?湖北省武漢市部分學校2023屆高三（上）調考（9月份）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2+5x﹣6＜0}，B＝{x|x＞﹣2}，則A∩B＝（　?。?br /> A．（﹣2，+∞） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，6）

2．（5分）計算＝（　?。?br /> A． B． C． D．

3．（5分）記a＝3﹣0.2，b＝0.2﹣0.2，c＝log0.23，則（　?。?br /> A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b

4．（5分）某圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（　　）
A． B． C． D．

5．（5分）函數f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）＝（　　）

A． B．
C． D．

6．（5分）設正項等比數列{an}的前n項和為Sn，若2S3＝3a2+8a1，S8＝2S7+2，則a2＝（　?。?br /> A．4 B．3 C．2 D．1



7．（5分）點聲源在空間中傳播時，衰減量ΔL與傳播距離r（單位：米）的關系式為ΔL＝10lg（單位：dB），取lg5≈0.7，則r從5米變化到40米時，衰減量的增加值約為（　?。?br /> A．12dB B．14dB C．18dB D．21dB
8．（5分）設雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左右焦點為F1，F2，過F2的直線與雙曲線右支交右A，B兩點，設AB中點為P，若|AB|＝|F1P|，且∠F1PA＝45°，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（5分）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當地氣象部門統(tǒng)計進入八月份以來（8月1日至8月10日）連續(xù)10天中每天的最高溫和最低溫，得到如下的折線圖：

根據該圖，關于這10天的氣溫，下列說法中正確的有（　?。?br /> A．最低溫的眾數為29℃
B．最高溫的平均值為37.7℃
C．第4天的溫差最大
D．最高溫的方差大于最低溫的方差
（多選）10．（5分）平面向量＝（cosα，sinα），＝（cos（α+β），sin（α+β）），＝（cos（α+2β），sin（α+2β）），其中0°＜β＜180°，則（　　）
A．|﹣|＝|﹣| B．（+）∥
C．若|+|＝||，則β＝30° D．若++＝，則β＝120°

（多選）11．（5分）圓M：（x﹣k2）2+（y﹣2k）2＝3與圓N：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B兩點，若|AB|＝，則實數k的可能取值有（　?。?br /> A．2 B．1 C．0 D．﹣1

（多選）12．（5分）已知函數f（x）＝ex﹣1+lnx，則過點（a，b）恰能作曲線y＝f（x）的兩條切線的充分條件可以是（　?。?br /> A．b＝2a﹣1＞1 B．b＝2a﹣1＜1
C．2a﹣1＜b＜f（a） D．b＜2a﹣1≤﹣1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（x﹣）（x+y）5展開式中含x3y3項的系數為 　 ?。?br />
14．（5分）已知cos（﹣α）＝，則sin（2α﹣）＝　 　．

15．（5分）過拋物線y2＝8x焦點的直線與拋物線交于M，N兩點，設拋物線的準線與x軸的交點為A，當MA⊥NA時，|MN|＝　 　．

16．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝∠DPA＝60°，且∠APC＝∠BPD，PB＝PD，PA＝，若該四棱錐存在半徑為1的內切球，則PC＝　 ?。?br />

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）記數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列的前n項和Tn．








18．（12分）如圖，在圖1的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，邊AB，AC上的點E，F滿足＝＝，將三角形AEF沿EF翻折至三角形PEF處，得到圖2中的四棱錐P﹣EFCB，且二面角P﹣EF﹣B的大小為60°．
（1）證明：平面PBC⊥平面EFCB；
（2）求直線BE與平面PFC所成角的正弦值．






19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosC+asinC＝b+2c．
（1）求角A；
（2）D為BC邊上一點，DA⊥BA，且BD＝4DC，求cosC．








20．（12分）某商場推出一項抽獎活動，顧客在連續(xù)抽獎時，若第一次中獎則獲得獎金10元，并規(guī)定：若某次抽獎能中獎，則下次中獎的獎金是本次中獎獎金的兩倍；若某次抽獎獎能中獎，則該次不獲得獎金，且下次中獎的獎金被重置為10元．已知每次中獎的概率均為，且每次能否中獎相互獨立．
（1）若某顧客連續(xù)抽獎10次，記獲得的總獎金為ξ元，判斷E（ξ）與25的大小關系，并說明理由；
（2）若某顧客連續(xù)抽獎4次，記獲得的總獎金為X元，求E（X）．









