?考向28 外接球、內(nèi)切球、棱切球

經(jīng)典題型一：正方體、長方體模型
經(jīng)典題型二： 正四面體模型
經(jīng)典題型三：對棱相等模型
經(jīng)典題型四：直棱柱模型
經(jīng)典題型五：直棱錐模型
經(jīng)典題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
經(jīng)典題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
經(jīng)典題型八：共斜邊拼接模型
經(jīng)典題型九：垂面模型
經(jīng)典題型十：最值模型
經(jīng)典題型十一：二面角模型
經(jīng)典題型十二：坐標法模型
經(jīng)典題型十三：圓錐圓柱圓臺模型
經(jīng)典題型十四：錐體內(nèi)切球
經(jīng)典題型十五：棱切球

（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的體積為，所以球的半徑,

設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．


方法技巧一：正方體、長方體外接球
1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3．補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示

圖1 圖2 圖3 圖4
方法技巧二：正四面體外接球
如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．

方法技巧三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．

方法技巧四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法技巧五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．

解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
方法技巧六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1．正棱錐外接球半徑： ．

2．側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．

解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
方法技巧七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
方法技巧八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．

方法技巧九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
方法技巧十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
方法技巧十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

方法技巧十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
方法技巧十三：圓錐圓柱圓臺模型
1．球內(nèi)接圓錐
如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．

2．球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．

3．球內(nèi)接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
方法技巧十四：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
方法技巧十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形

經(jīng)典題型一：正方體、長方體模型
1．（2022·貴州黔南·高三開學考試（理））自2015年以來，貴陽市著力建設“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級為“公園中的城市”．截至目前，貴陽市公園數(shù)量累計達到1025個．下圖為貴陽市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長為，則石凳所對應幾何體的外接球的表面積為________．

【答案】
【解析】

設正方體的中心為，為棱的中點，連接，
則為矩形的對角線的交點，
則，
同理，到其余各棱的中點的距離也為，
故石凳所對應幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，
故答案為：
2．（2022·四川省巴中中學模擬預測（文））在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球的體積為______．
【答案】
【解析】因為平面，平面，
故,
又，，，
故 , ,
所以 ,即 ,
故AD,CD,BD兩兩垂直，故以AD,CD,BD為相鄰的棱構(gòu)造一個相鄰三條棱長為2,2,4的長方體，如圖：

則三棱錐的外接球即該長方體的外接球，外接球半徑為 ，
所以三棱錐的外接球的體積為 ，
故答案為：
3．（多選題）（2022·江蘇·高三開學考試） 在棱長為2的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（????）
A． 異面直線與所成角的余弦值為
B．
C． 四面體的外接球體積為
D． 平面截正方體所得的截面是四邊形
【答案】BC
【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，

∴，，
∴，A錯誤；
∴，，，∴，B正確；
由題可知四面體的外接球即為正方體的外接球，
所以外接球半徑滿足，，∴，C正確；
延長交延長線與，連接交于，延長交延長線于，連接交于，

則五邊形為平面截正方體所得的截面，D錯誤.
故選：BC.
經(jīng)典題型二： 正四面體模型
4．（2022·江蘇南京·高三開學考試）已知一個正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.
【答案】
【解析】設外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，

則，所以，
兩球相交形成形成的圖形為圓，
如圖，在中，，，
在中，，
所以交線所在圓的半徑為，
所以交線長度為.
故答案為：
5．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動點、，若線段的最小值為，則（????）
A．正四面體的棱長為6 B．正四面體的內(nèi)切球的表面積為
C．正四面體的外接球的體積為 D．線段的最大值為
【答案】ABD
【解析】設這個四面體的棱長為，則此四面體可看作棱長為的正方體截得的，所以四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球直徑為正方體的對角線長，
設外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，則
，所以，
四面體的高為，則等體積法可得
，
所以，
由題意得，
所以，解得
所以A正確，
所以，所以外接球的體積為，所以C錯誤，
因為內(nèi)切球半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，所以B正確，
線段的最大值為，所以D正確，
故選：ABD
6．（多選題）（2022·山東濟南·模擬預測）在正四面體中，若，則下列說法正確的是（????）
A．該四面體外接球的表面積為
B．直線與平面所成角的正弦值為
C．如果點在上，則的最小值為
D．過線段一個三等分點且與垂直的平面截該四面體所得截面的周長為
【答案】ACD
【解析】

