2020北京延慶區(qū)高三3月模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

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2020北京延慶區(qū)高三一模 數(shù) 學(xué) 2020.3 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將答題紙交回。 第一部分（選擇題，共40分） 一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1. 已知復(fù)數(shù)是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 A. B. C. D. 2. 已知向量若與方向相同，則等于 A. B. C. D. 3. 下列函數(shù)中最小正周期為的函數(shù)是 A. B. C. D. 4. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)的是 A. B. C. D. 5.某四棱錐的三視圖所示，已知該四棱錐的體積為, ，則它的表面積為 A. 8 B. 12 C. D. 20 6. 的展開式中，的系數(shù)是 A. 160 B. 80 C. 50 D. 10 7. 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于 A. B. C. D. 8. 已知直線，平面，那么“”是“”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 9.某企業(yè)生產(chǎn)兩種型號(hào)的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為萬支和萬支，為了擴(kuò)大再生產(chǎn)，決定對(duì)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，預(yù)計(jì)改造后的兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率分別為和，那么至少經(jīng)過多少年后，產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過產(chǎn)品的年產(chǎn)量（取） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 10. 已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且則的面積為 A. B. C. D. 第二部分（非選擇題，共110分） 二、填空題共5小題，每小題 5 分，共 25 分。 11. 已知集合,且則的取值范圍是 12. 經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程是 13. 已知函數(shù)則 14. 某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)連續(xù)三天出售商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4 種，則該網(wǎng)店第一天售出但第二天未售出的商品有 種；這三天售出的商品至少有 種. 15. 在中，是邊的中點(diǎn).若，則的長(zhǎng)等于 ；若，則的面積等于 . 三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 16.（本小題14分） 如圖，四棱錐的底面是正方形，是的中點(diǎn)，平面，是棱上的一點(diǎn)，平面. （Ⅰ）求證：是的中點(diǎn)； （Ⅱ）求證：和所成角等于 17.（本小題14分） 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是的前項(xiàng)和，， . （Ⅰ）判斷是否是數(shù)列中的項(xiàng)，并說明理由； （Ⅱ）求的最值. 從 ①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并作答. 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。 18. （本小題14分） 三個(gè)班共有名學(xué)生，為調(diào)查他們的上網(wǎng)情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）： （Ⅰ）試估計(jì)班的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）從這120名學(xué)生中任選1名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過15小時(shí)的概率； （Ⅲ）從A班抽出的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，從B班抽出的7名學(xué)生中隨機(jī)選取1人，求這3人中恰有2人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過15小時(shí)的概率. 19. （本小題14分） 已知函數(shù)其中 （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程； （Ⅱ）若函數(shù)在上存在最大值和最小值，求a的取值范圍. 20.（本小題15分） 已知橢圓的左焦點(diǎn)為且經(jīng)過點(diǎn)分別是的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且與線段交于點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若，求直線的方程； （Ⅲ）若的面積是的面積的倍，求直線的方程. 21.（本小題14分） 在數(shù)列中，若且則稱為“數(shù)列”。設(shè)為“數(shù)列”，記的前項(xiàng)和為 （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）證明：中總有一項(xiàng)為或.  2020北京延慶區(qū)高三一模數(shù)學(xué) 參考答案 一、選擇題: （每小題4分，共10小題，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. C 2．D． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空題: （每小題5分，共5小題，共25分） 11．； 12. ； 13．； 14．； 15．. 10. 考察知識(shí)：雙曲線的定義和性質(zhì)（對(duì)稱性、漸近線、離心率），平行四邊形的定義和性質(zhì)（相鄰內(nèi)角互補(bǔ)），三角形的性質(zhì)（余弦定理、面積公式）. 15. 在中，，在中，， 相除得：， 所以， 所以. 三、解答題：（共6小題，共85分. 解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟.） 16.（Ⅰ）聯(lián)結(jié)，設(shè)與交于，聯(lián)結(jié)， …………1分 因?yàn)?平面， 平面平面=, 所以 …………4分 因?yàn)?是正方形， 所以 是的中點(diǎn) 所以 是的中點(diǎn) …………6分 （Ⅱ）（法一）因?yàn)?平面， 所以 …………7分 因?yàn)?是正方形， 所以 因?yàn)? 所以 平面 …………10分 所以 因?yàn)? 因?yàn)? 所以 平面 …………13分 因?yàn)?平面 所以 所以 與成角. …………14分 （法二）連接， 因?yàn)?平面， 所以 ， . ………7分 因?yàn)?是正方形， 所以 . 所以 兩兩垂直. 以分別為、、建立空間直角坐標(biāo)系.………8分 則，，，， ………9分 ，, ………10分 （………1分） ………13分 所以所以 與成角. ………14分 17. 解：選 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① （Ⅰ）因?yàn)椋?