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傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯約公元570年-約公元前500年學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，比如，他們研究過(guò)1、3、6，10…由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點(diǎn)陣表示，他們就將其稱(chēng)為三角形數(shù)，第n個(gè)三角形數(shù)可以用表示．
任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：
任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)；
連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)．
在中，，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
求證：≌；
證明四邊形ADCF是菱形；
若，，求菱形ADCF的面積．
如圖，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線在第一象限與第三象限分別交于P，G兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為
求雙曲線的解析式；
觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式的解集；
若點(diǎn)Q為雙曲線上點(diǎn)P右側(cè)的一點(diǎn)，且軸于點(diǎn)H，當(dāng)以點(diǎn)Q，C，H為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑，點(diǎn)M是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連接OM，
如圖①，若半圓的半徑為6，弧AM的長(zhǎng)為時(shí)，求DM的長(zhǎng)；
如圖②，點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，，當(dāng)CN與半圓O相切時(shí)，求AM的長(zhǎng)；
在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否為定值？若是，直接寫(xiě)出的值，若不是，說(shuō)明理由．
小米利用暑期參加社會(huì)實(shí)踐，在媽媽的幫助下，利用社區(qū)提供的免費(fèi)攤點(diǎn)賣(mài)玩具，已知小米所有玩具的進(jìn)價(jià)均2元/個(gè)，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每天玩具銷(xiāo)售量y件與銷(xiāo)售價(jià)格x元/件的關(guān)系如圖所示，其中AB段為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC段為一次函數(shù)圖象的一部分，設(shè)小米銷(xiāo)售這種玩具的日利潤(rùn)為w元．
根據(jù)圖象，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
求出每天銷(xiāo)售這種玩具的利潤(rùn)元與元/件之間的函數(shù)關(guān)系式，并求每天利潤(rùn)的最大值；
若小米某天將價(jià)格定為超過(guò)4元，那么要使得小米在該天的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于54元，求該天玩具銷(xiāo)售價(jià)格的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由題意得，，
解得，，
故選：
根據(jù)分式有意義的條件列出不等式解不等式即可．
本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
2.【答案】D 【解析】解：
故選：
直接根據(jù)乘法分配律即可求解．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．注意靈活運(yùn)用運(yùn)算定律簡(jiǎn)便計(jì)算．
3.【答案】A 【解析】解：作于C，連結(jié)OA，如圖，
，
，
在中，，
，
即圓心O到AB的距離為
故選：
作于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到，然后在中利用勾股定理計(jì)算OC即可．
本題考查了垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。P(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．
4.【答案】B 【解析】解：不等式，
解得：，
如圖所示：
故選：
求出不等式的解集，表示出數(shù)軸上即可．
此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
5.【答案】A 【解析】【分析】
根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)平行線性質(zhì)得出，代入求出即可．
本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出的度數(shù)，再結(jié)合計(jì)算．
【解答】
解：平分，，
，
，
，
故選： 6.【答案】C 【解析】解：，，
故選：
先求出剩余容量，然后分別除以3和4，就可知道球的體積范圍．
特別注意水沒(méi)滿與滿的狀態(tài)．
7.【答案】D 【解析】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；
故選：
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．
此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．
8.【答案】B 【解析】【分析】
本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．把方程兩邊加上4，然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方式即可．
【解答】
解：，
，
故選： 9.【答案】D 【解析】【分析】
本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義即可求解．
【解答】
解：旋轉(zhuǎn)角是
故選： 10.【答案】D 【解析】解：連接OC，OD，
正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，
，
，，
，
，
，
故選：
連接OC，OD，由正六邊形ABCDEF可求出，進(jìn)而可求出，根據(jù)角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距OM的長(zhǎng)，再由弧長(zhǎng)公式即可求出弧BC的長(zhǎng)．
本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