正四面體中，，圖中點為外接球的球心，半徑為，為的外心，
所以，由于，
又因為，所以，解得，
因此外接球的表面積為，故A正確；
由于，且與平面所成的角為，
因此，故B錯誤；
因為于，所以;于，所以;
因此當與點重合時，最小，最小值為，故C正確；
在平面中過點作交于，在平面中過點作交于，連接,
又因為，所以平面，因此平面即為所求，

則的周長為，
同理在平面中過點作交于，在平面中過點作交于，
連接,可得平面，而平面即為所求，
，
則的周長為，故D正確.
故選：ACD.
7．（2022·湖北·高三階段練習）有一個棱長為6的正四面體，其中有一半徑為的球自由運動，正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為
【答案】
【解析】



如圖設正四面體，當球運動到與平面、平面、平面相切時，可得此時球無法繼續(xù)向上運動，
設切點分別為，則此時球面與正四面體頂點之間的部分球無法掃過，同理可得正四面體頂點均有相同的空間未被球掃過，
作與平面平行且與此時球相切的平面，易得棱錐為正四面體，設棱長為，作平面于，
則經(jīng)過球心，易得，則，
則正四面體的體積，表面積，
設球半徑為，則，即，解得，作，易得為中點，則，
設4個頂點處未被球掃過空間的體積為，球的體積為，可得；
當球沿著方向運動且始終與二面角相切時，設球與平面、平面的切點始終為，
過的大圓與交于，由垂徑定理知，又，易得，則即為二面角的平面角，
易得未被球掃過的部分為柱體，且柱體的底面為扇形與四邊形之間的部分，設中點為，連接，
易得，則即為二面角的平面角，又，
由余弦定理得，則，則，
則，，則，設扇形與四邊形之間部分面積為，
扇形面積為，,則，
由上知，又，則柱體的高為，正四面體的六條棱未被球掃過空間均為相同的柱體，
設這部分體積為，則，則正四面體內(nèi)未被球掃過的體積為.
故答案為：.
經(jīng)典題型三：對棱相等模型
8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（????）??

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，
設長方體的長、寬、高分別為，
則，，，
解得，，．
所以三棱錐外接球的半徑．
三棱錐外接球的體積．
故選：C
9．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】三棱錐中，，，，
構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，

設長方體的棱長分別為，，，則，，，則，
因此三棱錐外接球的直徑為，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：A
10．（多選題）（2022·遼寧朝陽·高三階段練習）在三棱錐中，，，則（????）
A．
B．三棱錐的體積為
C．三棱錐外接球半徑為
D．異面直線與所成角的余弦值為
【答案】ABD
【解析】將三棱錐補形為長方體如下：其中，，
所以，，
連接，
因為，，，，
所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又四邊形為正方形，所以，
所以，A對；
長方體的體積，
三棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，
三棱錐的體積，
所以三棱錐的體積，B對，
為長方體的外接球的直徑，，
所以長方體的外接球的半徑為，長方體的外接球也是三棱錐外接球，
所以三棱錐外接球的半徑為；C錯；
連接，交于，
因為，所以為異面直線與所成的角（或其補角），
由已知，，,
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為，D對，
故選：ABD.