所以 …………2分 所以 …………4分 所以 …………6分 令 ，則 此方程無正整數(shù)解 所以不是數(shù)列中的項(xiàng). …………8分 不能只看結(jié)果； 某一步驟出錯(cuò)，即使后面步驟都對(duì)，給分不能超過全部分?jǐn)?shù)的一半； 只有結(jié)果，正確給1分. （Ⅱ）（法一）令， 即 ，解得： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， …………11分 當(dāng)時(shí)，的最小值為.…13分 無最大值 …………14分 只給出最小值-26，未說明n=4扣1分. 無最大值 …1分 （Ⅱ）（法二）， …………11分 當(dāng)時(shí)，的最小值為.…13分 無最大值 …………14分 選 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② （Ⅰ）， …………2分 …………4分 …………6分 令 ，則 解得 是數(shù)列中的第512項(xiàng). …………8分 （Ⅱ）令， 即 ，解得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， …………11分 當(dāng)或時(shí)，的最小值為 . …………13分 無最大值 …………14分 選 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③ （Ⅰ）， …………2分 …………4分 …………6分 令 ，則（舍去） 不是數(shù)列中的項(xiàng). …………8分 （Ⅱ）令， 即 ，解得： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， …………11分 當(dāng)或時(shí)，的最大值為 . …………13分 無最小值. …………14分 18．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由題意知，抽出的20名學(xué)生中，來自班的學(xué)生有名．根據(jù)分層抽樣 方法，班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為． …………3分 只有結(jié)果36扣1分 （Ⅱ）設(shè)從選出的20名學(xué)生中任選1人，共有20種選法，…………4分 設(shè)此人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過15小時(shí)為事件D, 其中D包含的選法有3+2+4=9種， …………6分 . …………7分 由此估計(jì)從120名學(xué)生中任選1名，該生一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過15小時(shí)的 概率為. ……………8分 只有結(jié)果而無必要的文字說明和運(yùn)算步驟，扣2分. （Ⅲ）設(shè)從班抽出的6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，其中恰有人一周上網(wǎng)超過15小時(shí)為事件,從班抽出的7名學(xué)生中隨機(jī)選取1人，此人一周上網(wǎng)超過15小時(shí)為事件 則所求事件的概率為： . ……………14分 （Ⅲ）另解：從A班的6人中隨機(jī)選2人，有種選法，從B班的7人中隨機(jī)選1人，有種選法， 故選法總數(shù)為：種 ……………10分 設(shè)事件“此3人中恰有2人一周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)超過15小時(shí)”為， 則中包含以下情況： （1）從A班選出的2人超15小時(shí)，而B班選出的1人不超15小時(shí)， （2）從A班選出的2人中恰有1人超15小時(shí)，而B班選出的1人 超15小時(shí)， ……………11分 所以. ……………14分 只有，而無文字說明，扣1分 有設(shè)或答，有，給3分 19．（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：. 切線的斜率； 曲線在原點(diǎn)處的切線方程為：. ……………5分 （Ⅱ） ……………7分 （1）當(dāng) 則 ……………9分 法1： ……………10分 在恒成立， . ……………13分 所以的取值范圍為. ……………14分 法2：； ……………10分 當(dāng)時(shí)，，， ； 即時(shí)，； 時(shí)， ， 所以的取值范圍為. ……………14分 用趨近說：，論述不嚴(yán)謹(jǐn)，扣1分. （2）當(dāng). 則 法1：. 在恒成立， . 綜上：的取值范圍是. 法2：； 當(dāng)時(shí)，，， ；（論述不嚴(yán)謹(jǐn)，扣1分） 即時(shí)，；時(shí)， ， 綜上：的取值范圍是. 20．（本小題滿分15分） 解：（Ⅰ）法一：依題意可得解得 （試根法） 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …3分 法二：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則， ， ， ， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …3分 （Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以直線的斜率存在， …4分 設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)直線 與該橢圓的交點(diǎn) 為 由可得， …5分 易知，且， …6分 則 …7分 ， 所以(負(fù)舍)，所以直線的方程為. …8分 用到原點(diǎn)距離公式（未用弦長(zhǎng)公式）按照相應(yīng)步驟給分， 設(shè)點(diǎn)， 又 解得： 所以直線的方程為，即. （Ⅲ）設(shè)，，則，易知，. 由，，所以直線的方程為. …9分 若使的面積是的面積的4倍，只需使得， …10分 法一：即  = 1 \* GB3 ① . …11分 設(shè)直線的方程為，由 得， …12分 由 得，， …13分 代入 = 1 \* GB3 ①可得，即：（約分后求解） 解得，所以. …15分 法二：所以，即. …11分 設(shè)直線的方程為，由 得， …12分 所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， …13分 代入可得，即： 解得， 所以. …15分 法三：所以，即. …11分 點(diǎn)在線段上，所以，整理得， = 1 \* GB3 ① …12分 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以， = 2 \* GB3 ② 把 = 1 \* GB3 ①式代入 = 2 \* GB3 ②式可得，解得. …13分 于是，所以，. 所以，所求直線的方程為. …15分 21.解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，中的各項(xiàng)依次為， 所以. …………………………3分 （Ⅱ） = 1 \* GB3 ① 若是奇數(shù)，則是偶數(shù)，， 由，得，解得，適合題意.  = 2 \* GB3 ② 若是偶數(shù)，不妨設(shè)，則. 若是偶數(shù)，則，由，得，此方程無整數(shù)解； 若是奇數(shù)，則，由，得，此方程無整數(shù)解. 綜上，. …………………………8分 （Ⅲ）首先證明：一定存在某個(gè)，使得成立. 否則，對(duì)每一個(gè)，都有，則在為奇數(shù)時(shí)，必有； 在為偶數(shù)時(shí)，有，或. 因此，若對(duì)每一個(gè)，都有，則單調(diào)遞減， 注意到，顯然這一過程不可能無限進(jìn)行下去， 所以必定存在某個(gè)，使得成立. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，或，或時(shí)，中出現(xiàn)； 當(dāng)時(shí)，中出現(xiàn)， 綜上，中總有一項(xiàng)為或. …………………………14分 班班班0（0，）（）0遞增遞減0（0，）（）-0+遞減遞增