立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系．本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生以長方體為載體，認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進(jìn)行論證；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計算等認(rèn)識和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念．學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比的方法理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會平面向量和空間向量的共性和差異，運(yùn)用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運(yùn)用向量方法解決筒單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題，感悟向量是研究幾何問題的有效工具．內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、空間向量的應(yīng)用．1．基本立體圖形①利用實(shí)物、計算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．②知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題．③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合）的直觀圖．2．基本圖形位置關(guān)系①借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解以下基本事實(shí)（基本事實(shí)1~4也稱公理）和定理．基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．②從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理，并加以證明．◆一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．◆兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行．◆垂直于同一個平面的兩條直線平行．◆兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．③從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明．◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行．◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．◆如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．3．空間直角坐標(biāo)系①在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，了解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置．②借助特殊長方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式．4．空間向量及其運(yùn)算①經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念．②經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程．5．向量基本定理及坐標(biāo)表示①了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．②掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示．④了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）．6．空間向量的應(yīng)用①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量．②能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系．③能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理．④能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用．  1．【2020·全國高考真題（理）】已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為，則O到平面的距離為（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得．設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得，，球心到平面的距離，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面．2．【2020全國Ⅱ卷】下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，根據(jù)立體圖形可得，根據(jù)勾股定理可得，是邊長為的等邊三角形，根據(jù)三角形面積公式可得，該幾何體的表面積是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．  一、單選題．1．設(shè)，是兩平面，，是兩直線．下列說法正確的是（    ）①若，，則②若，，則③若，，則④若，，，，則A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①對；垂直于同一平面的兩條直線平行，故②對；垂直于同一直線的兩個平面平行，故③對；由面面垂直性質(zhì)定理知④對，故選D．2．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（    ）A．4 B．8 C． D．【答案】C【解析】根據(jù)幾何體的三視圖還原得到該幾何體的直觀圖為：該幾何體為三棱錐體．如圖所示：由于，，下底面為等腰直角三角形．可得，，，，所以該四面體四個面的面積中，最大的是，故選C．3．已知球面上，，三點(diǎn)，如果，且球的體積為，則球心到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑，則，所以，設(shè)外接圓的半徑，則由，所以，而，即，所以，故選D．4．如圖，正方體的棱長為，以下結(jié)論錯誤的是（    ）A．面對角線中與直線所成的角為的有8條B．直線與垂直C．直線與平行D．三棱錐的體積為【答案】C【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．對于A，，，，，∴，，∴，由于兩異面直線的夾角范圍是，∴異面直線與所成的角為，同理：正方體的六個面中除了平面與的面對角線外，其他的面對角線都與所成的角為，則共有8條，故A正確；對于B，，，，∴直線與垂直，故B正確；對于C，，∵，∴直線與垂直，不平行，故C錯誤；對于D，三棱錐的體積為，故D正確，綜上可知，只有C不正確，故選C．5．直三棱柱中，，，則異面直線和所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，，所以三角形是等邊三角形，取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)，則，，，，所以，，，，，所以異面直線和所成角的余弦值為，故選C．6．三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直，且，則其外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】空間四個點(diǎn)在同一球面上，兩兩垂直，且，則可看作是正方體的一個頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過空間四個點(diǎn)的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，長為，球心O到平面的距離為體對角線的，即球心O到平面的距離為．其外接球上的點(diǎn)到平面的距離的最大值為，故選B．7．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形．已知點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，且，則的邊邊上的高為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】∵直觀圖是等腰直角三角形，，，∴，根據(jù)直觀圖中平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?/span>，∴的邊上的高，故選D．8．如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】連，沿將展開與在同一個平面內(nèi)，連接，長度即是所求．∵直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，∴矩形是邊長為的正方形；則，另外；在矩形中，，，則；易發(fā)現(xiàn)，即，∴，則，故，故答案為B． 二、多選題．9．如圖，正方體的棱長為1，E，F，G分別為，，的中點(diǎn)，則（    ）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面的距離相等D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】BD【解析】對于A，取中點(diǎn)M，則為在平面上的射影，與不垂直，與不垂直，故A錯；對于B，取中點(diǎn)N，連接，，在正方體中，，，平面，平面，所以平面，同理可證平面，，所以平面平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，假設(shè)C與G到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于H，而H不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故C錯；對于D，在正方體中，，把截面補(bǔ)形為四邊形，由等腰梯形計算其面積，故D正確，故選BD．10．已知是兩個不重合的平面，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（    ）A．若，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則與所成的角和與所成的角相等【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：若，，則或，又，并不能得到這一結(jié)論，故選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B：若，，則由線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理可得，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：若，，則有面面平行的性質(zhì)定理可知，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：若，，則由線面角的定義和等角定理知，與所成的角和與所成的角相等，故選項(xiàng)D正確，故選BCD．11．如圖所示，在長方體，若，、分別是、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（    ）A．與垂直  B．平面C．與所成的角為 D．平面【答案】ABD【解析】連接、、，則為的中點(diǎn)，對于A選項(xiàng)，平面，平面，，、分別為、的中點(diǎn)，則，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，四邊形為正方形，則，又，，平面，，平面，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，易知為等邊三角形，則，，則與所成的角為，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，，平面，平面，平面，D選項(xiàng)正確，故選ABD．12．如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn)，若，，則（    ）A．B．異面直線與所成角的余弦值為C．異面直線與所成角的余弦值為D．平面【答案】AC【解析】A：因?yàn)閭?cè)棱底面，所以，因?yàn)?/span>是等邊三角形，，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，則，A正確；以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，B不正確，C正確；又因?yàn)?/span>，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，則，因?yàn)?/span>，且，所以若平面不成立，D不正確，故選AC． 三、填空題．13．在三棱錐中，底面，，，，，若E，F是的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值_________．【答案】【解析】如圖所示：以為軸，為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則，，則，，則，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為．14．如圖所示，已知平行六面體中，，，．為的中點(diǎn)，則長度為______．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以，，所以，故答案為．15．在直三棱柱中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，，，所以角為直角，又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，所以兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故答案為．16．如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．（1）則直線與平面所成角的余弦值為_______；（2）則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】，【解析】（1）在△PAD中，O為AD中點(diǎn)，所以，又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得；所以以O為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，得OA⊥平面POC，所以是平面POC的一個法向量，，，所以PB與平面POC所成角的余弦值為．（2），設(shè)平面PDC的法向量為，則，取z＝1，得，B點(diǎn)到平面PCD的距離．  

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