?昆山、太倉、常熟、張家港市2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中考試
數(shù)學(xué)試題
一、選擇題
1. 下列實數(shù)中，無理數(shù)是（ ）
A. 0 B. 3.14 C. D.
2. 下列圖形中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. CD.
3. 與無理數(shù)最接近的整數(shù)是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列運算或敘述正確的是（ ）
A. B. 4的平方根是±
C. 面積為12的正方形的邊長為2 D. ＝±2
5. 下列二次根式中最簡二次根式是（ ）
A. B. 0.1 C. D.
6. 下列各數(shù)中，與2﹣的積是有理數(shù)的是（ ）
A. 2 B. 2 C. D. 2
7. 如圖所示，畫∠AOB的平分線的過程：先在∠AOB的兩邊OA，OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；再分別過點C，D作CE⊥OA，DF⊥OB．CE，DF交于點P，最后作射線OP，則可得∠AOP＝∠BOP．即OP為∠AOB的平分線．那么判定COP≌DOP的理由是（ ）

A. SAS B. ASA C. AAS D. HL
8. 如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，A，B是兩個格點，連接AB，在網(wǎng)格中找到一個格點C，使得ABC是以AB為腰的等腰三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 如圖，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E為BC上兩個點，且AB＝BE，AC＝CD，則∠DAE的度數(shù)為（ ）

A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
10. 如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交AC于點D．下列說法中不正確的是（ ）

A. BP是∠ABC的平分線 B. AD＝BD
C＝3：1 D. CD＝AD
二、填空題
11. 實數(shù)算術(shù)平方根是__________．
12. 若二次根式有意義，則x的取值范圍是___
13. 一個球形容器的容積為36π立方米，則它的半徑R＝______米．（球的體積：V球＝πR3，其中R為球的半徑）
14. 比較大?。篲_____0.5．
15. 已知實數(shù)﹣1＜a＜，化簡|a+1|+＝______．
16. 如圖，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中點，點P是線段AD上一點，連接BP，將ABP沿BP翻折得到，當(dāng)⊥AD時，則∠ABP＝________．

17. 如圖，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周長＝24，若∠ABC的平分線交AC于點D，且＝5：8，則底邊BC的長為__________．

18. 如圖，四邊形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的一點，當(dāng)△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為_____．

三、解答題
19. 計算：
（1）；
（2）．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
22. 已知與（x﹣y+3）2互為相反數(shù)，求x2y的平方根．
23. 如圖所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）請用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)完成下列作圖任務(wù)，保留作圖痕跡，不寫作法（先用鉛筆作圖，再用水筆作圖）
①作線段AB的垂直平分線MN；
②在直線MN上確定一點P，使得點P到∠ABC兩邊的距離相等．
（2）點Q是第（1）題中的直線MN上一點，則兩線段QA，QC的長度之和最小值等于．

24. 如圖，點C、DBE上，BC＝ED，AC＝AD，求證：AB＝AE．


25. 如圖所示，由每一個邊長均為1的小正方形構(gòu)成的8×8正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N均在格點上（小正方形的頂點為格點），利用網(wǎng)格畫圖．
（1）畫出ABC關(guān)于直線MN對稱的；
（2）在線段MN上找一點P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的畫圖痕跡，并標(biāo)出點P位置）

26. 閱讀：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通過無理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們了解：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)范圍．在學(xué)習(xí)過程中我們又知道“負(fù)數(shù)沒有平方根”，即在實數(shù)范圍內(nèi)的任何一個數(shù)x都無法使得x2＝﹣1成立．現(xiàn)在，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得i2＝﹣1成立，且這個新數(shù)i與實數(shù)之間，仍滿足實數(shù)范圍內(nèi)加法和乘法運算，以及交換律、結(jié)合律，包括乘法對加法的分配律．把任意實數(shù)b與i的相乘記作bi，任意實數(shù)a與bi相加記作a+bi．由此，我們將形如a+bi（a，b均為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部．對于復(fù)數(shù)a+bi（a，b均為實數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時，它是純虛數(shù)．例如3+2i，，﹣，i都是虛數(shù)，它們的實部分別是3，，，0，虛部分別是2，，，，并且以上虛數(shù)中只有i是純虛數(shù)．
閱讀理解以上內(nèi)容，解決下列問題：
（1）化簡：﹣2i2＝；（﹣i）3＝．
（2）已知復(fù)數(shù)：m2﹣1+（m+1）i（m是實數(shù)）
①若該復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m＝；
②若該復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)m＝．
（3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求實數(shù)x，y的值．