11．（2022·河南·商丘市第一高級中學高三開學考試（文））在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，
構(gòu)造長方體使得面對角線分別為5，，，則長方體體對角線長等于三棱錐外接球直徑，如圖所示，

設長方體棱長分別為a，b，c，則，，，
則，即，外接球表面積.
故選：D
經(jīng)典題型四：直棱柱模型
12．（2022·江西省撫州市第一中學高三階段練習（文））設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是___________.
【答案】
【解析】由題意知底面外接圓的圓心為點，設外接圓的半徑為，
三棱柱的外接球的半徑為，
，，由余弦定理得，
由正弦定理得，
所以，過作垂直于底面的直線交中截面于點，則為外接球的球心，
由題意得：，所以外接球的表面積，

故答案為：
13．（2022·全國·高三專題練習）球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.
【答案】
【解析】設三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結(jié)OC，CD，設外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，
而在三角形OCD中，可知，
即，因此三棱柱外接球的表面積為．
故答案為：

經(jīng)典題型五：直棱錐模型
14．（2022·福建省福州屏東中學高三開學考試）如圖所示的三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球的表面積為______.

【答案】
【解析】設中點為, 連接,
因為平面所以,所以.
因為平面所以平面,
所以平面，所以.
所以,
所以.
所以點就是三棱錐外接球的球心.
由題得.
所以三棱錐外接球的半徑為.
所以三棱錐外接球的表面積為.
故答案為：.

15．（2022·湖北·高三開學考試）在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.
【答案】
【解析】正中，為的中點，則，
而平面，平面，則，
而，、平面，則平面，
平面，所以，，
平面，平面，，
所以，的中點到點、、、的距離相等，
即三棱錐外接球球心為中點，
從而，點是三棱錐外接球球心，
設球的半徑為，則，，
因為的外接圓圓心為的中點，設為，連接，
因為、分別為、的中點，則，故平面，如圖，

則有，即到平面的距離為，
因此到平面距離的最大值為，
又，即有，解得，
所以，，所以球的體積為.
故答案為：.
16．（2022·浙江·慈溪中學高三開學考試）《九章算術.商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體成為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則四面體外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知四面體如圖所示，

則面體外接球的半徑為，
所以四面體外接球的表面積為.
故選：D.
17．（2022·浙江·高三開學考試）已知四棱錐外接球表面積為，體積為平面，且，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

以四邊形ABCD的外接圓為底，PA為高，將四棱錐補形為一個已知球的內(nèi)接圓柱.
設內(nèi)接圓柱的底面半徑為r、 R外接球的半徑，,則，
，故，
，
所以
在中運用余弦定理與基本不等式得：
，
在中運用余弦定理與基本不等式得：，
上兩式相加得：，
故有： ，
在中由正弦定理得：，
因此，.
故選：B
18．（2022·湖北·高三開學考試）在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的表面積為(????)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

，且，
∴，
在△PAC中，根據(jù)余弦定理得，
，
∴，
∴，
又，平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
故可將三棱錐B-APC補為直三棱柱，
則直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球，
設△PAC外接圓圓心為，△的外接圓圓心為，則直三棱柱的外接球球心為中點O，OA即為外接球的半徑.
在△PAC中，根據(jù)正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面積為：．
故選：A．
經(jīng)典題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
19．（2022·湖北·高三開學考試）在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且，則平面截該三棱錐的外接球所得截面圓的面積為______.
【答案】
【解析】由題意，平面截該三棱錐的外接球所得截面圓為的外接圓，其圓心為點，作，連接，作圖如下：

因為三條棱兩兩垂直，所以在中，，
同理可得：，則為等邊三角形，即圓心為中心，
則，易知，
則的面積，
故答案為：.
20．（2022·江西·高三階段練習（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等．設，則．
根據(jù)，得，
解得．
設三棱錐外接球的半徑為，則，所以．
故所求外接球的表面積為．
故選：A．
21．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，則此三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為，
此三棱錐可補形為一個棱長為的正方體，
三棱錐的外接球與補成的棱長為的正方體的外接球為同一個球，
設正方體的外接球的半徑為，可得，即，
所以此三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
22．（2022·重慶十八中兩江實驗中學高三階段練習）在三棱錐中，點在底面的射影是的外心，，則該三棱錐外接球的體積為___________.
【答案】
【解析】設的外心為,連接,則球心在
上，連接,