21．（12分）已知橢圓E：＝1（a＞b＞0），過點P（﹣1，﹣1）且與x軸平行的直線與橢圓E恰有一個公共點，過點P且與y軸平行的直線被橢圓E截得的線段長為．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設過點P的動直線與橢圓E交于M，N兩點，T為y軸上的一點，設直線MT和NT的斜率分別為k1和k2，若為定值，求點T的坐標．








22．（12分）已知函數f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．
（1）討論函數f（x）的極值點個數；
（2）當f（x）恰有一個極值點x0時，求實數k的值，使得f（x0）取最大值．

2022-2023學年湖北省武漢市部分學校高三（上）調考數學試卷（9月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2+5x﹣6＜0}，B＝{x|x＞﹣2}，則A∩B＝（　?。?br /> A．（﹣2，+∞） B．（﹣6，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，6）
【分析】求出集合A，結合交集定義即可求解結論．
【解答】解：因為A＝{x|﹣6＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣2}，
所以A∩B＝（﹣2，1）．
故選：C．
【點評】本題考查集合的運算，考查數學運算的核心素養(yǎng)，屬于基礎題．
2．（5分）計算＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，即可求解．
【解答】解：＝＝．
故選：D．
【點評】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題．
3．（5分）記a＝3﹣0.2，b＝0.2﹣0.2，c＝log0.23，則（　?。?br /> A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【分析】根據指數函數與對數函數的單調性得到a，b，c的范圍，利用中間值比較大?。?br /> 【解答】解：0＜a＝3﹣0.2＜30＝1，
b＝0.2﹣0.2＞0.20＝1，
c＝log0.23＜log0.21＝0，
∴c＜a＜b．
故選：A．
【點評】本題考查三個數的大小關系的判斷，考查指數函數與對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
4．（5分）某圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出扇形的弧長，進而求出圓錐的底面半徑，由勾股定理得到圓錐的高，利用圓錐體積公式求解即可．
【解答】解：因為圓錐的側面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，
所以該扇形的弧長為，
設圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π，解得：r＝1，
因為圓錐的母線長為3，所以圓錐的高為h＝＝2，
該圓錐的體積為＝＝．
故選：D．
【點評】本題主要考查圓錐的體積，屬于基礎題．
5．（5分）函數f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，則f（x）＝（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】由圖象確定周期，即可得ω＝2，再由當x＝時，f（x）取最大值，x＝時，f（x）取最小值，可得φ＝，最后代入f（0）＝，可求得A＝2，即可得f（x）的解析式．
【解答】解：因為T＝﹣（﹣）＝，所以T＝π，所以，ω＝2．
由f（0）＝，得Asinφ＝，
又因為當x＝時，f（x）取最大值，x＝時，f（x）取最小值，
所以，所以φ＝，
所以f（x）＝Asin（2x+）．
因為f（0）＝Asin＝A＝，所以A＝2．
所以f（x）＝2sin（2x+）．
故選：B．
【點評】本題主要考查了由函數圖象確定正弦型函數的解析式，屬于中檔題．
6．（5分）設正項等比數列{an}的前n項和為Sn，若2S3＝3a2+8a1，S8＝2S7+2，則a2＝（　?。?br /> A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根據已知條件，結合等比數列的公式，求出公比q，再結合等比數列的前n項和公式，即可求解．
【解答】解：設正項等比數列{an}的公比為q，
∵2S3＝3a2+8a1，
∴2（a1+a2+a3）＝3a2+8a1，即6a1+a2﹣2a3＝0，
∴，
∵a1＞0，
∴6+q﹣2q2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），
∴q＝2，
∵S8＝2S7+2，
∴S7+a8＝2S7+2，
∴a8＝S7+2，
∴，
∵q＝2，
∴128a1＝127a1+2，解得a1＝2，
∴a2＝a1q＝4．
故選：A．
【點評】本題主要考查等比數列的前n項和公式，屬于中檔題．
7．（5分）點聲源在空間中傳播時，衰減量ΔL與傳播距離r（單位：米）的關系式為ΔL＝10lg（單位：dB），取lg5≈0.7，則r從5米變化到40米時，衰減量的增加值約為（　?。?br /> A．12dB B．14dB C．18dB D．21dB
【分析】根據已知條件，分別求出增加前的衰減量，以及增加后的衰減量，再結合對數公式，即可求解．
【解答】解：當r＝5時，△L1＝，
當r＝40時，△L2＝10lg400π，
則衰減量的增加值約為：△L2﹣△L1＝10lg400π﹣10lg＝10lg64＝10lg26＝60lg2＝60（lg10﹣lg5）≈60×（1﹣0.7）＝18．
故選：C．
【點評】本題主要考查函數的實際應用，掌握對數公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．
8．（5分）設雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的左右焦點為F1，F2，過F2的直線與雙曲線右支交右A，B兩點，設AB中點為P，若|AB|＝|F1P|，且∠F1PA＝45°，則該雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】由題意可得AF1⊥AB，在兩個直角三角形中，由勾股定理可得a，c的關系，進而求出雙曲線的離心率．
【解答】解：因為P為AB的中點，所以|AB|＝2|AP|，又因為|AB|＝|F1P|，
所以可得|AP|＝|F1P|，
因為∠F1PA＝45°，則cos∠F1PA＝，在△F1PA中，
由余弦定理可得：cos∠F1PA＝＝，
所以可得|AF1|2＝|F1P|2，即|AF1|＝|F1P|，
所以|AF1|＝|AP|，
所以AF1⊥AB，
設|AF1|＝m，則|AP|＝m＝|BP|，
點A在雙曲線上，所以|AF1|﹣|AF2|＝2a，
所以|AF2|＝|AF1|﹣2a＝m﹣2a，
|F2P|＝|AP|﹣|AF2|＝m﹣（m﹣2a）＝2a，
|BF2|＝m+2a，
所以|BF1|﹣|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a+|BF2|＝2a+m+2a＝m+4a，
在△F1AB中，|AF1|2+|AB|2＝|BF1|2，
即m2+4m2＝（m+4a）2，可得m2﹣2ma﹣4a2＝0，①
在△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，
即：m2+（m﹣2a）2＝4c2，即m2﹣2ma+2a2＝2c2，②，
由①②可得3a2＝c2，
可得離心率e＝，
故選：A．

