南康中學(xué)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期高二第二次大考數(shù)學(xué)（文）試卷  一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．某籃球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè).命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（    ）A．甲的極差是29          B．甲的中位數(shù)是24C．甲罰球命中率比乙高     D．乙的眾數(shù)是212．一個(gè)長(zhǎng)方體切去一個(gè)小長(zhǎng)方體,所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為(　　)      3．如圖，是的直觀圖，其中，那么是（    ）A．等腰三角形     B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形4．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行了5次射擊訓(xùn)練，成績(jī)?nèi)缦拢?/span>甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.若甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的平均成績(jī)分別用，表示，方差分別用，表示，則（   ）A．，     B．，C．，     D．，5．總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取7個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列和第4列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（ ?。?/span> 7816     6572     0802     6314     0702     4369     9728     0198 3204     9234     4935     8200     3623     4869     6938     7481A． 02       B． 07       C． 01       D． 066．若實(shí)數(shù)的取值如表，從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且回歸方程為，則（    ）A．    B．    C．    D．7．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（    ）A．，，  B．，，C．，，  D．，，8．如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中點(diǎn)分別為E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，則異面直線EF與AA1所成角的正切值為（　　）A．    B． C．   D．9．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是 (　　) A． 36        B． 18           C． 5           D． 610．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（    ）注：重心坐標(biāo)公式為橫坐標(biāo)：；縱坐標(biāo)：. A．   B．   C． D．11．兩圓和恰有一條公切線，若， ，且，則的最小值為（    ）A． 4      B． 3      C．2       D．112．如圖，在空間四邊形中，兩條對(duì)角線互相垂直，且長(zhǎng)度分別為4和6，平行于這兩條對(duì)角線的平面與邊分別相交于點(diǎn)，記四邊形的面積為y，設(shè)，則（    ） A．函數(shù)的值域?yàn)?/span>       B．函數(shù)的最大值為8 C．函數(shù)在上單調(diào)遞減     D．函數(shù)滿足二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)13．已知一組數(shù)據(jù)，，，的方差為，則這組數(shù)據(jù)，，，的方差為          ．14．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則          .15．表面積為的正四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為          ．16．在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，若是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為          ．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面．    18．（本小題滿分12分） 某快遞公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）在這60天中包裹件數(shù)在[100，200）和 [200，300）的兩組中，用分層抽樣的方法抽取件，求在這兩組中應(yīng)分別抽取多少件？       19．（本小題滿分12分） 在中，．（I）求的大小；（II）求的最大值．   20．（本小題滿分12分） 某書(shū)店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書(shū)店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷，每種單價(jià)（元）試銷l天，得到如表單價(jià)（元）與銷量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：單價(jià)（元）1819202122銷量（冊(cè)）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程,（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書(shū)的成本是12元，書(shū)店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書(shū)的單價(jià)應(yīng)定為多少元？附：，，，.   21．（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.     22．（本小題滿分12分）已知圓心為的圓過(guò)原點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點(diǎn)，（i）若，求弦的長(zhǎng)；（ii）若圓上存在點(diǎn)，使得成立，求直線的斜率.      南康中學(xué)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期高二第二次大考數(shù)學(xué)（文）試卷參考答案 一、選擇題     B C D D C     D C A D D     A D二、填空題13.  45  14.   15.   16. 三、解答題17.【解析】（1）直三棱柱，面，，又，，，，，，面，．----------5分（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，，且，四邊形為平行四邊形，，∥面，，且，四邊形為平行四邊形，，面，，面面，平面．----------10分18.【解析】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為  ----------4分 設(shè)中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260. ----------8分所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）件數(shù)在[100，200）.[200，300）的頻率分別為0.1，0.5頻率之比為1:5，所抽取的件中，在[100，200）的件數(shù)為，在的件數(shù)為. ----------12分19. 【解析】（1），又∵，∴......................6分（2）由（1）知 ............................ 10分      因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.................................12分 20．【解析】   （1），-------2分又，所以，               ----------4分故所以對(duì)的回歸直線方程為：．                     ------------6分（2）設(shè)獲得利潤(rùn)為，，                             ------------9分因?yàn)槎魏瘮?shù)的開(kāi)口向下，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．     ---------12分 21．【解析】∵在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC為等邊三角形．∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD 平面PBD，∴PD⊥BC．----------6分（2）由（1）知，，故故得點(diǎn)B到面PCD的距離為 ----------12分22.【解析】（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為.-------4分（2）①由題意知，直線的方程為，即，∴圓心到直線的距離為，∴.----------8分②∵圓上存在點(diǎn)，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線的距離為，又直線的方程為，即，∴，解得. ----------12分

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