2021-2022學(xué)年吉林省長春市南關(guān)區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

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2021-2022學(xué)年吉林省長春市南關(guān)區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷     用公式法解一元二次方程時，首先要確定a、b、c的值，下列敘述正確的是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，    下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D.     下列各組中的四條線段成比例的是(    )A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，    不透明的袋子里共裝有4個黑球和6個白球，這些球除了顏色不同外，其余都完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出一個球，摸到黑球的概率是(    )A.  B.  C.  D.     已知中，，，，則(    )A.
B.
C.
D.     如圖，在外取一點O，連接AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，得到，則下列說法：①與是位似圖形；②與是相似圖形；③與的周長比為2：1；④與的面積比為2：1，以上說法正確的個數(shù)是(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4    《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”譯文：“一個矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長少12步，問長與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長為x步，則可列方程為(    )A.  B.
C.  D.     如圖，點A、B的坐標(biāo)分別是為，，若將線段AB平移至的位置，與坐標(biāo)分別是和，則線段AB在平移過程中掃過的圖形面積為(    )A. 18
B. 20
C. 28
D. 36    如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么x的值為______.如果關(guān)于x的方程是一元二次方程，那么m的值為______.綜合實踐小組的同學(xué)們在相同條件下做了測定某種黃豆種子發(fā)芽率的實驗，結(jié)果如表所示：黃豆種子數(shù)單位：粒800100012001400160018002000發(fā)芽種子數(shù)單位：粒76294811421331151817101902種子發(fā)芽的頻率結(jié)果保留至小數(shù)點后三位那么這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為______ 精確到如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，則的值為__________.
 如圖，路燈距離地面8米，身高米的小明站在距離燈的底部點米的A處，則小明的影子AM長為______米．
 如圖，在等邊三角形ABC中，，點D是邊AB上一點，且，點P是邊BC上一動點、P兩點均不與端點重合，作，PE交邊AC于點若，當(dāng)滿足條件的點P有且只有一個時，則a的值為______.
 用配方法解方程：在一個邊長為的正方形內(nèi)部挖去一個邊長為的正方形如圖所示，求剩余部分的面積．
今年夏天，某市出現(xiàn)大暴雨，部分街區(qū)積水嚴(yán)重，小明和小亮所在的社區(qū)為了做好排澇工作，特招募社區(qū)抗?jié)持驹腹ぷ髡撸∶骱托×翛Q定報名參加，根據(jù)規(guī)定，志愿者會被隨機(jī)分到淤泥清理，垃圾搬運，街道沖洗，消毒滅殺其中一組．
志愿者小明被分配到D組服務(wù)是______.
A.不可能事件
B.隨機(jī)事件
C.必然事件
D.確定事件
請用列表或畫樹狀圖的方法，求出志愿者小明和小亮被分配到同一組服務(wù)的概率．已知關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根．
求k的取值范圍；
若k為正整數(shù)，求此時方程的解．桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具.圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了桑梯，已知如圖2所示，，米，米，，求點D到BC所在直線的距離.
參考數(shù)據(jù)：，，
 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為、
以點O為位似中心，在點O的異側(cè)將放大為原來的2倍，得到，請畫出
按照的變換后，______.
設(shè)點為內(nèi)部一點，按照的變換后，點P在內(nèi)部的對應(yīng)點的坐標(biāo)為______.
某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米如圖所示，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，苗圃園的面積為y平方米．
當(dāng)時，求x的值．
的值能否為120？若能，求出此時x的值；若不能，說明理由．
如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BC上，點F在對角線AC上，，
求證：∽
若，，，求AF的長．
【閱讀材料】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)其中a、b、m、n均為整數(shù)，則有，這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
【問題解決】
若，當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時，則______，______均用含m、n的式子表示
若，且x、m、n均為正整數(shù)，分別求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
化簡______.如圖①，在中，，，動點P從點B出發(fā)，沿折線以每秒5個單位長度的速度向終點A運動，當(dāng)點P不與點B和點A重合時，過點P作于點設(shè)點P的運動時間為t秒．
用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長．
當(dāng)線段PQ將分成的兩部分圖形中存在軸對稱圖形時，求t的值．
設(shè)線段PQ掃過圖形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
如圖②，以PQ為斜邊向上作等腰直角三角形連結(jié)CM，當(dāng)線段CM的垂直平分線平行于的一邊時，直接寫出t的值．

