湖北山東部分重點中學2021屆高三12月教學質量聯(lián)合檢測數(shù)學試題 注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、考生號、座號填寫在相應位置，認真核對條形碼上的姓名、考生號和座號，并將條形碼粘貼在指定位置上。2.選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用0.5毫米黑色簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。保持卡面清潔，不折疊、不破損。 一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（原創(chuàng)，易）已知集合則（   ）A.   B.   C.   D.2.（原創(chuàng)，易）已知直線則“”是“⊥”的（  ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件  C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.（原創(chuàng)，易）已知雙曲線的兩條漸近線的斜率之積等于，則雙曲線的離心率為（   ）A.   B.   C.   D.4.（改編，易）下列關于的關系中為函數(shù)的是（   ）A.   B.    C.       D.5.（改編，易）已知，、的大小關系為（   ）A.  B.  C.  D.6.（原創(chuàng)，中）在△ABC中，已知，則＝（  ）A.1   B.3   C.2   D.7.（原創(chuàng)，中）已知數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則稱為“和諧數(shù)列”，若數(shù)列為“和諧數(shù)列”，則的取值范圍為（   ）A.  B.  C.  D.8.（改編，中）已知在正三棱錐A-BCD中，E為AD的中點，AB⊥CE，則正三棱錐A-BCD的表面積與該三棱錐的外接球的表面積的比為（   ）A.   B.   C.  D. 二、多項選擇題：本大題共包括4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，至少有兩個選項符合題意，全對得5分，漏選得3分，選錯不得分.9.（原創(chuàng)，易）若復數(shù)滿足，則（   ）A.   B.是純虛數(shù)C.復數(shù)在復平面內對應的點在第三象限  D.若復數(shù)在復平面內對應的點在角的終邊上， 10.（原創(chuàng)，中）如圖正方體，取正方體六個面的中心G，H，M，N，E，F將其連接起來就得到了一個正八面體，下面說法正確的是（   ）A.∥平面FMNB.EM與平面GHMN所成角為C.平面FMN⊥平面FGHD.平面FHM∥平面EGN11.（原創(chuàng)，易）設角的頂點與坐標原點O重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊與單位圓交點為則下列命題正確的是（   ）A.    B.為偶函數(shù)，為奇函數(shù)C.D.均為單調遞增函數(shù)12.（原創(chuàng)，中）已知函數(shù)（   ）A.函數(shù)  B.函數(shù)C.D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.（改編，易）已知圓的距離為1，則實數(shù)＝         .14.（原創(chuàng)，中）學數(shù)學的人重推理愛質疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃。欲將輕騎逐，大雪滿弓刀?！边@是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情。這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當代著名數(shù)學家華羅庚以數(shù)學家特有的敏感和嚴密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的一些疑點，并寫詩質疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸。月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了以下猜想（n＝0，1，2，...）是質數(shù)，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算出不是質數(shù).現(xiàn)設，則數(shù)列的前n項和＝            .15.（原創(chuàng)，中）已知拋物線的直線交拋物線于A，B兩點，且拋物線的準線方程為          ；的值為          .（本題第一空2分，第二空3分）16.（改編，難）如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面c米的C處看此樹，則距離此樹         米時，看A、B的視角（）最大.（結果用a，b，c表示）四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（原創(chuàng)，易）（本題滿分為10分）在△ABC中，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足再從條件①條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：（I）a的值；（II）△ABC的面積；條件①：；條件②：注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分. 18.（改編，易）（本題滿分為12分）   近年來，中美貿易摩擦不斷，美國對我國華為百般刁難，并拉攏歐美一些國家抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步。今年，我國華為某企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產某款新手機.通過市場分析，生產此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產x千部手機，需另投入成本R（x）萬元，且R(x)＝由市場調研知，每部手機的售價為0.7萬元，且全年內生產的手機當年能全部銷售完.（I）求2020年的利潤W（x）（萬元）關于年產量x（千部）的函數(shù)關系式（利潤＝銷售額－成本）.（II）2020年產量為多少時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少?  19.（原創(chuàng)，中）（本題滿分為12分）   已知圓臺，軸截面ABCD，圓臺的上底面圓半徑與高相等，下底面圓半徑為高的兩倍，點E為下底圓弧CD的中點，點N為上底圓周上靠近點A的的四等分點，經過O1，O2，N三點的平面與弧CD交于點M，且E，M，N三點在平面ABCD的同側.（I）判斷平面與直線CE的位置關系，并證明你的結論；（II）P為上底圓周上的一個動點，當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求異面直線CP與DB所成角的余弦值.  20.