2023屆高三 第二次月考 理科數(shù)學一、單選題（每題5分，共60分）1.已知集合，，則（    ）A.B.  C.  D.2.若復數(shù)滿足，則（    ）A.10     B.    C.20     D.3.函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A. B. C. D.4.已知點是角終邊上一點，則（    ）A.    B.    C.    D.5.下列命題正確的是（    ）A.“”是“”的充分不必要條件B.若給定命題，使得，則，均有C.若為假命題，則，均為假命題D.命題“若，則”的否命題為“若，則”6.若，則（    ）A.    B.    C.    D.7.函數(shù)在上的極小值點為（    ）A.    B.    C.    D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（    ）A.3     B.    C.    D.9.已知符號函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（    ）A.1     B.2     C.3     D.410.已知函數(shù)滿足，且對任意的，時，恒有成立，則當時，實數(shù)的取值范圍是（    ）A.    B. C.   D.11.已知函數(shù)的圖像既關于點中心對稱，又關于直線軸對稱.當時，，則的值為（    ）.A.   B.    C.3     D.12.設，，，則（    ）A.   B.   C.   D.二、填空題（每題5分，共20分）13.平面向量與的夾角為60°，，，則______.14.已知，則曲線在點處的切線方程為______.15.若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最小值是______.16.已知實數(shù)，滿足：，則的最大值為______.三、解答題（每題12分，共60分）17.已知中，內角，，所對的邊分別為，，，且（1）求；（2）若邊上的中線長為，，求的面積.18.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，.（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分與中位數(shù)（結果保留2位小數(shù)）；（3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)（）之比如表所示，求數(shù)學成績在之間的人數(shù).分數(shù)段19.（理）.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側棱底面，垂直于和，，，是棱的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；20.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，點是橢圓的右焦點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，則在軸上是否存在一點？使得直線繞點無論怎樣轉動都有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.21.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）證明：當時，對任意，恒有.三.選做題（10分，從22、23題中任選一道作答）22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）與交于，兩點，若，求.23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若，，，求的最大值.參考答案：1.A【詳解】因為，，所以.2.B【詳解】由已知，所以.3.B【詳解】解：由可得定義域為R，因為所以為奇函數(shù)，故淘汰C，D選項，當趨向于正無窮時，趨向于正無窮，趨向于0，趨向于正無窮，而且指數(shù)函數(shù)趨向于正無窮的增長速率遠遠超過趨向于正無窮的增長速率，所以當趨向于正無窮時，趨向于正無窮，故淘汰A，4.B【詳解】依題意點的坐標為，，.5.B【詳解】對于A，因為，所以或，因此“”是“”的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，命題，使得的否定為，均有，故B正確；對于C，若為假命題，至少有一個則為假命題，故C錯誤；對于D，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故D錯誤；6.D【分析】利用三角恒等變換與同角三角函數(shù)關系，一步步化簡為只含的式子再代入即可解出答案.【詳解】，∵，7.C【詳解】對于函數(shù)，，因為，當時，，當時，，當時，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在是增函數(shù).因此，函數(shù)在上的極小值點為.8.C【詳解】由圖象可知，從而，將，在函數(shù)圖象上，，，可得：，，，.故選：C.9.C【詳解】解：當時；當時；當時.