2020-2021學(xué)年江西省贛州市南康中學(xué)高一上學(xué)期第一次大考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知全集，集合，集合，則集合（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,,則,故選B.【考點(diǎn)】本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算. 2．下面各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是（   ）A．  與  B． 與 C． 與  D． 與 【答案】B【解析】對(duì)于A：兩函數(shù)的值域不同； 對(duì)于B:兩函數(shù)的三要素完全相同，故為同一函數(shù)； 對(duì)于C:兩函數(shù)與的定義域不同； 對(duì)于D：兩函數(shù)的定義域不同；故選項(xiàng)為B.3．已知集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（  ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因?yàn)?/span>，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個(gè)數(shù)，即有個(gè)，故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個(gè)數(shù)時(shí)，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數(shù)個(gè)數(shù)即可.來(lái)年要注意集合的交集運(yùn)算，考查頻度極高.4．在映射,,; ，則N中元素（4,5）的原像為（   ）A．（4,1） B．（20，1） C．（7,1） D．（1,4）或（4,1）【答案】A【解析】由可得：或 ；又,則，所以原像為（4,1），故選A.5．已知集合，集合，則與的關(guān)系是（    ）A． B． C． D．?且?【答案】C【解析】用列舉法分別列舉兩個(gè)集合中的元素，觀察規(guī)律可知，集合S是集合T的子集．【詳解】集合S=，集合T=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩集合間的基本關(guān)系以及集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題目．6．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò).對(duì)于B，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B對(duì).對(duì)于C，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò).對(duì)于D，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的單調(diào)性，此類(lèi)問(wèn)題一般根據(jù)函數(shù)解析式的具體形式求出單調(diào)區(qū)間即可，本題屬于基礎(chǔ)題.7．設(shè)，則（    ）A．10 B．8 C．12 D．13【答案】B【解析】直接根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.8．是定義在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知,在每一段區(qū)間上都要單調(diào)遞減,并且在分段處,應(yīng)有,據(jù)此列式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是定義在上是減函數(shù),所以,求得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問(wèn)題,在分段函數(shù)中,除了每一段區(qū)間上都要單調(diào)遞減外,在分段處也應(yīng)滿足遞減的條件.9．已知函數(shù)，如果且，則它的圖象可能是( )A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)且即可判斷出與的符號(hào)，結(jié)合圖像即可得選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?/span>且則所以對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上，與y軸交點(diǎn)在原點(diǎn)下方對(duì)比函數(shù)圖像，D選項(xiàng)符合要求所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與的關(guān)系，根據(jù)條件選擇函數(shù)圖像，關(guān)鍵是根據(jù)所給條件分析出的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．10．設(shè)M={a，b，c}，N={﹣2，0，2}，從M到N的映射滿足f（a）＞f（b）≥f（c），這樣的映射f的個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】由題意及映射概念逐一寫(xiě)出滿足條件的映射后可得答案．【詳解】∵，∴a對(duì)應(yīng)2時(shí)，b對(duì)應(yīng)0，c對(duì)應(yīng)0或?2，有2個(gè)映射；a對(duì)應(yīng)2時(shí)，b對(duì)應(yīng)?2，c對(duì)應(yīng)?2，有1個(gè)映射；a對(duì)應(yīng)0時(shí)，b對(duì)應(yīng)?2，c對(duì)應(yīng)?2，有1個(gè)映射．綜上，滿足條件的映射個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查映射的概念，考查理解和運(yùn)用的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義確定出各種對(duì)應(yīng)的情況，通過(guò)列舉得到結(jié)果．11．已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)為上的增函數(shù)可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，故在上為增函數(shù)，令，則該函數(shù)在上為增函數(shù)且在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在，不合題意，舍；當(dāng)時(shí)，則，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，此類(lèi)問(wèn)題，一般利用“同增異減”的原則來(lái)處理，注意外函數(shù)定義域的要求，如本題中需在上恒成立，本題屬于中檔題.12．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定義函數(shù)f（x）=x﹣[x]，則下列命題中正確的是　　①函數(shù)f（x）的最大值為1；    ②函數(shù)f（x）的最小值為0；③方程有無(wú)數(shù)個(gè)根；     ④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．A．②③ B．①②③ C．② D．③④【答案】A【解析】本題考查取整函數(shù)問(wèn)題，在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義，根據(jù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果．【詳解】畫(huà)出函數(shù)f(x)=x?[x]的圖象，如下圖所示．由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故①不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故②正確；函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③正確；函數(shù)f(x)有增有減，故④不正確．