11.【答案】D 【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，
，
的值無(wú)法求解，
故選：
由，可得出，由可得出∽，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得解．
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】B 【解析】【分析】
本題考查了利用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，同時(shí)還以新定義的形式考查了學(xué)生的閱讀理解能力；注意：①二次項(xiàng)系數(shù)要化為1，②根據(jù)平方根的意義開(kāi)平方時(shí)，是兩個(gè)解，且是互為相反數(shù)，不要丟解．首先根據(jù)新定義求出函數(shù)中的n，再與方程組成方程得出：，用直接開(kāi)平方法解方程即可．
【解答】
解：由函數(shù)得，則，
，
，
，
，，
故選 13.【答案】B 【解析】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
解得
故選：
根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)，求得a、b的值．
本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，即關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)．
14.【答案】D 【解析】【分析】
此題主要考查了勾股定理逆定理以及銳角三角函數(shù)定義，正確得出是直角三角形是解題關(guān)鍵．
根據(jù)題意平移AB使A點(diǎn)與P點(diǎn)重合，進(jìn)而得出，是直角三角形，再利用，進(jìn)而求出答案．
【解答】
解：如圖所示：平移AB到位置，使A點(diǎn)與P點(diǎn)重合，B至位置，連接，
可得，
，，，
，
是直角三角形，
故選 15.【答案】B 【解析】【分析】
此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正確把握二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
直接利用拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)以及拋物線與方程之間的關(guān)系、函數(shù)圖象與各系數(shù)之間關(guān)系分析得出答案．
【解答】解：如圖所示：圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故①錯(cuò)誤；
圖象開(kāi)口向上，，
對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，
，b異號(hào)，
，
圖象與y軸交于x軸下方，
，
，故②正確；
當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；
二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，
故二次函數(shù)向上平移小于2個(gè)單位，則平移后解析式與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故，
解得：，
故④正確．
正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).
故選 16.【答案】D 【解析】解：過(guò)D作于F，
點(diǎn)，，
軸，，，
，
，
點(diǎn)B在雙曲線上，
，
反比例函數(shù)的解析式為：，
過(guò)點(diǎn)C的直線交雙曲線于點(diǎn)D，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入得，，
解得，
，
當(dāng)O與E重合時(shí)，如圖2，，
，
，
，
當(dāng)軸時(shí)，，
，
故選：
過(guò)D作于F，得到DF是梯形的中位線，根據(jù)反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出D的坐標(biāo)，當(dāng)O與E重合時(shí)，如圖2，由，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AC，根據(jù)勾股定理求得CE，當(dāng)軸時(shí)，，于是求得結(jié)果．
本題考查了在平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)，梯形和三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】 【解析】解：原式，
故答案為：
根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和零次冪的性質(zhì)計(jì)算即可．
此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零次冪，關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪：，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：為正整數(shù)
18.【答案】 【解析】解：由作圖痕跡可知，PQ垂直平分FM，
點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
，
，
又，，
，
，
故答案為：
弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，可得到，進(jìn)而得出的度數(shù)．
本題主要考查了作一條線段的垂直平分線以及垂徑定理、圓周角的應(yīng)用．
19.【答案】 【解析】解：經(jīng)過(guò)二次操作后，點(diǎn)H與點(diǎn)E重合，
，即是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，如解圖①所示，在與中，，
，
，
設(shè)，
在和中，
由勾股定理得，，
即，
解得，或舍；
，
連接EH，如解圖如答圖1所示：連接EG、FH，作于N，于
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，
四邊形EFGH是菱形，
由≌，可知，
四邊形EFGH的形狀為正方形，
，
，
，
，
故答案為：，，
，
，
，
故答案為：，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出BE的長(zhǎng)；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形，勾股定理、正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：原式
；
整理，得：，
，
則或，
解得， 【解析】先化簡(jiǎn)二次根式、計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，代入三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減即可；
整理成一般式，再將左邊利用因式分解法因式分解，繼而得到兩個(gè)關(guān)于y的一元一次方程，解之即可．
本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：，3，4，5，6六個(gè)小球，