（原創(chuàng)，中）（本題滿分為12分）   已知是等差數(shù)列，其前n項和為是正項等比數(shù)列，且＝13，.（I）求數(shù)列與的通項公式；（II）若21.（原創(chuàng)，中）（本題滿分為12分）已知橢圓P，Q兩點，過原點O與線段PQ中點E的直線的斜率為（I）求橢圓C的離心率；（II）若橢圓C的短軸長為△APQ的面積. 22.（改編，難）（本題滿分為12分）   已知函數(shù)（I）求的取值范圍；（II）設證明：.       湖北山東部分重點中學2021屆高三12月教學質量聯(lián)合檢測數(shù)學試題參考答與評分標準 1.【答案】D【解析】由題意可得即集合又集合所以【考點】集合的交集運算、函數(shù)的定義域.2.【答案】A【解析】因為當⊥時，有“⊥”，但“⊥”不能推出“”，故“”是“⊥”的充分不必要條件，故選A.【考點】直線與直線垂直的等價條件、 一元二次方程的解、充分條件和必要條件的判斷.3.【答案】 A【解析】因為雙曲線C的漸近線方程為所以，所以【考點】雙曲線的漸近線、離心率.4.【答案】D【解析】對于A，定義域需滿足即，不能滿足函數(shù)的定義，故B不是函數(shù)；對于C，不能滿足函數(shù)的定義，故C不是函數(shù)；對于D，滿足構成函數(shù)的要素，故D是函數(shù)，故選D.【考點】構成函數(shù)的要素.5.【答案】D【解析】，     【考點】指數(shù)與對數(shù)比較大小6.【答案】B【解析】⊥，A＝. 則△ABC中，故選B.【考點】向量的線性運算、向量垂直的判定、平面向量的數(shù)量積.7.【答案】B【解析】當＝0時，顯然滿足；當時，＝由可得，由恒成立，可得. 綜上可知，，故選B.【考點】等比數(shù)列的通項公式和前項和.8.【答案】D【解析】正三棱錐A-BCD中，AB⊥CD，AB⊥CE，AB⊥平面ACD，AB⊥AC，AB⊥AD，三條側棱兩兩相互垂直，設可得正三棱錐A-BCD的表面積為設外接球的半徑為R，則2R＝，則外接球的表面積所以兩表面積的比為故選D.【考點】正三棱錐的性質、三棱錐的表面積、三棱錐的外接球、球的表面積.9.【答案】AB【解析】由題意，復數(shù)滿足，所以故選項A正確；是純虛數(shù)，故選項B正確；復數(shù)在復平面內對應點的坐標為（2，4）位于第一象限，故選項C錯誤；因為在復平面內對應的（2，4）在角的終邊上，所以故選項D錯誤，故選AB.【考點】復數(shù)的幾何意義、復數(shù)的概念、三角恒等變換.10.【答案】ABD【解析】連接根據正方體六個面的中心分別為點G,H,M,N,E,F,可得EH∥C1D.同理可證FN∥C1D，則EH∥FN.因為FN平面FMN，平面FMN，所以EH∥平面FMN，故選項A正確；由題意知，四邊形GHMN為正方形，設（點O同時是正方體和正八面體的中心），連接EO，則∠EMO即為EM與平面GHMN所成角.由長度關系可得∠EMO＝，故選項B正確；連接BD.由題意知BD過點F，則平面且GH∥∥.取GH，NM的中點S，T，連接ST，FS，FT.因為△△都為等邊三角形，所以∠即為平面與平面所成的二面角.由余弦定理可得∠，故選項C錯誤；由以上證明可知，GN∥.因為平面所以∥平面EGN.又因為EG∥AC1，FM∥AC1，所以EG∥FM.因為EG平面EGN，FM平面EGN，所以FM∥平面EGN.因為FMHM＝M,所以平面FHM∥平面EGN，故選項D正確，故選ABD.【考點】空間中線面的位置關系、正八面體、直線與平面所成角.11.【答案】BC【解析】由任意角三角函數(shù)的定義可知，故選項A錯誤；由于為偶函數(shù)，由于，，因此兩個函數(shù)的最大值均為，故選項C正確；由于上單調遞減，故選項D錯誤，故選BC.【考點】三角函數(shù)的定義和性質、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質.12.【答案】ABC【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，當時，函數(shù)只有1個零點；當有2個零點；當時，函數(shù)只有1個零點，故選項A，B正確；當時，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，故選項C正確；當時，該方程有兩個解；當方程有兩個解，所以方程4個不同實數(shù)根，故選項D錯誤.綜上，故選ABC.【考點】函數(shù)的零點、單調性、函數(shù)的圖象與性質.13.【答案】【解析】【考點】直線與圓的位置關系.14.【答案】【解析】【考點】對數(shù)運算、數(shù)列的前n項和、新定義.15.【答案】【解析】拋物線所以拋物線方程為準線為如圖，取AF的中點為C，分別過點A，C，F，B作準線的垂線，垂足分別為M，Q，P，N.由.設又,解得所以【考點】拋物線的定義、準線方程與幾何性質.16.【答案】【解析】過點C作CD⊥AB，交AB延長線于點D.設∠∠在△BCD中，在△ACD中，則       （當且僅當時取等）【考點】解三角形的應用、均值不等式.17.條件①：；條件②：注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】若選擇條件①：(II)若選擇條件②：(I)(II)                 【考點】正、余弦定理，三角形面積公式，三角恒等變換.18.【解析】（I）當……………………………………2分     當                    ………………………………………5分  …………………………………………6分（II）若    …………………………………………………8分若…………10分當且僅當………………………………11分2020年產量為100（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.……………………………………………………12分【考點】函數(shù)的表示方法、均值不等式、二次函數(shù)及函數(shù)模型的應用。19.【解析】（I）…………………………………………1分    （II）當四棱錐P-ABCD的體積最大時，也就是點P到平面ABCD的距離最大，此時點P為上底圓周上的中點.    設圓臺的上底面圓的半徑為r，則高為r，以點O2為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則……………7分 ……………………………8分 ……………9分 異面直線CP與DB所成角的余弦值為………………10分當點P在的另一側中點時，異面直線CP與DB所成角的余弦值也是……11分異面直線CP與DB所成角的余弦值為…………………………12分【考點】圓臺的結構特征、空間中線面的位置關系、異面直線所成角.20.【解析】（I）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，        （II）由（I）得   由①-②得        ＝     又        ＝   【考點】等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法求前n項和.21.【解析】（I）設則橢圓C的方程為消去    （本問也可以用“點差法”直接求得（II）                點△【考點】橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關系.22.【解析】（I）          （II） 【考點】導數(shù)與不等式.  

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