【點評】本題考查雙曲線的性質的應用及勾股定理的應用，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
（多選）9．（5分）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當地氣象部門統(tǒng)計進入八月份以來（8月1日至8月10日）連續(xù)10天中每天的最高溫和最低溫，得到如下的折線圖：

根據該圖，關于這10天的氣溫，下列說法中正確的有（　　）
A．最低溫的眾數為29℃
B．最高溫的平均值為37.7℃
C．第4天的溫差最大
D．最高溫的方差大于最低溫的方差
【分析】根據題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．
【解答】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，在最低溫度中，29℃出現4次，出現的次數最多，則最低溫的眾數為29℃，A正確；
對于B，最高溫的平均值為（38+37+37+39+38+39+38+37+39+37）＝37.9℃，B錯誤；
對于C，第4天的高溫取得最大值39，低溫取得最小值27，其溫差最大，C正確；
對于D，由折線圖分析可得：最高溫的波動浮動小于最低溫的波動，則最高溫的方差小于最低溫的方差，D錯誤；
故選：AC．
【點評】本題考查頻率分布直方圖，涉及眾數、中位數和平均數的計算，屬于基礎題．
（多選）10．（5分）平面向量＝（cosα，sinα），＝（cos（α+β），sin（α+β）），＝（cos（α+2β），sin（α+2β）），其中0°＜β＜180°，則（　　）
A．|﹣|＝|﹣| B．（+）∥
C．若|+|＝||，則β＝30° D．若++＝，則β＝120°
【分析】根據向量的形式，可考慮數形結合分析，利用單位圓分別表示再逐個選項判斷即可．
【解答】解：如圖所示，因為，故在單位圓中分別作出．

