2020-2022年廣東中考數(shù)學(xué)3年真題匯編專題04 幾何圖形的性質(zhì)（3個(gè)考向）（學(xué)生卷+教師卷）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題04 幾何圖形的性質(zhì)
考向1 三角形、四邊形性質(zhì)
1．（2022·廣東）如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1=40°，則∠2等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【詳解】，，
.
故選.
2．（2022·廣東）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)，則（???????）

A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，∴，
∵BC=4，∴DE=2，故選：D．
3．（2022·廣東）如圖，在中，一定正確的是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，AD=BC
故選C．
4．（2022·廣東廣州）如圖，正方形ABCD的面積為3，點(diǎn)E在邊CD上，且CE = 1，∠ABE的平分線交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)M，N分別是BE，BF的中點(diǎn)，則MN的長為（?????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，連接EF，

∵正方形ABCD的面積為3，
∵ ∴ ∴
∴
∵平分
∴ ∴ ∴為等腰直角三角形，

∵分別為的中點(diǎn)，
故選D
5．（2022·廣東深圳）將一副三角板如圖所示放置，斜邊平行，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，，，

，，，故選：C．
6．（2021·廣東深圳）在正方形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，延長至點(diǎn)F，使得，過點(diǎn)F作，分別交、于N、G兩點(diǎn)，連接、、，下列正確的是：①；②；③；④（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【詳解】解：①∵，
∴∠DMF=90°=∠NCF，且對頂角∠MND=∠CNF，
∴∠GFB=∠EDC，
∵ABCD為正方形，E是BC的中點(diǎn)，
∴BC=CD，
∴，①正確；
②由①知，
又，已知，
∴()，∴，∴，
∵，，，
∴()，
∴，故②正確；
③∵，，∴BE=ME，
且∠B=∠GME=90°，GE為和的公共邊，
∴（），∴，
∵，∴，
由三角形外角定理可知：，
∴，∴，∴，
∵，，
∴，故③錯(cuò)誤；
④由上述可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正確．故選B．
7．（2020·廣東廣州）如圖，矩形的對角線，交于點(diǎn)，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則的值為（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
，
，
，
，，，
，，
又，，，
，，，，
同理可證，，，，
，，
故選：C．
8．（2020·廣東深圳）如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規(guī)作圖痕跡可求出BD=（?????）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，
而AB=AC，
由等腰三角形的三線合一知D為BC重點(diǎn)，
BD=3，
故選B
9．（2022·廣東廣州）如圖，在□ABCD中，AD=10，對角線AC 與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD=22，則△BOC的周長為________

【答案】21
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，∴OC+BO=11，
∵BC=10，∴△BOC的周長=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案為：21．
10．（2021·廣東廣州）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．

【答案】2
【詳解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，
∴AD=BD，∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案為：2．
11．（2021·廣東廣州）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為________．

【答案】
【詳解】解：如圖，連接

∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為，
∴，．
∵，
∴．
∴，．
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴．∴．
故答案為：．
12．（2021·廣東深圳）如圖，在中，D，E分別為，上的點(diǎn)，將沿折疊，得到，連接，，，若，，，則的長為__________．

【答案】
【詳解】解：如圖，延長，交于點(diǎn)G，

設(shè)
由折疊，可知，
∵，
∴，
∴，
延長，，交于點(diǎn)M，
∵，∴，，
∴，
∵，，∴，，
∴．
13．（2021·廣東深圳）如圖，已知，是角平分線且，作的垂直平分線交于點(diǎn)F，作，則周長為________．

【答案】
【詳解】解：的垂直平分線交于點(diǎn)F，
（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等）
∴
∵，是角平分線
∴
∵
∴，
∴
14．（2020·廣東）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，，則的度數(shù)為_________．

【答案】45°
【詳解】

∵
∴
∴

故答案為：45°．
15．（2020·廣東廣州）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為9，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．

【答案】(4，3)
【詳解】過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案為：(4，3).

16．（2020·廣東廣州）如圖，正方形中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，分別交對角線于點(diǎn)，若，則的值為_______．

【答案】16
【詳解】解：在正方形中，，
∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：16．
17．（2020·廣東深圳）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=___．

【答案】
【詳解】解：過B點(diǎn)作BE//AD交AC于點(diǎn)E，
BE⊥AD，，∴
，∴
由，

∴，設(shè) 則

故答案為：
18．（2022·廣東）如圖，已知，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E．求證：．

【答案】見解析
【詳解】證明：∵，
∴為的角平分線，
又∵點(diǎn)P在上，，，
∴，，
又∵（公共邊），
∴．
19．（2022·廣東廣州）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求證：△ABD≌△ACE

【答案】證明見解析
【詳解】證明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
20．（2021·廣東）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到交于點(diǎn)G，求的長．