答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】
本題主要考查了用公式法解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的應(yīng)用，注意：項的系數(shù)帶著前面的符號，首先找出a、b、c的值，進(jìn)一步比較得出答案即可．
【解答】
解：，
，，
故選  2.【答案】D 【解析】解：與不能合并，所以A選項不符合題意；
B.原式，所以B選項不符合題意；
C.原式，所以C選項不符合題意；
D.原式，所以D選項符合題意；
故選：
根據(jù)二次根式的加減法對A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對D進(jìn)行判斷．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關(guān)鍵．
 3.【答案】C 【解析】解：，故本選項錯誤；
B.，故本選項錯誤；
C.，故本選項正確；
D.，故本選項錯誤；
故選
根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
 4.【答案】D 【解析】解：共有球個，黑球有4個，
從袋子中隨機(jī)摸出一個球，則摸到黑球的概率是，
故選：
從袋子中隨機(jī)摸出一個球，摸到不是同一個球即認(rèn)為是不同的情況，則有10種情況，而摸到黑球的情況有4種，根據(jù)概率公式即可求解．
考查了概率公式的知識，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率理解：摸到不是同一個球即認(rèn)為是不同的情況，是解決本題的關(guān)鍵．
 5.【答案】B 【解析】解：由中，，，得
，
由，得
，
故選：
根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，可得答案．
本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
 6.【答案】C 【解析】解：根據(jù)位似的定義可得：與是位似圖形，位似比是2：1，則周長的比是2：1，因而面積的比是4：1，故①②③正確，④錯誤．
故選：
根據(jù)位似的定義，以及相似的性質(zhì)：周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，即可作出判斷．
本題主要考查了位似的定義，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性質(zhì)．
 7.【答案】D 【解析】解：設(shè)矩形田地的長為x步，則矩形田地的寬為步，
依題意得：
故選：
設(shè)矩形田地的長為x步，則矩形田地的寬為步，根據(jù)矩形田地的面積等于864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】A 【解析】解：點A、B的坐標(biāo)分別是為，，若將線段AB平移至的位置，與坐標(biāo)分別是和，
可知將線段AB向右平移4個單位，向上平移3個單位得到的位置，
，，
與坐標(biāo)分別是和，
線段AB在平移過程中掃過的圖形面積=四邊形的面積的面積，
故選：
直接利用平移中點的變化規(guī)律求出m，n的值，再根據(jù)線段AB在平移過程中掃過的圖形面積=四邊形的面積的面積求解即可．
本題主要考查坐標(biāo)系中點、線段的平移規(guī)律．在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．
 9.【答案】3 【解析】解：最簡二次根式與是同類二次根式，
，

故答案為：
根據(jù)同類項的定義得出，然后求解即可得出答案．
本題考查同類二次根式的概念，化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．
 10.【答案】 【解析】解：由題意得：，且，
解得：，
故答案為：
利用一元二次方程定義可得，且，再解出m的值即可．
此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．
 11.【答案】 【解析】解：由表知隨著試驗次數(shù)的增加種子發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定再附近，
所以這種黃豆種子發(fā)芽的概率約為，
故答案為：
根據(jù)7批次種子粒數(shù)從800粒增加到2000粒時，種子發(fā)芽的頻率趨近于，所以估計種子發(fā)芽的概率為
此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，過點C作于點D，

則，由勾股定理得：
，

故答案為：
過點C作于點D，則在中，先由勾股定理得出AC的長，再按照正弦函數(shù)的定義計算即可．
本題屬于對解直角三角形基礎(chǔ)知識的考查，明確勾股定理及正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】5 【解析】【分析】
本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．易得：∽，利用相似三角形的相似比可得出小明的影長．
【解答】
解：根據(jù)題意，易得∽，

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，即，
解得則小明的影長為5米．  14.【答案】4 【解析】解：等邊三角形，
，，
，，
，
∽，
又，，，
，
，
，
若令，則有：，
由題意只有一個解，
，
解得，
故答案為：
先利用三角形相似的判定定理證明三角形相似，再根據(jù)相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系，最后把滿足條件的點只有一個，轉(zhuǎn)化成方程的根只有一個，利用根的判別式求解．
本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)的應(yīng)用和一元二次方程只有一個解時，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)．
 15.【答案】解：移項得，
配方得，即，
開方得，
所以， 【解析】利用配方法求解即可．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】解：剩余部分的面積為：