對A，，因為∠AOB＝∠BOC＝β，則|AB|＝|BC|，即，故A正確；
對B，因為∠AOB＝∠BOC＝β，故OB為OA，OC的角平分線，且OA＝OC＝1，根據向量的加法法則可得，
故B正確；
對C，當β＝60°時，易得△OAB，△BOC均為正三角形，根據向量加法的平行四邊形法則可得，此時
，故C錯誤；
對D，由B，設，則因為，故，解得λ＝﹣1，
由平行四邊形法則可得此時△ABC為正三角形，β＝120°，故D正確；

故選：ABD．
【點評】本題考查平面向量的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
（多選）11．（5分）圓M：（x﹣k2）2+（y﹣2k）2＝3與圓N：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B兩點，若|AB|＝，則實數k的可能取值有（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】由兩圓方程可求AB的直線方程，再由|AB|＝，可得+（）＝1，可求k的值．
【解答】解：由圓M：（x﹣k2）2+（y﹣2k）2＝3與圓N：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B兩點，
可得直線AB的方程（2﹣2k2）x﹣4ky+k4+4k2﹣3＝0，
點N（1，0）到直線AB的距離為d＝，
又|AB|＝，∴+（＝）2＝1，解得k＝1或k＝﹣1，
故選：BD．
【點評】本題考查求公共弦的直線方程，考查圓的弦長問題，屬基礎題．
（多選）12．（5分）已知函數f（x）＝ex﹣1+lnx，則過點（a，b）恰能作曲線y＝f（x）的兩條切線的充分條件可以是（　?。?br /> A．b＝2a﹣1＞1 B．b＝2a﹣1＜1
C．2a﹣1＜b＜f（a） D．b＜2a﹣1≤﹣1
【分析】設切點為（x0，），則有﹣b＝（+）（x0﹣a），所以將問題轉化為方程（x0﹣a﹣1）﹣lnx0+b+1﹣＝0（x0＞0），恰有兩個解，令g（x）＝ex﹣1（x﹣a﹣1）﹣lnx+b+1﹣，然后利用導數求解其零點即可．
【解答】解：由f（x）＝ex﹣1+lnx，得f′（x）＝ex﹣1+（x＞0），
設切點為（x0，），則切線的斜率為k＝+，
所以有﹣b＝（+）（x0﹣a），
整理得（x0﹣a﹣1）﹣lnx0+b+1﹣＝0（x0＞0），
由題意可知此時方程有且只有兩個解，
令g（x）＝ex﹣1（x﹣a﹣1）﹣lnx+b+1﹣（x＞1），
g（1）＝e1﹣1（1﹣a﹣1）﹣ln1+b+1﹣＝b+1﹣2a，
g′（x）＝ex﹣1（x﹣a）﹣+＝（x﹣a）（ex﹣1﹣）（x＞0），
令F（x）＝ex﹣1﹣（x＞0），則F′（x）＝ex﹣1+＞0（x＞0），
所以F（x）在（0，+∞）上遞增，
因為F（1）＝e1﹣1﹣1＝0，所以0＜x＜1時，F′（x）＜0，當x＞0時，F′（x）＞0，
①當﹣1＜2a﹣1＜1，即0＜a＜1時，
當0＜x＜a時，g′（x）＞0，則g（x）遞增，當a＜x＜1時，g′（x）＜0，則g（x）遞減，當x＞1時，g′（x）＞0，則g（x）遞增，
所以只需g（a）＝0或g（1）＝0，
即b＝ea﹣1+lna＝f（a）或b＝2a﹣1∈（﹣1，1），
②當2a﹣1≤﹣1，即a≤0時，
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，則g（x）遞減，當x＞1時，g′（x）＞0，則g（x）遞增，
所以只需g（1）＜0，即b＜2a﹣1，
③當2a﹣1＞﹣1，即a＞1時，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，則g（x）遞增，當a＜x＜1時，g′（x）＜0，則g（x）遞減，當x＞a時，g′（x）＞0，則g（x）遞增，
當x＝a時，g（a）＝b﹣ea﹣1﹣lna，所以只需g（1）＝0或g（a）＝0，即b＝2a﹣1＞1，由g（a）＝0，得b＝ea﹣1+lna＝f（a），
