?2022-2023學年江蘇省泰州市姜堰區(qū)八年級第一學期期中數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．2022年8月28日至9月5日，江蘇省第二十屆運動會在泰州舉辦，下列各圖是選自省運會的部分圖案，其中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．已知△ABC≌△DEF，AB＝5，AC＝6，BC＝7，則DF的長為（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．11
3．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，
4．下列說法中，正確的是（　　）
A．面積相等的兩個等腰三角形全等
B．周長相等的兩個等腰三角形全等
C．面積相等的兩個直角三角形全等
D．周長相等的兩個等邊三角形全等
5．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的C1、C2、C3、C4四個格點中，能與點A、B構成等腰三角形，且面積為2的是（　?。?br />
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，過點C畫一條直線，將Rt△ABC分割成兩個三角形，且其中至少有一個是等腰三角形，則這樣的直線能畫（　　）條．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
7．等腰三角形一個底角是30°，則它的頂角是　 　度．
8．若直角三角形兩直角邊平方和為36，則它的斜邊長為 　 ?。?br /> 9．“等邊三角形是軸對稱圖形”的逆命題是 　 　命題（填“真”或“假”）．
10．如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△A'B'C'，連接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，則CC'＝　 　cm．

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC為邊在BC的左側作等邊△BCD，連接AD，則∠DAC＝　 　°．

12．如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，每個等邊三角形的邊長都為1，圖中已經(jīng)涂黑了3個三角形，從①、②、③號位置選擇一個三角形涂黑，其中不能與圖中涂黑部分構成軸對稱圖形的是 　 　號位置的三角形．

13．如圖，BD為△ABC的角平分線，AB＝6cm，BC＝10cm，S△ABD＝9cm2，則S△BCD＝　 　cm2．

14．一個等腰三角形的周長為36，其中一條邊的長度為10，則底邊上高的長度為 　 ?。?br /> 15．如圖，在筆直的公路AB旁有一個城市書房C，C到公路AB的距離CD為80米，AC為100米，BC為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少 　 　秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．

16．如圖，長方形紙條ABCD，AB＝8cm，點E在AD邊上，且AE＝6cm，點F為BC邊上一點，連接EF，將四邊形ABFE沿EF翻折，得到四邊形A'B'FE．若紙條的長度足夠長，則B′到BC邊的最大距離為 　 　cm．

三、解答題（本大題共10小題，共102分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（1）計算：（π﹣3）0+|﹣3|﹣（﹣2）2；
（2）解方程組：．
18．先化簡，再求值：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x滿足3x2﹣2x﹣2032＝0．
19．如圖，點A、B、C、D在一條直線上，BE∥CF，從①AE∥DF，②AB＝CD，③BE＝CF中選擇兩個作為補充條件，余下的一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．你選的補充條件是 　 　，結論是 　 ?。ㄌ钚蛱枺?br />
20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BD＝CD，過A點作AE⊥AD交BC的延長線于點E．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）求證：AB＝AE．

21．如圖，AD⊥BC，垂足為D，且AD＝4，BD＝8．點E從B點沿射線BC向右以2個單位/秒的速度勻速運動，F(xiàn)為BE的中點，連接AE、AF，設點E運動的時間為t．
（1）當t為何值時，AE＝AF；
（2）當t＝5時，判斷△ABE的形狀，并說明理由．

22．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：
（1）在AB上找一點D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一點E，使BE平分∠ABC．

23．如圖，用兩根木棒AC、AD加固小樹，木棒AC、AD與小樹在同一平面內(nèi)，且小樹與地面垂直，AD＝2m，AC＝1.3m．
（1）若AB＝1.2m，求BD的長；
（2）若CD＝2.1m，求BD的長．

24．如圖，△ABC的兩條外角平分線CD、BD相交于點D，MN過點D，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．
（1）求證：MN＝CN+BM；
（2）若C△AMN+BC＝2C△ABC，求的值．

25．如圖，點D為等腰直角三角形ABC斜邊AC上一動點（點D不與線段AC兩端點重合），將BD繞點B順時針方向旋轉90°到BE，連接AE、EC、ED．
（1）求證：AD＝EC；
（2）若AD＝1，CD＝7，求BD的長；
（3）若AC2＝40，請直接寫出AE+BE的最小值．