則為外接圓的半徑r,
連接,設外接球的半徑為R,
則,
在中，由正弦定理得

解得,即,
在中，

在,中,即
,解得：,
所以外接球的體積為：，
故答案為：
經(jīng)典題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
23．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意作出圖形：
設球心為，球的半徑．
，，
平面，
三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．
，
，
球的表面積為．
故選：A．

24．（2022?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為　　
A． B． C． D．
【解析】解：如圖所示，由條件為直角三角形，則斜邊的中點為的外接圓的圓心，
連接得平面，，
，，
平面，
三棱錐的體積為．
故選：．

25．（2022?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解析】解：設球心為，球的半徑．
，，平面，
三棱錐的體積可看成是兩個小三棱錐和的體積和．
，
，
球的表面積為．
故選：．

經(jīng)典題型八：共斜邊拼接模型
26．（2022·安徽省定遠縣第三中學高三階段練習）如圖，在平面四邊形中，，現(xiàn)將沿折起，并連接，使得平面平面，若所得三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵平面ACD⊥平面ABC，平面ABC∩平面BCD=AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACD，
又∵AD?平面ACD，∴AD⊥BC，
又∵AD⊥DC，BC∩DC=C，BC?平面BCD，DC?平面BCD，∴AD⊥平面BCD，
又∵BD?平面BCD，∴AD⊥BD，即為直角，
又∵為直角，
∴取的中點，連接OC，OD，
由直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)OA=OB=OC=OD，
可得為三棱錐外接球的球心，

由三棱錐外接球的表面積為，可得外接球的半徑，
∴，
∵BC⊥平面ACD，為直角，
∴三棱錐的體積為
故選：C
27．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【解析】設矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．
∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖2所示．

∴外接球的半徑．故．選C．
28．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
【解析】是公共的斜邊，的中點是球心 ，球半徑為．
經(jīng)典題型九：垂面模型
29．（2022·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的體積為___________，其外接球的表面積為___________.

【答案】????
【解析】如圖，取AC的中點E，連接DE，BE，在BE上取一點O，使得，
由，，所以，所以，
所以，，，.
因為E為AC的中點，所以，又平面平面ABC，
且平面平面，平面ACB，所以平面ACD，
所以，
又平面ACD，所以，所以，
所以O為三棱錐外接球的球心，所以三棱錐外接球的半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：；

30．（多選題）（2022·江蘇·南京市中華中學高三階段練習）四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，平面 PAD⊥平面ABCD，E為PB中點，PA=AB=BC=2CD=2PD=2，則（????）
A．PB⊥AD
B．CE//平面PAD
C．四棱錐P-ABCD的體積為
D．三棱錐PABD的外接球半徑為
【答案】BCD
【解析】如圖
??

取AB中點F，連接DF；作PG⊥AD于點，
因為平面 PAD⊥平面ABCD，平面平面，平面，
所以PG⊥面ABCD，
因為CD=1，AB=2，所以BF=1，
因為AB//CD，AB⊥BC，所以四邊形BCDF為矩形，
所以DF=BC=2，所以AD=；因為PA=2，PD=1，所以∠APD=，所以AP⊥PD，
因為，
所以，，
在底面ABCD中，，
所以，
所以BG=2；
對于A，如果PB⊥AD，又因為PG⊥AD，所以AD⊥面PBG，所以AD⊥BG，而AB=BG=2，AG=，所以△ABG不是直角三角形，所以A錯誤；
對于B，取的中點連接，因為E為PB中點，所以∥，，因為，∥，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以CE//平面PAD，所以B正確，
對于C，底面積為；PG為高，所以，C正確；
對于D，BD=，取的中點，則為的外心，過作于，因為平面 PAD⊥平面ABD，平面平面，平面，所以平面，因為垂直平分，所以為的外心，所以為三棱錐PABD的外接球的球心，即平面ABD在外接球的大圓上，所以△ABD的外接圓半徑即為外接球半徑；，所以，所以，所以D正確.

