(新高考)高考數(shù)學一輪考點復習1.4《基本不等式》學案 (含詳解)-學案下載-教習網

1.結合作差法，了解基本不等式的證明過程，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2．結合求函數(shù)最值問題，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．
3．結合實際應用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．
[理清主干知識]
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．
2．幾個重要的不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(?1?a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,?2?\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,?3?ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,?4?\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq \a\vs4\al(當且僅當a＝b時,等號成立.)
3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq \f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq \r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq \r(p).(簡記：積定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq \f(p2,4).(簡記：和定積最大)
[澄清盲點誤點]
一、關鍵點練明
1．(求和的最值)已知x>0，y>0，xy＝16，則x＋y的最小值為( )
A．32 B．24
C．4eq \r(2) D．8
解析：選D 由基本不等式得x＋y≥2eq \r(xy)＝8，當且僅當x＝y(tǒng)＝4時等號成立．
2．(求積的最值)若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，則eq \r(xy)的最大值為( )
A．9 B．18
C．36 D．81
解析：選A 由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．
3．(基本不等式成立的條件)若x0，且ab＝1，則eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值為________．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(x2＋3x＋6,x＋1)＝eq \f(?x＋1?2＋?x＋1?＋4,x＋1)＝x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1，
∵x>0，∴x＋1>1，
∴x＋1＋eq \f(4,x＋1)＋1≥2eq \r(4)＋1＝5，
當且僅當x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1時取“＝”．
∴f(x)的最小值是5，故選D.
(2)依題意得eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2ab)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2 eq \r(\f(a＋b,2)×\f(8,a＋b))＝4，當且僅當eq \f(a＋b,2)＝eq \f(8,a＋b)，即a＋b＝4時取等號．因此，eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值為4.
[答案] (1)D (2)4
[方法技巧]
1．拼湊法求最值
拼湊法就是將相關代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危ㄟ^添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵．
2．拼湊法求解最值應注意的問題
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形；
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；
(3)拆項、添項時應注意檢驗利用基本不等式的條件．
考法(二) 常數(shù)代換法求最值
[例2] (1)已知函數(shù)y＝lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A.若直線mx＋ny＝2過點A，其中m，n是正實數(shù)，則eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值是( )
A．3＋eq \r(2) B．3＋2eq \r(2)
C.eq \f(9,2) D．5
(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．
[解析] (1)由y＝lga(x－1)＋2的圖象恒過定點A可知A(2,2)．所以2m＋2n＝2，所以m＋n＝1.
又因為m>0，n>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2 eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝3＋2eq \r(2)，
當且僅當n＝eq \r(2)m時，取等號．
(2)因為3a＋b＝2ab，所以eq \f(3,2b)＋eq \f(1,2a)＝1，又a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2b)＋\f(1,2a)))＝2＋eq \f(3a,2b)＋eq \f(b,2a)≥2＋eq \r(3)，當且僅當eq \f(3a,2b)＝eq \f(b,2a)時取等號，即a＋b的最小值為2＋eq \r(3).
[答案] (1)B (2)2＋eq \r(3)
[方法技巧]
1．常數(shù)代換法求最值的步驟
(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
2．常數(shù)代換法求解最值應注意的問題
(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎；
(2)已知等式化成“1”的表達式，是代數(shù)式等價變形的關鍵；
(3)利用基本不等式求最值時注意基本不等式的前提條件．
考法(三) 消元法求最值
[例3] 已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－ab＋4b2－c＝0，當eq \f(c,ab)取最小值時，a＋b－c的最大值為( )
A．2 B.eq \f(3,4)
C.eq \f(3,8) D.eq \f(1,4)
[解析] 根據題意得c＝a2－ab＋4b2，所以eq \f(c,ab)＝eq \f(a2－ab＋4b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(4b,a)－1≥2eq \r(4)－1＝3，當且僅當eq \f(a,b)＝eq \f(4b,a)，即a＝2b時取等號，所以a＋b－c＝2b＋b－4b2＋2b2－4b2＝－6b2＋3b＝－6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,4)))2＋eq \f(3,8)，所以當b＝eq \f(1,4)時，a＋b－c取得最大值eq \f(3,8)，故選C.
[答案] C
[方法技巧]
通過消元法求最值的方法
消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．
考法(四) 放縮法求最值
[例4] (1)已知正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的最小值是________．
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
[解析] (1)∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3(當且僅當a＝b＝3時等號成立)，∴(eq \r(ab))2－2eq \r(ab)－3≥0，∴(eq \r(ab)－3)(eq \r(ab)＋1)≥0，∴eq \r(ab)－3≥0，∴eq \r(ab)≥3，即ab≥9. ∴ab的最小值為9.