26．已知，正方形ABCD的邊長為8，點P、G分別在射線BC、邊AB上，連接PG，點B關于PG的對稱點為Q，連接BQ．
（1）如圖1，取AD、BC的中點E、F，連接EF，若點Q剛好落在線段EF上，且點P在線段FC上，則∠PBQ的度數(shù)不可能是下列選項中的 　 ?。唬ㄌ钚蛱枺?br /> ①45°，②59°，③72°
（2）如圖2，當點Q落在AD邊上（不與點D重合）時，試判斷點P是否一定在射線BC上點C的右側，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，
①當PC＝2時，求AG的長；
②若線段PQ與CD相交于點N，連接BN，試探索點Q落在不同位置時，∠QBN的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出∠QBN的度數(shù)；若變化，請說明理由．




參考答案
一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．2022年8月28日至9月5日，江蘇省第二十屆運動會在泰州舉辦，下列各圖是選自省運會的部分圖案，其中是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
解：B，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
A選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．已知△ABC≌△DEF，AB＝5，AC＝6，BC＝7，則DF的長為（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．11
【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等解答即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝6，
故選：B．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．
3．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，
【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．
解：A、22+32≠42，不能構成直角三角形，不合題意；
B、52+42≠62，不能構成直角三角形，不合題意；
C、52+122＝132，能構成直角三角形，符合題意；
D、三邊長，，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；
故選：C．
【點評】此題主要考查了勾股數(shù)，關鍵是掌握勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．
4．下列說法中，正確的是（　?。?br /> A．面積相等的兩個等腰三角形全等
B．周長相等的兩個等腰三角形全等
C．面積相等的兩個直角三角形全等
D．周長相等的兩個等邊三角形全等
【分析】利用三角形全等的判定方法分別進行判斷即可．
解：A、兩腰對應相等的兩個三角形頂角不相等時，它們不全等，所以A不正確，不符合題意；
B、周長相等的兩個等腰三角形不一定全等利用，所以B不正確，不符合題意；
C、面積相等的兩個直角三角形它們不全等，所以C不正確，不符合題意；
D、周長相等的兩個等邊三角形全等，所以D正確，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
5．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B均在格點上，在圖中給出的C1、C2、C3、C4四個格點中，能與點A、B構成等腰三角形，且面積為2的是（　　）

A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
【分析】先判斷等腰三角形，然后計算等腰三角形的面積，進而作出判斷．
解：根據(jù)圖形可知△ABC2，△ABC3是等腰三角形，
則S＝2，
S＝2×3﹣1×2﹣＝．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積是解決問題的關鍵．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，過點C畫一條直線，將Rt△ABC分割成兩個三角形，且其中至少有一個是等腰三角形，則這樣的直線能畫（　?。l．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)畫出符合題意的圖形即可．
解：如圖所示，即為符合題意的等腰三角形．
故這樣的直線能畫1條．
故選：A．

【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及應用設計與作圖等知識，正確畫出圖形是解題關鍵．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
7．等腰三角形一個底角是30°，則它的頂角是　120　度．
【分析】根據(jù)已知可得到另一底角度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得頂角的度數(shù)．
解：因為等腰三角形的兩個底角相等，已知一個底角是30°，
所以它的頂角是180°﹣30°﹣30°＝120°．
故答案為：120．
【點評】此題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的運用．本題給出了底角是30°，問題就變得比較簡單，屬于基礎題．
8．若直角三角形兩直角邊平方和為36，則它的斜邊長為 　6　．
【分析】當∠C＝90°時，由勾股定理得，c2＝a2+b2＝36，可得c的值．
解：當∠C＝90°時，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
∵直角三角形兩直角邊平方和為36，
∴c2＝36，
∵c＞0，
∴c＝6，
故答案為：6．
【點評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
9．“等邊三角形是軸對稱圖形”的逆命題是 　假　命題（填“真”或“假”）．
【分析】交換原命題的題設和結論后即可寫出該命題的逆命題．
解：命題“等邊三角形是軸對稱圖形”的逆命題是軸對稱圖形是等邊三角形，是假命題，
故答案為：假．
【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題，難度不大．
10．如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△A'B'C'，連接BB'、CC'，若BB'＝1.2cm，則CC'＝　1.2　cm．