④當a＝1時，g′（x）＝（x﹣1）（ex﹣1﹣）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以函數至多有一個零點，不合題意；
綜上所述，a≤0時，b＜2a﹣1≤﹣1；0＜a＜1時，b＝ea﹣1+lna＝f（a）或b＝2a﹣1∈（﹣1，1），
a＞1時，b＝2a﹣1＞1或b＝ea﹣1+lna＝f（a），故A正確，B錯誤，C錯誤，D正確．
故選：AD．
【點評】本題考查導數的綜合應用，考查導數的幾何意義，考查利用導數解決函數零點問題，考查轉化思想，屬難題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）（x﹣）（x+y）5展開式中含x3y3項的系數為 　5?。?br /> 【分析】利用二項式定理求出展開式中含x3y3的項，由此即可求解．
【解答】解：多項式的展開式中含x3y3的項為x×﹣＝5x3y3，
所以x3y3項的系數為5，
故答案為：5．
【點評】本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．
14．（5分）已知cos（﹣α）＝，則sin（2α﹣）＝　?。?br /> 【分析】直接利用三角函數的誘導公式和倍角公式的應用求出結果．
【解答】解：由于cos（﹣α）＝，
故，
所以sin（2）＝﹣cos（2）＝＝＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：三角函數的關系式的變換，倍角公式和三角函數的誘導公式的應用，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基礎題．
15．（5分）過拋物線y2＝8x焦點的直線與拋物線交于M，N兩點，設拋物線的準線與x軸的交點為A，當MA⊥NA時，|MN|＝　8?。?br /> 【分析】由題意可得F（2，0），A（﹣2，0），設直線MN的方程為x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），利用直線與拋物線組成方程組可得y1+y2＝﹣8m，y1y2＝﹣16，進而由MA⊥NA，得?＝0，可得﹣16m2+8+4+4﹣16＝0，可求MN的方程，可求|MN|．
【解答】解：由已知可得F（2，0），A（﹣2，0），
設直線MN的方程為x＝my+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得y2﹣8my﹣16＝0，y1+y2＝﹣8m，y1y2＝﹣16，
64x1x2＝（y1y2）2，∴x1x2＝4，x1+x2＝m（y1+y2）+4＝﹣8m2+4，
由MA⊥NA，得?＝0，
∴（﹣2﹣x1，﹣y1）?（﹣2﹣x2，﹣y2）＝0，∴4+x1x2+2（x1+x2）+y1y2＝0，
∴﹣16m2+8+4+4﹣16＝0，解得m＝0，
∴直線MN⊥x軸，故|MN|＝2p＝8．
故答案為：8．
【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系，考查求弦長，屬中檔題．
16．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝∠DPA＝60°，且∠APC＝∠BPD，PB＝PD，PA＝，若該四棱錐存在半徑為1的內切球，則PC＝　3+4?。?br /> 【分析】截取一個正四棱錐P﹣AB′C′D′，結合已知得到∠APC＝∠BPD＝90°，同時可證得BD⊥平面PAC，設PB＝PD＝t＞0，PC＝x＞0，四棱錐P﹣ABCD的體積可轉化為，因為四棱錐P﹣ABCD存在半徑為1的內切球，可得，聯立得到x的關系式，化簡計算即可．
【解答】解：如圖，∵∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝∠DPA＝60°，且∠APC＝∠BPD，