故選：BCD
31．（2022·全國·高三專題練習）三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為______
【答案】1
【解析】因為，，故是公共的斜邊，的中點是球心 ，球半徑為．

故答案為：1
32．（2022·山西·太原市外國語學校高三開學考試）如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點M在AC上，，過點M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示：

取BD中點為E，連接AE，CE，則，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，
，
易知球心O在平面BCD的投影為的外心，
過作于H，易得，，
則在中，，
所以外接球半徑，連接OM，
因為，
所以H，O，M三點共線，
所以，，
當M為截面圓圓心時截面面積最小，
此時截面圓半徑，
面積為.
故選：A.
33．（2022·全國·高三專題練習）在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四邊形中，
，
，
，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱錐的外接球的直徑為，因為平行四邊形，結(jié)合，

外接球的半徑為1，
故表面積是．

故選：C．
經(jīng)典題型十：最值模型
34．（2022·廣東·高三階段練習）已知四邊形是邊長為3的菱形，把沿折起，使得點D到達點P，則三棱錐體積最大時，其外接球半徑為_______．
【答案】
【解析】取中點G，連接，如圖，

當三棱錐體積最大時，平面平面，此時．
設，則，
所以，設，
則，由，可得，因為時，，
當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以時三棱錐的體積最大，此時，，
所以.
設E，F(xiàn)分別為與的外接圓圓心，圓的半徑為，過點E作平面的垂線，
過點F作平面的垂線，則兩垂線的交點O就是三棱錐的外接球球心，
由正弦定理可知，即，可求得，故四邊形是正方形，，
所以外接球半徑，
所以三棱錐的體積最大時，其外接球半徑.
故答案為：
35．（2022·河南·高三開學考試（理））如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的體積為________．

【答案】【解析】因為在三棱錐中，，
所以當三棱錐的體積最大時，平面與底面垂直，
過點作，連接，，因為，所以點為中點，
又平面平面，平面平面，，所以平面，
因為在梯形中，，，，
所以，，故，
又，所以，
在中，由余弦定理可得,
則，故,
因為，，所以，
又因為平面平面，，，
所以三棱錐的外接球的球心為中點，半徑為，
所以外接球的體積為．
故答案為：.

36．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（文））在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（???????）
A．60π B．45π C．30π D．20π
【答案】A
【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，

取的中點為，連接，則．
設分別為，外接圓的圓心，
為三棱錐的外接球的球心，
則在上，在上，且,
且平面，平面．
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四邊形為平行四邊形
平面，平面
，即四邊形為矩形．


外接球半徑
外接球的表面積為
故選：A．
經(jīng)典題型十一：二面角模型
37．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）在三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．
【答案】
【解析】

根據(jù)題意，，所以，取中點為E，中點，
則，，，是正三角形，，
是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，
，是的外心，
設是的外心，
設過與平面垂直的直線與過垂直于平面的直線交于點，
則是三棱錐外接球球心，
，，又，
由于平面MNO與MEO同時垂直于BD，所以共面，
在四邊形中，
由，，， ，
可得：，
外接球半徑為，
體積為．
故答案為：
38．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預測）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，
過這兩點分別作平面、平面的垂線，交于點O，則O就是外接球的球心；
取中點E，連接，

因為，，
所以，
因為和是正三角形，
所以，
由得，
所以由，即球半徑為，
所以球體積為．
故選：C.
經(jīng)典題型十二：坐標法模型
39．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測）直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，
所以，過點作交延長線于，過點作交于，
再作，使得與交于點，
所以，由二面角為直二面角可得，
設，即，則，
因為，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
此時，，，，
在圖1中，由于，即為角的角平分線，
所以，即，
所以，所以，，
由題知，兩兩垂直，故以為坐標原點，以的方向為正方向建立空間直角坐標系，
則，
所以，設四面體的外接球的球心為，
則，
即，即，
解得，，即，
所以四面體的外接球的半徑為???????，
所以四面體的外接球的表面積為．
故選：D