摸到小球的標(biāo)數(shù)字為一奇偶結(jié)果有1種，
樹(shù)狀圖：
摸到標(biāo)數(shù)為奇數(shù)的球的概率為：；
這個(gè)游對(duì)甲乙兩人是公的． 【解析】直接用率公進(jìn)而得出答案；
畫(huà)樹(shù)狀圖，得出所有等可能的情況，找兩摸到小球的標(biāo)號(hào)數(shù)字為奇或?yàn)閿?shù)情況數(shù)，即可求出求的概．
本題查了游戲公平性，用到的知點(diǎn)為：=所情數(shù)與總情況比，確列出所可能是解題關(guān)鍵．
22.【答案】證明：第n個(gè)三角形數(shù)為個(gè)，
即任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)．
第個(gè)三角形數(shù)為個(gè)，第n個(gè)三角形數(shù)為個(gè)，
，
即連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)． 【解析】第n個(gè)三角形數(shù)再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
分別用n表示出第，n個(gè)三角形數(shù)，進(jìn)一步相加整理得出答案即可．
此題考查完全平方數(shù)，用字母表示出第n個(gè)三角形數(shù)，利用完全平方公式因式分解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
23.【答案】證明：，
，
是AD的中點(diǎn)，
，
在和中，
≌；
證明：由知，≌，則
為BC邊上的中線
，
，
四邊形ADCF是平行四邊形，
，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，
，
四邊形ADCF是菱形；
連接DF，
，，
四邊形ABDF是平行四邊形，
，
四邊形ADCF是菱形，
? 【解析】利用平行線的性質(zhì)及中點(diǎn)的定義，可利用AAS證得結(jié)論；
由可得，結(jié)合條件可求得，則可證明四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可證得，可證得四邊形ADCF為菱形；
連接DF，可證得四邊形ABDF為平行四邊形，則可求得DF的長(zhǎng)，利用菱形的面積公式可求得答案．
本題主要考查菱形的性質(zhì)及判定，利用全等三角形的性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵，注意菱形面積公式的應(yīng)用．
24.【答案】解：把代入中，求得，
①，
由，把代入中，得，即，
把P代入得：，
則雙曲線解析式為②；
聯(lián)立①②并整理得：，解得或，
觀察圖象得，不等式的解集為或；
設(shè)，
在上，
，
當(dāng)∽時(shí)，可得，即，
，即，
整理得：，
解得：或舍去，
；
當(dāng)∽時(shí)，可得，即，
整理得：，
解得：或舍，
綜上，或 【解析】把A坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，確定出直線解析式，把代入直線解析式求出x的值，確定出P坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，即可確定出雙曲線解析式；
觀察函數(shù)圖象即可求解；
設(shè)，代入反比例解析式得到，分兩種情況考慮：當(dāng)∽時(shí)；當(dāng)∽時(shí)，由相似得比例求出a的值，進(jìn)而確定出b的值，即可得出Q坐標(biāo)．
此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定直線解析式，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
25.【答案】解：設(shè)，
的長(zhǎng)為，，
，
解得，，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
；
如圖②，過(guò)點(diǎn)O作于P，則，
是半圓的切線，
，
，
，
是AD的中點(diǎn)，
是OD的中點(diǎn)，
在中，由勾股定理得，，
，，
∽，
，即，
解得，
；
是定值，為，
理由如下：，，
，
當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，如圖①，連接BC，
四邊形ABCM為圓內(nèi)接四邊形，
，
當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，如圖③，連接BC，
由圓周角定理得，，
綜上所述，是定值，為 【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出，得到是等邊三角形，得到，，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)解答；
過(guò)點(diǎn)O作于P，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
分點(diǎn)M在上、點(diǎn)M在上兩種情況，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理解答即可．
本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)公式、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
26.【答案】解段為反比例函數(shù)圖象的一部分，，
當(dāng)時(shí)，，
段為一次函數(shù)圖象的一部分，且、，
設(shè)BC段為一次函數(shù)函數(shù)關(guān)系式為，
有，解得：，
當(dāng)時(shí)，，
與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；
當(dāng)時(shí)，，
隨著x的增大，增大，也增大，
當(dāng)時(shí)，w取得最大值為40，
當(dāng)時(shí)，
，
，，
當(dāng)時(shí)，w取得最大值為72，
綜上所述，每天利潤(rùn)的最大值為72元；
由題意可知：，
令，即，
解得：，，
由函數(shù)表達(dá)式及函數(shù)圖象可知，要使，則，
當(dāng)時(shí)，小米在該天的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于54元． 【解析】此題主要考查了反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
直接利用待定系數(shù)法得出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式即可；
利用當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別得出函數(shù)最值進(jìn)而得出答案；
利用，得出x的值，進(jìn)而得出答案．
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2021——2022初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試卷（含答案解析）
共80份
2024-02-01更新
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