∴可以在四棱錐上截取一個正四棱錐P﹣ABC′D′，
此時四邊形AB′C′D′為正方形，且邊長為，
∴，
∴PA2+PC2＝12＝AC2，∴∠APC＝∠BPD＝90°，
設PB＝PD＝t＞0，AC∩BD＝O，PC＝x＞0，
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPD＝∠DPA＝60°，且PB＝PD，
∴AB＝AD，BC＝CD，∴AC⊥BD，O為BD中點，
∵PB＝PD，∴PO⊥BD，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC，
∵，∴∴，
∴，
又因為四棱錐P﹣ABCD存在半徑為1的內切球，
∴
＝
＝，
即，
即，
∴，解得，
因為四棱錐P﹣ABCD存在半徑為1的內切球，直徑為2，∴PC＞2，
而，故，
故答案為：．

【點評】本題考查了幾何體的內切球問題，屬于較難題目．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）記數列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求數列的前n項和Tn．
【分析】（1）分n為奇數和偶數，利用an＝Sn﹣Sn﹣1 即可求解；
（2）＝＝﹣（﹣），累加即可求得Tn．
【解答】解：（1）當n為奇數，且n≥3時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣﹣＝﹣n，
a1＝S1＝﹣1也滿足，
當n為偶數時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣（﹣）＝n，
綜上，數列{an}的通項公式為an＝（﹣1）nn；
（2）＝＝﹣（﹣），
數列的前n項和Tn＝﹣（1﹣+﹣+...+﹣）＝﹣．
【點評】本題考查了求數列通項、前n項和，考查了分類討論思想，屬于中檔題．
18．（12分）如圖，在圖1的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，邊AB，AC上的點E，F滿足＝＝，將三角形AEF沿EF翻折至三角形PEF處，得到圖2中的四棱錐P﹣EFCB，且二面角P﹣EF﹣B的大小為60°．
（1）證明：平面PBC⊥平面EFCB；
（2）求直線BE與平面PFC所成角的正弦值．

【分析】（1）找到∠PEB為二面角P﹣EF﹣B的平面角，利用余弦定理得到PB＝，從而利用勾股定理逆定理得到BE⊥PB，得到線面垂直，證明面面垂直；
（2）先得到PB，EB，CB兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角．
【解答】解：（1）證明：∵＝＝，∴EF∥BC，
∵等腰直角△ABC中，AB⊥BC，∴EF⊥AB，
在四棱錐P﹣EFCBk，EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB為二面角P﹣EF﹣B的平面角，即∠PEB＝60°，
又PE＝2，BE＝1，∴PB＝＝，
滿足PE2＝BE2+PB2，
即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，∴BE⊥平面PBC，
∵BE?平面EFCB，∴平面PBC⊥平面EFCB．
（2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，得EF⊥平面PBE，
∴EF⊥PB，
∵EF∥BC，∴BC⊥PB，即PB，EB，CB兩兩垂直，
以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，BE所在直線為y軸，BP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，），F（2，1，0），
＝（0，1，0），
設平面PFC的法向量＝（x，y，z），＝（3，0，﹣），＝（1，﹣1，0），
，令y＝1，得＝（1，1，），
設所求角為θ，則sinθ＝＝＝．
故直線BE與平面PFC所成角的正弦值為．
【點評】本題考查線面垂直、面面垂直的判定與性質、線面角的定義及正弦值的求法、向量法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosC+asinC＝b+2c．
（1）求角A；
（2）D為BC邊上一點，DA⊥BA，且BD＝4DC，求cosC．
【分析】（1）根據已知條件，結合正弦定理，求出sinAcosC+，再結合三角函數的恒等變換公式，即可求解．
（2）由（1）可知，A＝，推得，再結合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
【解答】解：（1）∵acosC+asinC＝b+2c，
∴由正弦定理可得，sinAcosC+，
∵A+B+C＝π，
∴sinAcosC+＝sin（A+C）+2sinC＝sinAcosC+cosAsinC+2sinC，
∴sinAsinC＝cosAsinC+2sinC，
∵sinC≠0，
∴，即，
又∵0＜A＜π，
∴．
（2）由（1）可知，A＝，
∴，
在△CAD中，，在△BAD中，，
又∵sin∠ADB＝sin∠ADC，BD＝4CD，
∴c＝2b，
∴由余弦定理可得，a＝，
∴，
∴cosC＝．
【點評】本題主要考查解三角形，考查轉化能力，屬于中檔題．
20．（12分）某商場推出一項抽獎活動，顧客在連續(xù)抽獎時，若第一次中獎則獲得獎金10元，并規(guī)定：若某次抽獎能中獎，則下次中獎的獎金是本次中獎獎金的兩倍；若某次抽獎獎能中獎，則該次不獲得獎金，且下次中獎的獎金被重置為10元．已知每次中獎的概率均為，且每次能否中獎相互獨立．
（1）若某顧客連續(xù)抽獎10次，記獲得的總獎金為ξ元，判斷E（ξ）與25的大小關系，并說明理由；
（2）若某顧客連續(xù)抽獎4次，記獲得的總獎金為X元，求E（X）．
【分析】（1）記中獎次數為Y，則由題意得Y～，從而可求出總獎金的期望值，進而可求得結果，
（2）由題意可得X的所有可能取值為0，10，20，30，40，70，150，然后求出相應的概率，從而可求出E（X）．
【解答】解：（1）E（ξ）＞25．
理由如下：抽獎10次時，記中獎次數為Y，則Y～，
若每次中獎的獎金為固定10元，則此時總獎金的期望值為，
由題意，連續(xù)中獎時，獎金會翻倍，
故總獎金必大于每次中獎的獎金為固定10元的情況，
所以E（ξ）＞25．
（2）X的所有可能取值為0，10，20，30，40，70，150，
，
，
，
，
，
，
．
其分布列為：
X
0
10
20
30
40
70
150