40．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體中，，，，是棱上靠近的三等分點，分別為的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標原點，的正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則，，，，
設，，，，
平面，，解得：，
與重合，
三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
外接球，外接球表面積.
故選：B.
41．（2022·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；
故選：B

經(jīng)典題型十三：圓錐圓柱圓臺模型
42．（2022·江蘇南京·高三階段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點，則三棱錐P-ABE外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題，由圓的性質(zhì)，為直角三角形，，
如圖所示，設外接球半徑為R，底面圓心為Q，外接球球心為O，
由外接球的定義，，易得O在線段PQ上，
又圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，所以底面圓半徑，
∵，則，解得，
∴外接球表面積為.
故選：B．

43．（2022·山東青島·高三開學考試）已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設圓臺的高和母線分別為，球心到圓臺上底面的距離為，
根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式可得，
因此圓臺的高，
當球心在圓臺內(nèi)部時，則，解得，故此時外接球半徑為，
當球心在圓臺外部時，則，，解得不符合要求，舍去，
故球半徑為
故選：B
44．（2022·河南安陽·高三開學考試（理））在正四棱臺中，，則（????）
A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為
【答案】B
【解析】如圖，正四棱臺中，、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．
，，
在直角梯形中，，
棱臺的體積為，
由對稱性外接球球心在直線上，設球半徑為，連接，，，
若在線段上（如圖1），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，
因此在的延長線上（如圖2），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面積為．
故選：B．

　　　　　　圖1　　　　　　　　　　　　　　　　圖2
經(jīng)典題型十四：錐體內(nèi)切球
45．（2022·全國·高三專題練習）六氟化硫是一種無機化合物，化學式為，常溫常壓下為無色無臭無毒不燃的穩(wěn)定氣體，密度約為空氣密度的5倍，是強電負性氣體，廣泛用于超高壓和特高壓電力系統(tǒng)．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)呈正八面體排布（8個面都是正三角形）．若此正八面體的表面積為，則該正八面體的內(nèi)切球的體積為______．

【答案】
【解析】設該正八面體的棱長為a，則，解得a＝4．
故內(nèi)切球圓心O到各頂點的距離為．
故在正三棱錐O－ABC中，，
故．
由正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得的長為內(nèi)切球半徑.
所以該正八面體的內(nèi)切球體積為．
故答案為：.

46．（多選題）（2022·湖南湘潭·高三開學考試）如圖， 已知圓錐頂點為 ， 其軸截面 是邊長為 6 的為正三角形， 為底面的圓心， 為圓 的一條直徑， 球 內(nèi)切于圓錐 （與圓錐底面和側(cè)面均相切）， 點 是球 與圓錐側(cè)面的交線上一動點，則（????）

A．圓錐的表面積是 B．球的體積是
C．四棱錐體積的最大值為 D．的最大值為
【答案】BCD
【解析】依題意，動點Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，

正內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，
，則球O的半徑，顯然，，
，，
對于A，圓錐的表面積是，A錯誤；
對于B，球O的體積是，B正確；
對于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，
則當四邊形AEBF的面積最大時，四棱錐的體積最大，
，當且僅當，即時取“=”，
則四棱錐體積的最大值為，C正確；
對于D，因，則有，即，因此，
由均值不等式得：，即，當且僅當時取“=”，D正確.
故選：BCD
47．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高三階段練習（文））在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且，則四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（????）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】設四棱錐的外接球與內(nèi)切球的半徑分別為.
因為，
四棱錐的表面積，
所以，
因為兩兩垂直，四棱錐可補形為長方體，所以，
所以四棱錐的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為.
故選：B.
48．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，

在三棱錐中，，，
三棱錐是正四面體，是的中心，平面，
三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，
，解得球的半徑，
設，則，，
，
，，，
解得，，
此三棱錐的體積為.
故選：D.
49．（2022·全國·高三專題練習）在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設點是點在底面上的射影，則平面，平面，