∴.∴.當時令，即，解得成立；當時令，即，解得成立；當時令，即，解得成立.綜上可得解得或或.所以函數(shù)的零點個數(shù)為3.10.C【分析】由分析可得函數(shù)的圖象關于直線對稱，結合函數(shù)單調性的定義分析可得在上為增函數(shù)，結合對稱性與單調性解不等式即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，又由對任意，的時，恒有成立，則在上為增函數(shù)，又由，，若，則有，解得，即的取值范圍為故選：C.11.B【詳解】用表示函數(shù)的圖像，對任意的，令，則，且，利用的中心對稱性與軸對稱性，可依次推得，，，取，此時，因此.12.A【詳解】當時，記，則，故在單調遞增，故，因此得當時，，故，即；，設，則，因為，當時，.所以在上單調遞增，所以，即，所以.13.【詳解】解：因為，所以，又向量與的夾角為60°，且，所以，所以；14.【詳解】因為，所以，又，故所求切線方程為.15.【詳解】因為不等式對任意恒成立，所以，則而，當且僅當，即時等號成立.即的最大值是，.16.【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可得在上單調遞增，由題意可得，所以有，由此可得，再構造函數(shù)，求導，利用導數(shù)的正負確定單調區(qū)間，從而即可求得答案.【詳解】解：由已知得，，，，令，則，∴在上單調遞增，又因為，所以，∴，∴，∴，令，所以，則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以.故答案為：.【點睛】本題考查了轉化思想、導數(shù)的綜合運用，難點在于兩次構造函數(shù)，通過函數(shù)的單調性求得最值，屬于難題.17.（1）（2）（1）由題知：，由正弦定理可化為：，即，由余弦定理知，，故.（2）.設邊上的中線為，則所以，即有：①又，由余弦定理得②由①②得，所以.18.（1）（2）平均數(shù)73分 中位數(shù)71.67（3）20人（1）解：由頻率分布直方圖可得：，解得.（2）解：由頻率分布直方圖可得平均分為：（分），（3）解：數(shù)學成績在的人數(shù)為（人）.19.（1）側棱底面，垂直于，所以以點為坐標原點，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，此時.因為，所以，平面.則平面.（2）易知平面的一個法向量為，，由（1）知的一個法向量為，，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20.（1）；（2）存在，.（1）由題意得，解得：，.所以橢圓的方程為.（2）由題意可知.若直線斜率存在，設直線的方程為，，，聯(lián)立得，整理得.由題意可知恒成立，所以，，假設在軸上存在一點，使得軸平分，則，所以，整理得，即，整理得，，則，即，解之得.若直線斜率不存在時，則，兩點關于軸對稱，當點坐標為時，軸平分.綜上所述，在軸上存在一點，使得軸平分.21.（1）解：函數(shù)的定義域為，，①當，即時，在上恒成立，所以在上單調遞增；②當，即時，由得；由得；所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）證明：要證，即證，即證，因為，，所以，所以只需證：.法一：令，則，顯然在上單調遞增，又，，所以存在唯一實數(shù)，使得，即，所以.所以在上，，在上，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故當時，對任意，恒有.法二：.令，，則.所以，所以在上為增函數(shù).所以當時，，即.①令，則.當時，；當時，.所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以當時，，即.②①②兩式相加，得.所以，故當時，對任意，恒有.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，不等式恒成立問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，分類討論思想等，是難題.本題第二問解題的關鍵在于借助，將不等式轉化為證明，再構造函數(shù)求解即可.22.（1），（2）或.【分析】（1）由的參數(shù)方程化為直角坐標方程，再根據(jù)公式，轉化為極坐標方程，根據(jù)極坐標意義直線方程可化為直角坐標方程；（2）根據(jù)極徑的幾何意義及根與系數(shù)的關系，由可得極角.（1）將的參數(shù)方程化為直角坐標方程得，即，∴的極坐標方程為.∵的極坐標方程為，∴的直角坐標方程為.（2）將的極坐標方程代入的極坐標方程得.當時，設，所對應的極徑分別為，，則，，∴，∴，∴，滿足，又，∴或.23.（1）（2）【分析】（1）利用分類討論思想，分、、，將問題轉化為一次不等式進行求解；（2）利用柯西不等式進行求解.（1）當時，原不等式等價于，即成立，所以；當時，原不等式等價于，解得，又，所以；當時，原不等式等價于，即不成立，解得；綜上所述，不等式的解集為；（2）由柯西不等式得，所以，當且僅當，即且時等號成立，即的最大值為. 

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