【答案】
【詳解】解：延長交于H連，

∵由沿折疊得到，∴，，
∵E為中點(diǎn)，正方形邊長為1，∴，∴，
∵四邊形是正方形，∴，
在和中，，
∴，∴，
又∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，∴．
21．（2021·廣東）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在線段、上，且．

（1）求證：；
（2）求證：以為直徑的圓與相切；
（3）若，求的面積．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）
【詳解】解：(1)∵，設(shè)，
∴，
∵CD∥AB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
(2)如圖，取中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，

∵CD∥AB，∠ABC=90°，
∴，
又∵，
∴OM∥AB，
∴M為中點(diǎn)，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴以為直徑的圓與相切．
(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，
∴，
又∵
∴為等邊三角形，，
∵CD∥EF，
∴，
由(2)得：，
∴，∴，
∵，在中，三邊之比為，∴，
在中，三邊之比為，∴，
如圖，過點(diǎn)D，點(diǎn)A分別向作垂線交于點(diǎn)M，N，

∵，
∴四邊形為矩形，∴，
同理，四邊形BENA為矩形，∴，

．
22．（2021·廣東廣州）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，，，，證明：．

【答案】見解析
【詳解】證明：∵，∴∠B=∠C，
∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．
23．（2021·廣東廣州）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且
（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．
【詳解】解：（1）如圖，AF平分，

（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴為等邊三角形．
24．（2020·廣東）如圖，在中，點(diǎn)，分別是、邊上的點(diǎn)，，，與相交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形．

【答案】見解析
【詳解】證明：在和中

∴
∴
∴
又∵
∴
即
∴是等腰三角形．
25．（2020·廣東廣州）如圖，中，．
（1）作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作的圖中，連接，，連接，交于點(diǎn)．
①求證：四邊形是菱形；
②取的中點(diǎn)，連接，若，，求點(diǎn)到的距離．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②．
【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；

（2）①證明：
∵，，
又∵，∴；∴，
又∵，
∴四邊形是菱形；

②解：∵四邊形是菱形，∴，，
又∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，
∵，∴為的中位線，∵，∴，∴菱形的邊長為13，
∵，
在中，由勾股定理得：，即：，∴,
設(shè)點(diǎn)到的距離為，利用面積相等得：，解得：，
即到的距離為．

考向2 銳角三角函數(shù)
1．（2021·廣東深圳）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則的長用三角函數(shù)表示為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由題可知，△DCE為直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故選：C
2.（2021·廣東）如圖，在中，．過點(diǎn)D作，垂足為E，則______．

【答案】
【詳解】∵，∴△ADE為直角三角形，
又∵，∴ , 解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,∴ ,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：,
過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F,如圖

在△EBC中：S△EBC= ;
又∵S△EBC ，∴ ,解得,
在Rt△BFC中，,
故填：．
3．（2022·廣東廣州）某數(shù)學(xué)活動小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時(shí)刻，旗桿的AB的影子為BC，與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE， CD = 1.6m，BC =5CD．

(1)求BC的長；
(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，
求旗桿AB的高度．
條件①：CE = 1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角為54.46°．
注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81， cos54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1)；(2)①；②旗桿AB高度約．
【解析】(1)解：．
(2)解：①CE=1.0m時(shí)，連接DE，則有△DEC∽△ACB，

∴，
∴，
②當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)D到AB的垂線段DF，

則四邊形BCDF是矩形，F(xiàn)B=DC=1.6m，F(xiàn)D=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．∴旗桿AB高度約12.8m．
4．（2021·廣東）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長至點(diǎn)E，使．

（1）若，求的周長；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，

∵為垂直平分線，
∴，

∵，∴．
(2)設(shè)，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
考向3 圓及其綜合
1．（2020·廣東廣州）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是（???）

A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定
【答案】B
【詳解】解：∵中，，，∴cosA=
∵，∴AC=4，∴BC=
當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是：相切
故選：B
2．（2022·廣東深圳）如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點(diǎn)，則和面積之比為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖取中點(diǎn)O，連接．

∵是圓O的直徑．
∴．
∵與圓O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故選：B．
3．（2021·廣東）如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)D，，則⊙的直徑為（???????）

A． B． C．1 D．2
【答案】B
【詳解】解：如圖：過D作DE⊥AB，垂足為E
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∵∠ABC的角平分線BD
∴DE=DC=1
在Rt△DEB和Rt△DCB中
DE=DC、BD=BD
∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）
∴BE=BC
在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2，AE=
設(shè)BE=BC=x，AB=AE+BE=x+
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2 則（x+）2=32+x2，解得x=，∴AB=+=2
故填：2．

4．（2021·廣東廣州）一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若，則劣弧AB的長是（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵AC與BC是圓的切線，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°，
∵OB=24cm,
∴=cm．
故選擇B．
5．（2020·廣東廣州）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，
由垂徑定理得：，
∵⊙O的直徑為，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴油的最大深度為，
故選：．