 【解析】此題考查了二次根式的應(yīng)用，因式分解-運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
用大正方形的面積減去小正方形的面積即可求出剩余部分的面積．
 17.【答案】B 【解析】解：志愿者小明被分配到D組服務(wù)是隨機(jī)事件；
故選B；

根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮被分到同一組的結(jié)果有4種，
則小明和小亮被分到同一組的概率是
根據(jù)可能性的大小即可得出答案；
根據(jù)題意先畫樹狀圖列出所有等可能的結(jié)果數(shù)，小明和小亮被分到同一組的結(jié)果數(shù)為4，再根據(jù)概率公式求解可得．
此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 18.【答案】解：有兩個實數(shù)根，
，
，
解得；
由知，
為正整數(shù)，
，
原方程為：，
，
 【解析】由方程有兩個實數(shù)根可得，解不等式即可求出k的取值范圍；
由k為正整數(shù)和可得，從而可得原方程為，解方程即可求出方程的解．
此題考查了根的判別式和一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的根與的關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根是解本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：過A作于E，
，
，
，
，
，
米，
在中，，
米，
米，
米，
過D作于F，
在中，米，
答：點D到BC所在直線的距離為米． 【解析】過A作于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，得到米，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到米，過D作于F，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】   【解析】解：如圖所示，即為所求；

，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案為：；
為內(nèi)部一點，在點O的異側(cè)將放大為原來的2倍，
，
故答案為：
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)畫出點A、B的對應(yīng)點即可；
證明是等腰直角三角形，得，從而得出答案；
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得出答案．
本題是作圖-位似變換，勾股定理的逆定理，位似圖形的性質(zhì)等知識，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)畫出是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，
苗圃園平行于墻的一邊長為米，
，
由題意可知：，

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
當(dāng)時，
，
解得，不合題意，舍去，
的值為：12米；
根據(jù)題意得：，
整理得，，
，
此方程無解，
的值不能為 【解析】由籬笆長30米即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意可求出自變量的取值范圍，根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再由x的取值范圍即可確定x的值；
根據(jù)x的一元二次方程的判別式，即可解決問題．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、矩形的面積以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)籬笆長度找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；利用矩形的面積公式，找出關(guān)于x的一元二次方程．
 22.【答案】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
，
，
∽；
解：四邊形ABCD是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
∽，
，
，
，
 【解析】由及平行四邊形的性質(zhì)得出，再由，即可證明∽；
由∽得出，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算，即可求AF的長．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握并會應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】   【解析】解：，
，且a、b、m、n均為整數(shù)，
，，
故答案為：，2mn；
，
，
，
又、m、n均為正整數(shù)，
或，
即，，或，，；
原式

，
故答案為：
根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后分析求解；
根據(jù)完全平方公式將等式右邊展開，然后列方程求解；
根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行變形化簡．
本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡，理解二次根式的性質(zhì)，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．
 24.【答案】解：如圖1中，當(dāng)時，

在中，，
，
，

如圖2中，當(dāng)時，

，
，
，
綜上所述，；

如圖1中，當(dāng)時，四邊形AQPC是軸對稱圖形，
此時，
解得
如圖2中，當(dāng)時，四邊形BCPQ是軸對稱圖形，
此時，，
解得，
綜上所述，當(dāng)t的值為或時，線段PQ將分成的兩部分圖形中存在軸對稱圖形；

如圖1中，當(dāng)時，，
如圖2中，當(dāng)時，，
綜上所述，；

如圖3中，當(dāng)CM的垂直平分線平行AB時，過點M作于點O，交CB于點N，此時

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
如圖4中，當(dāng)點M落在AC上時，也滿足條件，過點Q作于點

，
，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，
，
解得，
當(dāng)點P在AC上時，不存在滿足條件的t的值，
綜上所述，滿足條件的t的值為或 【解析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)時，如圖2中，當(dāng)時分別解直角三角形求出PQ即可；
分兩種情形：如圖1中，當(dāng)時，四邊形AQPC是軸對稱圖形，如圖2中，當(dāng)時，四邊形BCPQ是軸對稱圖形，分別構(gòu)建方程求解即可；
分兩種情形：如圖1中，當(dāng)時，，如圖2中，當(dāng)時，，分別求解即可；
情形①如圖3中，當(dāng)CM的垂直平分線平行AB時，過點M作于點O，交CB于點N，此時構(gòu)建方程求出t的值即可．情形②如圖4中，當(dāng)點M落在AC上時，也滿足條件，過點Q作于點構(gòu)建方程求解．
本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．