27. 如圖，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，點D，E分別在AC，AB上，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BD，CE交于點F．
（1）求∠DFE的度數(shù)；
（2）求證：EF＝DF．

28. 如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F(xiàn)為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．



A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【詳解】∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
又2.52=6.25
【解析】
【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法，先估算，再比較大小即可．
【詳解】∵，即，
∴，
∴，即．
故答案為：＞．
【點睛】本題考查了實數(shù)比較大小，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．
15. 已知實數(shù)﹣1＜a＜，化簡|a+1|+＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)﹣1＜a＜，得出a+1＞0，a﹣2＜0，根據(jù)絕對值的意義及二次根式的性質(zhì)化去絕對值與根號進(jìn)行合并同類項即可．
【詳解】解：∵﹣1＜a＜，
∴a+1＞0，|a+1|= a+1，a﹣2＜0，，
∴原式＝a+1+2﹣a＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查絕對值化簡與二次根式的性質(zhì)，此類試題屬于難度一般的試題，解答此類試題時一定要注意分析試題中各個數(shù)的大小關(guān)系，化去絕對值是解題關(guān)鍵．
16. 如圖，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中點，點P是線段AD上一點，連接BP，將ABP沿BP翻折得到，當(dāng)⊥AD時，則∠ABP＝________．

【答案】20°
【解析】
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出∠BAP＝25°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)和∠APA′＝90°，求出∠APQ＝45°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)論．
【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝50°，D是BC的中點，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝25°，
延長BP至Q，如圖所示：

由折疊的性質(zhì)可知：∠APQ＝∠A′PQ，
∵⊥AD，
∴∠APQ+∠A′PQ＝∠APA′＝90°，
∴∠APQ＝∠A′PQ＝45°，
又∵∠ABP+∠BAP＝∠APQ，
∴∠ABP＝∠APQ﹣∠BAP＝45°﹣25°＝20°．
故答案為：20°．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圖形的變換——折疊，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周長＝24，若∠ABC的平分線交AC于點D，且＝5：8，則底邊BC的長為__________．

【答案】##
【解析】
【分析】過點D作DE⊥BC，DF⊥AB，則有DE＝DF，再由三角形的周長為24，則有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面積公式列出分式方程，解方程即可求解．
【詳解】解：過點D作DE⊥BC，DF⊥AB，如圖所示：


則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠HAA′＝40°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故答案為：100°．

【點睛】本題考查平面內(nèi)最短路線問題求法、三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．
三、解答題
19. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣1；（2）
【解析】
【分析】（1）化簡立方根，算術(shù)平方根，零指數(shù)冪，然后再計算；
（2）先算乘方，然后算乘法，化簡絕對值，最后算加減．
【詳解】解：（1），
，
；
（2）
，
，
．
【點睛】題目主要考查實數(shù)的混合運算，包括立方根、算數(shù)平方根、乘方、絕對值、二次根式的運算等，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
20. 求下列各等式中x的值：
（1）x3+64＝0；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0．
【答案】（1）x＝﹣4；（2）
【解析】
【分析】（1）先移項，再開立方；
（2）先移項，再把二次項的系數(shù)化為1，再開平方，化為一元一次方程，解出即可．
【詳解】解：（1）x3+64＝0；
x3＝﹣64，
x＝﹣4；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝9，
（x﹣1）2＝18，
x﹣1＝±3，
．
【點睛】此題主要考查利用實數(shù)的性質(zhì)解方程，解題的關(guān)鍵是熟知平方根與立方根的性質(zhì)．
21. 已知x＝，y＝，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【答案】（1）2﹣2；（2）3﹣2
【解析】
【分析】（1）將x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）計算即可；
（2）將x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2計算即可．
【詳解】解：（1）當(dāng)x＝，y＝時，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+）×（﹣）
＝2×（1﹣）
＝2﹣2；
（2）當(dāng)x＝，y＝時，
原式＝（x﹣y）2
＝（﹣）2
＝（1﹣）2
＝1﹣2+2
＝3﹣2．
【點睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式與平方差公式的運用．
22. 已知與（x﹣y+3）2互為相反數(shù)，求x2y的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，由幾個非負(fù)數(shù)之和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)均等于0，列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，再計算平方根即可．
【詳解】解：∵與（x﹣y+3）2互為相反數(shù)，
∴+（x﹣y+3）2＝0，
又∵≥0，（x﹣y+3）2≥0，
∴，
解得．
∴x2y＝，
∴x2y的平方根為．
【點睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)和平方根，解題關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)之和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)均等于0；常見的非負(fù)數(shù)有：算術(shù)平方根、偶次冪、絕對值．
23. 如圖所示，等腰ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）請用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)完成下列作圖任務(wù)，保留作圖痕跡，不寫作法（先用鉛筆作圖，再用水筆作圖）
①作線段AB垂直平分線MN；
②在直線MN上確定一點P，使得點P到∠ABC兩邊的距離相等．
（2）點Q是第（1）題中的直線MN上一點，則兩線段QA，QC的長度之和最小值等于．