6．（2022·廣東廣州）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長是________（結(jié)果保留）

【答案】
【詳解】解：如圖，連接OD，OE，
∵
∴

∵與邊AB相切于點(diǎn)D，
∴ ∴

的長
故答案為：．
7．（2021·廣東）如圖，等腰直角三角形中，．分別以點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點(diǎn)D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．

【答案】
【詳解】∵等腰直角三角形中，，
∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，
∴S陰影=S△ABC-2S扇形CEF==，
故答案為：
8．（2021·廣東廣州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個(gè)結(jié)論．（1）H是FK的中點(diǎn)；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有________（填寫所有正確結(jié)論的序號）．

【答案】（1）（3）（4）．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴，．
又∵，∴．∴．
∵，∴，∴，∴，∴，
即H是FK的中點(diǎn)；故結(jié)論（1）正確；
（2）過點(diǎn)H作交BC于N，交AD于M，

由（1）得，則．
∵，
∴．
∵四邊形ABCD是正方形，，
∴．
∴四邊形ABNM是矩形．
∴，．
∵，
∴．
即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
解得．
則．
∵，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴與不全等，故結(jié)論（2）錯(cuò)誤；
（3）∵，
∴．
即．解得．
由（2）得，．
∴；故結(jié)論（3）正確；
（4）由（1）得，H是FK的中點(diǎn)，
∴．
由勾股定理得．
∴；故結(jié)論（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．
9．（2020·廣東）如圖，從一塊半徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形，如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________．

【答案】
【詳解】連接OA，OB，
則∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的長為：，
設(shè)圓錐底面圓的半徑為r
，
故答案為．

10．（2022·廣東）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．

(1)試判斷的形狀，并給出證明；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)；
【解析】(1)證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，
∴CD=．
11．（2022·廣東廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=8，BC=6．

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD 的值．
【答案】(1)作圖見解析；(2)點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD 的值是
【解析】(1)解：①分別以A，C為圓心，適當(dāng)長(大于AC長度的一半)為半徑作弧，記兩弧的交點(diǎn)為E；
②作直線OE，記OE與交點(diǎn)為D；
③連結(jié)CD，則線段AC的垂線DE、線段CD為所求圖形，如下圖所示；

(2)解：記OD與AC的交點(diǎn)為F，如下圖所示：

∵OD⊥AC，
∴F為AC中點(diǎn)，
∴OF是△ABC的中位線，
∴OF=BC=3，
∵OF⊥AC，
∴OF的長就是點(diǎn)O到AC的距離；
Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴OD=OA=AB=5，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵F為AC中點(diǎn)，
∴CF=AC=4，???
Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，
∴CD=，
則，
∴點(diǎn)O到AC的距離為3，sin∠ACD 的值是．
12．（2021·廣東深圳）如圖，為的弦，D，C為的三等分點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【詳解】（1）如圖連接，
∵A、D、C、B四點(diǎn)共圓
∴
又
∴
∵D，C為的三等分點(diǎn)
∴
∴
∴
∴，又
∴四邊形為平行四邊形
∴即原題中；

（2）∵四邊形為平行四邊形，
∴
∵D，C為的三等分點(diǎn)，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴，即
∴，∴．
13.（2020·廣東）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．

（1）求證：直線與相切；
（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，.求的值．

【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)
∵，
∴，即
又∵平分，
∴
即OE是的半徑
∴直線與相切；

（2）如圖，連接，延長交延長線于點(diǎn)
由圓周角定理得：，
是的直徑，，
AD、BC都是的切線
由切線長定理得：
∵
∴
在和中，
∴
∴
設(shè)，則

在和中，

，即
解得
在中，
則．

14．（2020·廣東廣州）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動（不與點(diǎn)重合），連接，，．

（1）求證：是的平分線；
（2）四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；
（3）若點(diǎn)分別在線段，上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)運(yùn)動到每一個(gè)確定的位置，的周長有最小值，隨著點(diǎn)的運(yùn)動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)詳見解析；(2)是，；(3)
【詳解】(1)∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，
∴,都為圓，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分線．
(2)是．如圖，延長DA至點(diǎn)E，使得AE=DB．
連接EC，則∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等邊三角形，
∵DC=x，∴根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上的高為
∴．

(3)依次作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對稱點(diǎn)D1、D2,根據(jù)對稱性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共線時(shí)△DMN取最小值t,此時(shí)t=D1D2,
由對稱有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，

在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
則在Rt△D1CH中，根據(jù)30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值時(shí),t取最大值．
即D與O、C共線時(shí)t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值為．

15．（2020·廣東深圳）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)E．

（1）求證：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）．
【詳解】

（1）證明：連接OC
∵CD與⊙O相切于C點(diǎn)
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）連接AC
∵AB為⊙O的直徑
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．

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