故答案為②③．【點(diǎn)睛】本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．  二、填空題13．設(shè)集合，．若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以為方程的解，則，解得，所以，，集合．14．已知集合，則__________．【答案】【解析】由集合，得出，，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由集合，得出，，解得，，當(dāng)，時(shí)， ，滿足題意，此時(shí);當(dāng)，時(shí)， ，滿足題意，此時(shí).故答案為： .【點(diǎn)睛】本題考查集合相等，屬于基礎(chǔ)題.15．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________．【答案】【解析】【詳解】函數(shù)，有：解得或.令，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為,所以在上單減，單增，所以增區(qū)間是.答案為：.16．已知函數(shù).記，.則________.【答案】42【解析】根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)先得到，然后將兩式相加可得到的值．【詳解】由題意得，∴．故答案為42． 三、解答題17．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?/span>，已知集合，，全集為.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用偶次根式下被開(kāi)方數(shù)大于等于零、分式分母不為零，求解出的定義域，然后根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念與運(yùn)算求解出；（2）先計(jì)算出的結(jié)果，然后根據(jù)寫(xiě)出的取值范圍.【詳解】（1）或    ； （2）即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算以及根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求解參數(shù)范圍，其中涉及到具體函數(shù)求解定義域的問(wèn)題，難度較易.18．已知集合，或.（1）當(dāng)時(shí)，集合的元素中整數(shù)有多少個(gè)？（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）3個(gè)；（2）.【解析】（1）時(shí)，求出集合，從而求出，由此能求出中的整數(shù)的個(gè)數(shù)．（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，由此能求出的取值范圍．【詳解】解：（1），集合，或，．故中的整數(shù)元素有，共3個(gè).（2）因?yàn)?/span>，所以則，即則或或綜上，的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．19．已知二次函數(shù)滿足 試求：（1）求 的解析式；             （2）若，試求函數(shù)的值域.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：(1) 設(shè)，則有 ，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得方程組，解方程組即可得結(jié)果；(2) 由(1)可得在 上遞減，在遞增，又，，比較大小即可得結(jié)果.試題解析：（1）設(shè)，則有，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，，解之得，.（2）由(1)可得在 上遞減，在遞增，又，,所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.20．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②.(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？【答案】（1）；（2）當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，約為8.5萬(wàn)元.【解析】試題分析：⑴設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)圖象，即可求得答案；⑵確定總利潤(rùn)函數(shù)，換元，利用配方法可求最值；解析：(1)根據(jù)題意可設(shè)，．則f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 (x≥0). (2)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18－x)萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元．則y＝ (18－x)＋2，0≤x≤18令＝t，t∈[0,3]，則y＝ (－t2＋8t＋18)＝－ (t－4)2＋. 所以當(dāng)t＝4時(shí)，ymax＝＝8.5， 此時(shí)x＝16,18－x＝2.所以當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，約為8.5萬(wàn)元.21．已知函數(shù)（1）若，試判斷并用定義證明的單調(diào)性；（2）若，求的值域.【答案】（1）增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）代入，然后利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）利用（1）得出的單調(diào)性求出值域即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，且， 在是單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：任取且則=，因?yàn)?/span>且，所以，，，在上是單調(diào)遞增函數(shù).（2）由（1）知在上是單調(diào)遞增函數(shù)，  的值域?yàn)?/span>.【點(diǎn)睛】本題考查了用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.22．設(shè)定義在上的函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，且，當(dāng)時(shí)，.（1）證明：在上是單調(diào)遞減的函數(shù)；（2）試問(wèn)：當(dāng)時(shí)，是否有最值?如果有，求出最值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）有最值，最大值是3，最小值是0；（3）.【解析】（1）任意實(shí)數(shù)，且，不妨設(shè)，利用差比較法，計(jì)算，可得函數(shù)為減函數(shù)；（2）在上單調(diào)遞減，所以有最大值，有最小值．利用賦值法求出；（3）化簡(jiǎn)不等式得，利用單調(diào)性可求得答案.【詳解】（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，且，不妨設(shè)，其中， 則，∴，故在上單調(diào)遞減.（2）∵在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值.在中，令，得，故，，所以.故當(dāng)時(shí)，的最大值是3，最小值是0.（3）由原不等式，得，即，由得.∵在上單調(diào)遞減，∴，的解集是【點(diǎn)晴】本題主要考查抽象函數(shù)單調(diào)性的證明．證明出單調(diào)性后利用單調(diào)性求解最值和利用單調(diào)性解不等式. 

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