所以，由三棱錐為正三棱錐可得，點為底面的中心，
所以，又，
所以平面，平面，
所以，
因為，分別是，的中點，
所以，因為，
所以，又，
所以平面，又，平面，
所以，，又三棱錐是正三棱錐，
所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直，因為，
所以，
所以，
所以該三棱錐的表面積，
設內(nèi)切球的半徑為，又該三棱錐的體積，
所以，
所以此內(nèi)切球的表面積為.
故選：D.
50．（2022·全國·高三專題練習）若正三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球，記該三棱柱的內(nèi)切球和外接球的半徑分別為、，則（????）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】由于三棱柱的外接球和內(nèi)切球的球心相同，如圖，，，
因為為正三角形，為的中心，
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故選：A

經(jīng)典題型十五：棱切球
51．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱柱的各棱長均為，以A為球心的球與棱相切，則球A于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為___________.
【答案】
【解析】如圖，
正三棱柱的各棱長均為，
以A為球心與棱相切的球的半徑為，
則以平面為截面的上半球的體積為.
又，
球A位于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為.
故答案為：.

52．（2022·全國·高三專題練習）已知正三棱錐，球O與三棱錐的所有棱相切，則球O的表面積為_________．
【答案】
【解析】取等邊△ABC的中心E，連接SE，則SE⊥平面ABC，
連接AE并延長，交BC于點D，則D為BC中點，且AD⊥BC，
在SE上找到棱切球的球心O，連接OD，則OD即為棱切球的半徑，
過點O作OF⊥SA于點F，則OF也是棱切球的半徑，設，
因為，所以求得，
由勾股定理得：，且∠ASE=30°，設OE=h，
，SO=3-h，，
由題意得：，解得：或，
當時，，此時球O的表面積為；
當棱切球的半徑最大時，切點為A，B，C，由于∠ASE=30°，，
可求得最大半徑，
而當時，，
顯然不成立，故舍去，
綜上：球O的表面積為

故答案為：
53．（2022·全國·高三專題練習）正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（????）
A．2π B．8π C． D．12π
【答案】B
【解析】將正四面體補成一個正方體球與正四面體的棱都相切．
則球與正方體的內(nèi)切球，設正方體邊長為，

故選：B.

54．（2022·江西南昌·高三階段練習）已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設正三棱柱的底面邊長為，高為，上底面中心為，下底面中心為，
連接，則球的球心在的中點上，設球切棱于，切棱于，
則、分別為所在棱的中點，

由題意，①
因為，，
又，所以，
所以，解得，②
聯(lián)立①②可得，
所以球的半徑為，
所以球O的表面積為，
故選：C.



1．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的體積為，所以球的半徑,

設正四棱錐的底面邊長為，高為，
則，,
所以，
所以正四棱錐的體積，
所以，
當時，，當時，，
所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，
又時，，時，,
所以正四棱錐的體積的最小值為，
所以該正四棱錐體積的取值范圍是.
故選：C.
2．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．
故選：A．

3．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，
設四邊形ABCD對角線夾角為，
則
（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）
即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為
又
則
當且僅當即時等號成立，
故選：C
4．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點，
設圓錐和圓錐的高之比為，即，

設球的半徑為，則，可得，所以，，
所以，，，
，則，所以，，
又因為，所以，，
所以，，，
因此，這兩個圓錐的體積之和為.
故選：B.
5．（2021·全國·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺的體積.
故選：D.
6．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（????）
A．26% B．34% C．42% D．50%
【答案】C
【解析】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：
.
故選：C.
7．（2021·全國·高考真題（理））已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
】，為等腰直角三角形，，
則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，
設到平面的距離為，
則，
所以.
故選：A.
8．（2020·天津·高考真題）若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，
即，
所以，這個球的表面積為.
故選：C.
9．（2020·全國·高考真題（理））已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設圓半徑為，球的半徑為，依題意，
得，為等邊三角形，
由正弦定理可得，
，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，
，
球的表面積.
故選：A

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