD是24米，
故答案為：24米．
19．如圖，海中有一小島P，在以P為圓心，半徑為R海里的圓形海域內(nèi)有暗礁，一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°方向上，且A，P之間的距離為36海里，若輪船自A處開始調(diào)整為沿南偏東60°的方向航行，恰好能安全通過這一海域，則R＝　54海里　．

解：如圖，由題意得，∠PAN＝60°，∠SAQ＝60°，AP＝36海里，
在Rt△APM中，∠PAM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，AP＝36海里，
∴PM＝AP＝54（海里），
即R＝54海里，
故答案為：54海里．

20．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，cosC＝．BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，那么BE：AE的值是 　7?。?br />
解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)E、交BC于F，
在Rt△AHC中，cosC＝，AC＝2，
則＝，
解得：CH＝，
由勾股定理得：AH＝＝，
在Rt△ABH中，∠B＝45°，
則BH＝AH＝，
∴BC＝BH+CH＝，
∵EF是BC的垂直平分線，
∴BF＝，
∴FH＝BH﹣BF＝，
∵EF⊥BC，AH⊥BC，
∴EF∥AH，
∴＝＝7，
故答案為：7．

三．解答題（共6小題，滿分90分）
21．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的長和tan∠B的值．

解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
22．（1）如圖甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；

（2）如圖乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．

解：（1）如圖甲，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D．
在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2；

（2）如圖乙，過C點(diǎn)作CD⊥AB于點(diǎn)D，在BD上取點(diǎn)E，使CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，
∴AD＝CD＝AC＝，
在Rt△CDE中，∠CED＝30°，
∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，
∴BE＝CE＝，
∴．

23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線EF交AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)CF＝2，∠E＝30°時，求圖中陰影部分的面積．

（1）證明：連接AD，OD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODA+∠ODB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BAD＝∠BDE，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥AB，垂足為M，

∵∠ODE＝90°，∠E＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣∠E＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，OD＝BD＝OB，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位線，
∴OD∥AC，
∴∠AFE＝∠ODE＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∴BD＝CD＝4，
∴OD＝BD＝OB＝4，
∴DM＝OD?sin60°＝4×＝2，
∴陰影部分的面積＝扇形DOB的面積﹣△ODB的面積
＝﹣OB?DM
＝π﹣×4×2
＝π﹣4，
∴陰影部分的面積為π﹣4．
24．某商場準(zhǔn)備改善原有自動樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的37°減至30°（如圖所示），已知原樓梯AB的長為7.5米，調(diào)整后的樓梯會多占一段地面BD，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

解：在Rt△ABC中，AB＝7.5米，∠ABC＝37°，
則AC＝AB?sin∠ABC≈7.5×0.60＝4.5（米），
BC＝AB?cos∠ABC≈7.5×0.80＝6（米），
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
則CD＝＝4.5×≈4.5×1.73≈7.79（米），
∴BD＝CD﹣BC＝7.79﹣6≈1.8（米），
答：BD的長約為1.8米．
25．在△ABC中，
（1）若∠的值；
（2）若∠A＝35°，∠B＝65°，試比較cosA與sinB大小，說明理由．
解：（1）∵在直角△ABC中，∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝；
（2）∵cosA＝cos35°＝sin55°＜sin65°，
∴cosA＜sinB．
26．如圖一艘輪船以50海里/小時速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時到達(dá)B處，此時剝得燈塔在北偏東30°方向上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁，問輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

解：（1）作PH⊥AB于H．
則AC∥PH∥BD，
∴∠APH＝∠CAP＝60°，∠BPH＝∠DBP＝30°，
∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝30°；
（2）∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50海里，
在Rt△PBH中，∠PBH＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴PH＝PB?sin60°＝50×＝25（海里），
∵25＞25，
∴輪船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．