1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE＝AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB＝∠EAB，連接AG.(1)如圖①，當(dāng)EF與AB相交時，若∠EAB＝60°，求證：EG＝AG＋BG；
1．在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE＝AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB＝∠EAB，連接AG.(2)如圖②，當(dāng)EF與CD相交時，若∠EAB＝90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
2．【2022寧德質(zhì)檢12分】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝kAB.點D是邊AC上一個動點(不與點A，C重合)，以BD為對角線作菱形BEDF，且∠BED＝∠BAC，DF交邊BC于點H.(1)求證：∠ABE＝∠CBD；
2．【2022寧德質(zhì)檢12分】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝kAB.點D是邊AC上一個動點(不與點A，C重合)，以BD為對角線作菱形BEDF，且∠BED＝∠BAC，DF交邊BC于點H.(2)求證：在點D的運動過程中，線段BH，BE，BC之間總滿足數(shù)量關(guān)系BH·BC＝k2BE2；
2．【2022寧德質(zhì)檢12分】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝kAB.點D是邊AC上一個動點(不與點A，C重合)，以BD為對角線作菱形BEDF，且∠BED＝∠BAC，DF交邊BC于點H.(3)連接EC，探索在點D的運動過程中，△EBC面積的變化規(guī)律．
3．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點．(1)求證：△ABE≌△CDF；
3．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點．(2)延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG，延長CF，交AD于點P.①當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由；
解：當(dāng)AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形．理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA.∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°.同理∠OFC＝90°，∴EG∥CF.∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，即EF∥CG，∴四邊形EGCF是平行四邊形．∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．
3．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點．(2)延長AE至點G，使EG＝AE，連接CG，延長CF，交AD于點P.②若AP＝2DP＝8，CP＝ ，CD＝5，求四邊形EGCF的面積．
4．【2022杭州】在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上(不與點A重合)，點F在邊BC上，且AE＝2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.(1)如圖①，若AB＝4，當(dāng)點E與點M重合時，求正方形EFGH的面積；
解：∵點M是邊AB的中點，AB＝4，點E與點M重合，∴AE＝BE＝2，∵AE＝2BF，∴BF＝1，在Rt△EBF中，EF2＝EB2＋BF2＝22＋12＝5，∴正方形EFGH的面積＝EF2＝5.
4．【2022杭州】在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上(不與點A重合)，點F在邊BC上，且AE＝2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.(2)如圖②，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K.①求證：EK＝2EH；
4．【2022杭州】在正方形ABCD中，點M是邊AB的中點，點E在線段AM上(不與點A重合)，點F在邊BC上，且AE＝2BF，連接EF，以EF為邊在正方形ABCD內(nèi)作正方形EFGH.(2)如圖②，已知直線HG分別與邊AD，BC交于點I，J，射線EH與射線AD交于點K.②設(shè)∠AEK＝α，△FGJ和四邊形AEHI的面積分別為S1，S2.求證： ＝4sin2α－1.

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