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）①利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線MN即可；
②利用尺規(guī)作出∠CAB的角平分線，交MN于點P，點P即為所求；
（2）直線MN與BC的交點即為點Q，最小值為BC的長．
【詳解】解：（1）①如圖，直線MN即為所求；
②如圖，點P即為所求；

（2）如圖，點Q即為所求，QA+QC的最小值＝QB+QC＝BC＝6，
故答案為：6．
【點睛】此題考查作圖能力，作線段的垂直平分線，作角的平分線，以及軸對稱的性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握各作圖方法及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，點C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求證：AB＝AE．

【答案】見解析
【解析】
【分析】由AC＝AD可得∠ACB＝∠ADE，再利用SAS證出△ABC≌△AED即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠ADE，
在△ABC與△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AB＝AE．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖所示，由每一個邊長均為1的小正方形構(gòu)成的8×8正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N均在格點上（小正方形的頂點為格點），利用網(wǎng)格畫圖．
（1）畫出ABC關(guān)于直線MN對稱的；
（2）在線段MN上找一點P，使得∠APM＝∠CPN．（保留必要的畫圖痕跡，并標(biāo)出點P位置）

【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）分別作出三個頂點關(guān)于直線MN的對稱點，再首尾順次連接即可；
（2）連接A′C，與直線MN的交點即為所求．
【詳解】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求．

（2）如圖所示，點P即為所求．
【點睛】此題考查作圖能力，作圖形的軸對稱圖形，軸對稱的性質(zhì)，對頂角相等的性質(zhì)，正確掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26. 閱讀：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通過無理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們了解：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)范圍．在學(xué)習(xí)過程中我們又知道“負(fù)數(shù)沒有平方根”，即在實數(shù)范圍內(nèi)的任何一個數(shù)x都無法使得x2＝﹣1成立．現(xiàn)在，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得i2＝﹣1成立，且這個新數(shù)i與實數(shù)之間，仍滿足實數(shù)范圍內(nèi)加法和乘法運算，以及交換律、結(jié)合律，包括乘法對加法的分配律．把任意實數(shù)b與i的相乘記作bi，任

（3）由題意得：，
解得．
【點睛】本題考查了利用平方根解方程、解二元一次方程組，理解題中的新定義是解題關(guān)鍵．
27. 如圖，在ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，點D，E分別在AC，AB上，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BD，CE交于點F．
（1）求∠DFE的度數(shù)；
（2）求證：EF＝DF．

【答案】（1）120°；（2）見解析
【解析】
【分析】（1）由BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，可推出∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）過點F作FP⊥AB于點P，F(xiàn)G⊥BC于點G，F(xiàn)Q⊥AC于點Q，由BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，得FP＝FG＝FQ，再根據(jù)AAS證出△FEP≌△FDQ即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，
∴∠CBF＝20°，∠BCF＝40°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝120°，
∴∠DFE＝∠BFC＝120°；
（2）證明：過點F作FP⊥AB于點P，F(xiàn)G⊥BC于點G，F(xiàn)Q⊥AC于點Q，






【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析
【解析】
【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；
（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．
【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：
如圖，延長BE、AC交于點H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．

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