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結論．
解：∵△ABC經(jīng)過平移得到△A'B'C'，連接BB'、CC'，BB'＝1.2cm，
∴CC'＝BB′＝1.2cm，
故答案為：1.2．
【點評】本題考查了平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關鍵．
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC為邊在BC的左側作等邊△BCD，連接AD，則∠DAC＝　30　°．

【分析】根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)解答即可．
解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC，以BC為邊在BC的左側作等邊△BCD，
∴AB＝BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAB＝＝75°，
∵∠DAC＝∠DAB﹣∠BAC＝75°﹣45°＝30°，
故答案為：30．
【點評】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．如圖，在等邊三角形網(wǎng)格中，每個等邊三角形的邊長都為1，圖中已經(jīng)涂黑了3個三角形，從①、②、③號位置選擇一個三角形涂黑，其中不能與圖中涂黑部分構成軸對稱圖形的是 　②③　號位置的三角形．

【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)分析得出答案．
解：從①、②、③號位置選擇一個三角形涂黑，其中不能與圖中涂黑部分構成軸對稱圖形的是②③號位置的三角形．
故答案為：②③．
【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關鍵．
13．如圖，BD為△ABC的角平分線，AB＝6cm，BC＝10cm，S△ABD＝9cm2，則S△BCD＝　15　cm2．

【分析】由BD為△ABC的角平分線可得點D到AB與DC的距離相等，進而求解．
解：∵BD為△ABC的角平分線，
∴點D到線段AB的距離與點D到線段BC的距離相等，
設點B到線段AB與BC的距離為h，
則S△ABD＝AB?h＝6h＝9，
解得h＝3，
∴S△BCD＝BC?h＝＝15（cm2），
故答案為：15．
【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題關鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，掌握三角形面積的求法．
14．一個等腰三角形的周長為36，其中一條邊的長度為10，則底邊上高的長度為 　6或12　．
【分析】分兩種情況：①當長度為10的邊是腰時，②當長度為10的邊是底時，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
解：①當長度為10的邊是腰時，則底為36﹣10﹣10＝16，
∴底邊上高的長度為＝6；
②當長度為10的邊是底時，則腰為（36﹣10）＝13，
∴底邊上高的長度為＝12，
綜上所述，底邊上高的長度為6或12，
故答案為：6或12．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關鍵．
15．如圖，在筆直的公路AB旁有一個城市書房C，C到公路AB的距離CD為80米，AC為100米，BC為300米．一輛公交車以3米/秒的速度從A處向B處緩慢行駛，若公交車鳴笛聲會使以公交車為中心170米范圍內(nèi)受到噪音影響，那么公交車至少 　70　秒不鳴笛才能使在城市書房C看書的讀者不受鳴笛聲影響．

【分析】如圖，設CE＝170米，由勾股定理求出AD和DE的長，則可求出答案．
解：如圖，設CE＝170米，

∵∠CDE＝90°，CD＝80米，
∴DE＝＝＝150（米），
∵CD＝80米，AC＝100米，
∴AD＝＝＝60（米），
∴EA＝AD+DE＝60+150＝210（米），
∴公交車鳴笛聲會受到噪音影響的時間為＝70（秒），
故答案為：70．
【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
16．如圖，長方形紙條ABCD，AB＝8cm，點E在AD邊上，且AE＝6cm，點F為BC邊上一點，連接EF，將四邊形ABFE沿EF翻折，得到四邊形A'B'FE．若紙條的長度足夠長，則B′到BC邊的最大距離為 　18　cm．