．
【點評】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．
21．（12分）已知橢圓E：＝1（a＞b＞0），過點P（﹣1，﹣1）且與x軸平行的直線與橢圓E恰有一個公共點，過點P且與y軸平行的直線被橢圓E截得的線段長為．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設過點P的動直線與橢圓E交于M，N兩點，T為y軸上的一點，設直線MT和NT的斜率分別為k1和k2，若為定值，求點T的坐標．
【分析】（1）由題意可得b的值，再由弦長可得a的值，進而求出橢圓的方程；
（2）設T的坐標，設直線MN的方程，與橢圓的方程聯立，求出兩根之和及兩根之積，進而求出TM，TN的斜率的倒數之和，要使其值為定值，則分子，分母的對應項的系數成比例，可得T的坐標．
【解答】解：（1）由題意可得b＝1，
且+y2＝1，
可得|y|＝，由題意可得2＝，可得a2＝4，
所以橢圓的方程為：+y2＝1；
（2）設T（0，t），顯然直線MN的斜率不為0，設直線MN的方程為：x＝m（y+1）﹣1＝my+m﹣1，
設M（x1，y1），N（x2，y2），
聯立，整理可得：（4+m2）y2+2m（m﹣1）y+（m﹣1）2﹣4＝0，
Δ＝4m2（m﹣1）2﹣4（4+m2）[（m﹣1）2﹣4]＞0，即m＞，
y1+y2＝﹣，y1y2＝＝，
由題意可得+＝+＝＝
＝＝
＝，
因為其值為定值，所以t＝﹣1時，定值為﹣8，
所以T（0，﹣1）．
【點評】本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應用，屬于中檔題．
22．（12分）已知函數f（x）＝（x﹣k﹣3）ex﹣x．
（1）討論函數f（x）的極值點個數；
（2）當f（x）恰有一個極值點x0時，求實數k的值，使得f（x0）取最大值．
【分析】（1）求導得f′（x）＝[﹣k]，設g（x）＝﹣k，求導分析g（x）的正負，進而可得f（x）的單調性，即可得到答案．
（2）由（1）知，k＞0且f′（x0）＝0，即k＝，x0＞2，進而可得f（x）的單調性，即可得出答案．
【解答】解：（1）f′（x）＝[ex+（x﹣k﹣3）ex]﹣1＝[﹣k]，
設g（x）＝﹣k，
則g′（x）＝，
設h（x）＝ex+x﹣1，
h（x）為增函數，且h（0）＝0，
所以當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
又g（0）＝﹣1﹣k，且x＜0時，g（x）＜﹣k，
①當﹣1﹣k≥0，即k≤﹣1時，g（x）≥0，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，
此時f（x）無極值點，
②當﹣1﹣k＜0＜﹣k，即﹣1＜k＜0時，
存在x1＜0＜x2使得g（x1）＝g（x2）＝0，
x＜x1時，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
x1＜x＜x2時，g（x）＜0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
x＞x2時，g（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以f（x）有兩個極值點，
③當﹣k＜0，即k＞0時，存在x0，使得g（x0）＝0，
x＜x0時，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
x＞x0時，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
所以f（x）有一個極值點，
綜上所述，當k≤﹣1時，f（x）無極值點，
當﹣1＜k＜0時，f（x）有兩個極值點，
當k＞0時，f（x）有一個極值點．
（2）由（1）知，k＞0且f′（x0）＝0，即k＝，
此時x0＞2，
此時f（x）在（﹣∞，x0）單調遞減，在（x0，+∞）單調遞增，
所以f（x0）≤f（3）＝﹣e3﹣3，
當且僅當x0＝3時，f（x0）取得最大值﹣e3﹣3，
所以k＝＝．
【點評】本題考查導數的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
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