理科數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A 11．B 12．D
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．1 14．24015．①或③16．
三、解答題（本題共6小題，共70分. 解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
（一）必考題（共60分）
17．（本小題滿分12分）
解：（1）由，得
由正弦定理，得，即,
所以，又，則
（2）因?yàn)?，所? 所以△ABC為等腰三角形，且頂角.
因?yàn)?，所?在△MAC中，，，，
所以，解得 .
18．（本小題滿分12分）
解：（1）證明：∵長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，∴，則.
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴；
（2）取AM中點(diǎn)，連接，則平面，
以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)，
，
.
設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為，則，取，得.由，解得.∴為上靠近點(diǎn)的處.
19．（本小題滿分12分）
解：(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝.
(2)X的所有可能值為0，1，2，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝.
綜上可知，X的分布列為
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(個(gè))．
20．（本小題滿分12分）
解：(1)由橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程為y＝x＋c，其中c＝.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡(jiǎn)，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝.
因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|. 即＝|x2－x1|.
則＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.
21．（本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，又，
則在處的切線方程為：，即．
（2），
又，設(shè)，，
，
因，故，
又，故對(duì)恒成立，即在區(qū)間單調(diào)遞增；
又，；
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)恰好有個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；
綜上結(jié)論得證．
（二）選考題（共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分）
22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
解：（1）由得
∴：； ：.
（2）代入得，∴ .
23．[選修4－5：不等式選講](10分)
解：（1）由，可得，
所以，
由題意得， 所以m=2.
（2）若恒成立，則有恒成立，
因?yàn)椋?
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以m＜3.
X
0
1
2
P

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