【分析】連接B′E，作EH⊥BC于點H，B′G⊥BC于點G，先證明四邊形ABHE是矩形，得EH＝AB＝8cm，由翻折得∠A′＝90°，A′B′＝AB＝8cm，A′E＝AE＝6cm，再根據(jù)勾股定理求得B′E＝10cm，即可由B′G≤B′E+EH推導出B′G≤18cm，則B′G的最大值是18cm，于是得到問題的答案．
解：連接B′E，作EH⊥BC于點H，B′G⊥BC于點G，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8cm，AE＝6cm，
∴∠A＝∠B＝∠EHB＝90°，
∴四邊形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝8cm，
由翻折得∠A′＝90°，A′B′＝AB＝8cm，A′E＝AE＝6cm，
∴B′E＝＝10（cm），
∴B′E+EH＝10+8＝18（cm），
∵B′G≤B′E+EH，
∴B′G≤18cm，
∴B′G的最大值是18cm，
故答案為：18．

【點評】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線并且推導出B′G≤18cm是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共10小題，共102分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（1）計算：（π﹣3）0+|﹣3|﹣（﹣2）2；
（2）解方程組：．
【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，絕對值進行計算，再算加減即可；
（2）由①得出x＝2y③，把③代入②得出4y+y＝5，求出y，再把y＝1代入③求出x即可．
解：（1）原式＝1+3﹣4
＝0；

（2），
由①，得x＝2y③，
把③代入②，得4y+y＝5，
解得：y＝1，
把y＝1代入③，得x＝2，
所以原方程組的解是．
【點評】本題考查了零指數(shù)冪，實數(shù)的混合運算和解二元一次方程組，能正確根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算是解（1）的關鍵，能把二元一次方程組轉化成一元一次方程是解（2）的關鍵．
18．先化簡，再求值：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x滿足3x2﹣2x﹣2032＝0．
【分析】先去括號，再合并同類項，然后把﹣3x2+2x＝﹣2032代入化簡后的式子進行計算即可解答．
解：（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝x2+2x+1﹣4x2+9
＝﹣3x2+2x+10，
∵3x2﹣2x﹣2032＝0，
∴3x2﹣2x＝2032，
﹣3x2+2x＝﹣2032，
∴當﹣3x2+2x＝﹣2032，原式＝﹣2032+10＝﹣2022．
【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
19．如圖，點A、B、C、D在一條直線上，BE∥CF，從①AE∥DF，②AB＝CD，③BE＝CF中選擇兩個作為補充條件，余下的一個作為結論，并寫出結論成立的證明過程．你選的補充條件是 ?、佗冢ù鸢覆晃ㄒ唬?，結論是 ?、郏ù鸢覆晃ㄒ唬。ㄌ钚蛱枺?br />
【分析】證△ABE≌△DCF（ASA），即可得出結論．
解：補充條件是①②，結論是③，理由如下：
∵BE∥CF，
∴∠CBE＝∠BCF，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
在△ABE與△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
故答案為：①②（答案不唯一），③（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BD＝CD，過A點作AE⊥AD交BC的延長線于點E．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）求證：AB＝AE．

【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，AD＝BC＝CD，即可得出結論；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得∠DAC＝∠ACD＝60°，再證∠B＝∠E，即可得出結論．
【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵BD＝CD，
∴AD＝BC＝CD，
∴△ACD是等邊三角形；
（2）由（1）可知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC＝∠ACD＝60°，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝30°，
∴∠E＝∠DCA﹣∠CAE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠E，
∴AB＝AE．
【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
21．如圖，AD⊥BC，垂足為D，且AD＝4，BD＝8．點E從B點沿射線BC向右以2個單位/秒的速度勻速運動，F(xiàn)為BE的中點，連接AE、AF，設點E運動的時間為t．
（1）當t為何值時，AE＝AF；
（2）當t＝5時，判斷△ABE的形狀，并說明理由．

【分析】（1）根據(jù)題意可得：BE＝2t，再根據(jù)線段中點的定義可得BF＝EF＝t，從而可得DF＝8﹣t，DE＝2t﹣8，然后根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠ADE＝90°，再分別在Rt△ADF和Rt△ADE中，利用勾股定理可得AF2＝16+（8﹣t）2，AE2＝16+（2t﹣8）2，最后令AE＝AF，從而可得16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，進行計算即可解答；
（2）當t＝5時，BE＝2t＝10，DE＝2，然后分別在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股定理求出AB2和AE2，最后利用勾股定理的逆定理證明△ABE是直角三角形，即可解答．
解：（1）由題意得：
BE＝2t，
∵F為BE的中點，
∴BF＝EF＝BE＝t，
∵AD＝4，BD＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+（8﹣t）2，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+（2t﹣8）2，
令AE＝AF，
∴16+（8﹣t）2＝16+（2t﹣8）2，
解得：t＝或t＝0（舍去），
∴當t＝時，AE＝AF；
（2）△ABE是直角三角形，
理由：當t＝5時，BE＝2t＝10，
∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形．
【點評】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
22．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列問題（僅用無刻度的直尺作圖，且保留必要的作圖痕跡）：
（1）在AB上找一點D，使CD⊥AB；
（2）在AC上找一點E，使BE平分∠ABC．

【分析】（1）取格點T，連接CT交AB于點D，點D即為所求；
（2）取格點P，連接AP，取AP的中點Q，連接BQ交AC于點E，點E即為所求．
【解答】解；（1）如圖，點D即為所求；
（2）如圖，點E即為所求．


【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，三角形的高，角平分線等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．
23．如圖，用兩根木棒AC、AD加固小樹，木棒AC、AD與小樹在同一平面內(nèi)，且小樹與地面垂直，AD＝2m，AC＝1.3m．
（1）若AB＝1.2m，求BD的長；
（2）若CD＝2.1m，求BD的長．

【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）設BD＝xm，則BC＝（2.1﹣x）m，由勾股定理得出1.32﹣（2.1﹣x）2＝22﹣x2，解方程可得出答案．
解：（1）∵AB⊥DC，
∴∠ABD＝90°，
∵AD＝2m，AB＝1.2m，
∴BD＝＝＝1.6（m）；
（2）設BD＝xm，則BC＝（2.1﹣x）m，
∵AC2﹣BC2＝AB2，AD2﹣BD2＝AB2，
∴AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2，
∴1.32﹣（2.1﹣x）2＝22﹣x2，
解得x＝1.6，
∴BD＝1.6m．
【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
24．如圖，△ABC的兩條外角平分線CD、BD相交于點D，MN過點D，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．
（1）求證：MN＝CN+BM；
（2）若C△AMN+BC＝2C△ABC，求的值．

【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證CN＝DN，DM＝BM，即可求解；
（2）由三角形的周長關系可得CN+BM+MN＝C△ABC，即可求解．
【解答】（1）證明：∵△ABC的兩條外角平分線CD、BD相交于點D，
∴∠DCN＝∠DCB，∠DBC＝∠DBM，
∵MN∥BC，
∴∠CDN＝∠DCB，∠BDM＝∠DBC，
∴∠DCN＝∠CDN，∠BDM＝∠DBM，
∴CN＝DN，DM＝BM，
∴MN＝DN+DM＝CN+BM；
（2）解：∵C△AMN+BC＝2C△ABC，
∴AN+AM+MN+BC＝2C△ABC，
∴AC+AB+CN+BM+MN+BC＝2C△ABC，
∴CN+BM+MN＝C△ABC，
∴＝＝2．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．
25．如圖，點D為等腰直角三角形ABC斜邊AC上一動點（點D不與線段AC兩端點重合），將BD繞點B順時針方向旋轉90°到BE，連接AE、EC、ED．
（1）求證：AD＝EC；
（2）若AD＝1，CD＝7，求BD的長；
（3）若AC2＝40，請直接寫出AE+BE的最小值．

【分析】（1）利用SAS證明△ABD≌△CBE，得AD＝EC；
（2）由（1）得∠BAD＝∠BCE＝45°，則∠DCE＝∠DCB+BCE＝90°，再根據(jù)勾股定理可得DE的長，從而得出BD的長；
（3）由（2）知，∠BCE＝45°，則點E在直線CE上運動，作點B關于CE的對稱點B'，連接AB'，交GC于E，此時AE+BE最小，再根據(jù)勾股定理求AB'的長即可．
【解答】（1）證明：∵將BD繞點B順時針方向旋轉90°到BE，
∴BD＝BE，∠DBE＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝EC；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB+BCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，DE＝＝＝5，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD＝5，
∴BD＝5；
（3）解：由（2）知，∠BCE＝45°，
則點E在直線CE上運動，

作點B關于CE的對稱點B'，連接AB'，交GC于E，此時AE+BE最小，
∵AC2＝40，
∴AB2＝BG2＝GB'2＝20，
∴AG2＝（2AB）2＝80，
在Rt△AGB'中，由勾股定理得，AB'2＝AG2+B'G2＝80+20＝100，
∴AB'＝10，
∴AE+BE的最小值為10．
【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱最短路線問題，確定點E的運動路徑是解題的關鍵．
26．已知，正方形ABCD的邊長為8，點P、G分別在射線BC、邊AB上，連接PG，點B關于PG的對稱點為Q，連接BQ．
（1）如圖1，取AD、BC的中點E、F，連接EF，若點Q剛好落在線段EF上，且點P在線段FC上，則∠PBQ的度數(shù)不可能是下列選項中的 ?、邸。唬ㄌ钚蛱枺?br /> ①45°，②59°，③72°
（2）如圖2，當點Q落在AD邊上（不與點D重合）時，試判斷點P是否一定在射線BC上點C的右側，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，
①當PC＝2時，求AG的長；
②若線段PQ與CD相交于點N，連接BN，試探索點Q落在不同位置時，∠QBN的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出∠QBN的度數(shù)；若變化，請說明理由．


【分析】（1）可推出45°≤∠PBQ≤60°，進而得出結果；
（2）作BE⊥PQ，可證得AB＝BE＜PB，進而得出結果；
（3）①作PE⊥AD，交AD的延長線于E，連接PQ，GQ，在Rt△PQE中求得EQ的長，進而求得DQ的長，設AG＝x，則BG＝QG＝8﹣x，在Rt△AGQ中，由勾股定理列出方程求得結果；
②先證得△ABQ≌△AEQ，∠ABQ＝∠EBQ，進而證得Rt△BEN≌Rt△BCN，進而得出∠CBN＝∠EBN，進一步得出結果．
解：（1）如圖1，

當點P在F點時，∠PBQ＝45°，
當點P在C點時，∠PBQ′＝60°，
∴45≤∠PBQ≤60°，
故答案為：③；
（2）如圖2，

點P落在點C的右側，理由如下：
連接PQ，作BE⊥PQ于E，
∵點B和點Q關于PG對稱，
∴PG垂直平分BQ，
∴PQ＝PB，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，
∴∠PBQ＝∠AQB，BA⊥AD，
∴∠AQB＝∠PQB，
∴BE＝AB，
∴BE＝BC，
在Rt△PEB中，
BE＜PB，
∴BC＜PB，
∴點P是否一定在射線BC上點C的右側；
（3）①如圖3，

作PE⊥AD，交AD的延長線于E，連接PQ，GQ，
∵PG是BQ的垂直平分線，
∴PQ＝PB＝8+2＝10，BG＝GQ，
在Rt△PQE中，PQ＝10，PE＝AB＝8，
∴EQ＝6，
∵DE＝CP＝2，
∴DQ＝EQ﹣DE＝6﹣2＝4，
∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣4＝4，
設AG＝x，則BG＝QG＝8﹣x，
在Rt△AGQ中，由勾股定理得，
AG2+AQ2＝QG2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3；
②如圖4，

∠QBN不發(fā)生變化，理由如下：
作BE⊥PQ，
由（2）可知：△ABQ≌△AEQ，∠ABQ＝∠EBQ，
∴BE＝AB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∵∠BEN＝∠BCN＝90°，BN＝BN，
∴Rt△BEN≌Rt△BCN（HL），
∴∠CBN＝∠EBN，
∵∠ABQ+∠EBQ+∠EBN+∠CBN＝90°，
∴2∠EBQ+2∠EBN＝90°，
∴∠QBN＝45°，
∴∠QBN的度數(shù)不發(fā)生變化．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．


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