(2)∵x>0，y>0，
∴9－(x＋3y)＝xy＝eq \f(1,3)x·(3y)≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋3y,2)))2，
當且僅當x＝3y時等號成立．
設x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t>0，∴t≥6.
故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6.
[答案] (1)9 (2)6
[方法技巧]
放縮法解不等式求最值的方法
將所給代數(shù)式，利用基本不等式放大或縮小，構造出所求最值的代數(shù)式的結構，然后通過解不等式求出代數(shù)式范圍，從而求出代數(shù)式的最值．
考點二基本不等式在實際問題中的應用
[典例] 如圖，一個鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔擋的材料為鋁合金，寬均為6 cm，上欄與下欄的框內高度(不含鋁合金部分)的比為1∶2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28 800 cm2，設該鋁合金窗的寬和高分別為a cm，b cm，鋁合金窗的透光部分的面積為S cm2.
(1)試用a，b表示S；
(2)若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？
[解] (1)∵鋁合金窗寬為a cm，高為b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800. ①
設上欄框內高度為h cm，則下欄框內高度為2h cm，
則3h＋18＝b，∴h＝eq \f(b－18,3)，
∴透光部分的面積S＝(a－18)×eq \f(2?b－18?,3)＋(a－12)×eq \f(?b－18?,3)＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
(2)∵9a＋8b≥2eq \r(9a·8b)＝2eq \r(9×8×28 800)＝2 880，當且僅當9a＝8b時等號成立，此時b＝eq \f(9,8)a，代入①式得a＝160，從而b＝180，即當a＝160，b＝180時，S取得最大值．
∴鋁合金窗的寬為160 cm，高為180 cm時，可使透光部分的面積最大．
[方法技巧]
利用基本不等式求解實際應用題的方法
(1)此類型題目的題干往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題求解．
(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據變量的范圍用對應函數(shù)的單調性求解．
[針對訓練]
經調查測算，某產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2021年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2021年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；
(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
解：(1)由題意可知，當m＝0時，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，即x＝3－eq \f(2,m＋1)，
每1萬件產品的銷售價格為1.5×eq \f(8＋16x,x)(萬元)，
∴2021年的利潤y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m
＝28－eq \f(16,m＋1)－m(m≥0)．
∴利潤y表示為年促銷費用的函數(shù)關系式是y＝28－eq \f(16,m＋1)－m(m≥0)．
(2)由(1)知y＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋?m＋1?))＋29(m≥0)．
∵當m≥0時，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2 eq \r(\f(16,m＋1)·?m＋1?)＝8，
當且僅當eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3時取等號．
∴y≤－8＋29＝21，
即當m＝3時，y取得最大值21.
∴當該廠家2021年的促銷費用投入3萬元時，廠家獲得的利潤最大，為21萬元．
考點三基本不等式的綜合應用
[典例] (1)如圖，在△ABC中，eq \(CM,\s\up7(―→))＝2eq \(MB,\s\up7(―→))，過點M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點P，Q，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AQ,\s\up7(―→))＝neq \(AC,\s\up7(―→))，則mn＋m的最小值為( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．6 D．6eq \r(3)
(2)已知x>0，y>0，且eq \f(xy,2y＋3x)＝1，不等式eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[解析] (1)連接AM，由已知可得eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3m)eq \(AP,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3n)eq \(AQ,\s\up7(―→)).因為P，M，Q三點共線，所以eq \f(2,3m)＋eq \f(1,3n)＝1，所以mn＋m＝eq \f(2n＋m,3)＋m＝eq \f(2n,3)＋eq \f(4m,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2n,3)＋\f(4m,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3m)＋\f(1,3n)))＝eq \f(10,9)＋eq \f(4n,9m)＋eq \f(4m,9n)≥eq \f(10,9)＋2 eq \r(\f(4n,9m)×\f(4m,9n))＝2，當且僅當eq \f(4n,9m)＝eq \f(4m,9n)，即m＝n＝1時取等號，
所以mn＋m的最小值為2.故選A.
(2)不等式eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)≥m恒成立可轉化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(y,3)))min≥m.
由eq \f(xy,2y＋3x)＝1，得2y＋3x＝xy，即eq \f(2,x)＋eq \f(3,y)＝1.
因為x>0，y>0，所以eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(y,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(3,y)))＝eq \f(2y,3x)＋eq \f(3x,2y)＋2≥2 eq \r(\f(2y,3x)·\f(3x,2y))＋2＝4，
當且僅當eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2y,3x)＝\f(3x,2y)，,\f(2,x)＋\f(3,y)＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6))時取等號，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(y,3)))min＝4.
故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，4]．
[答案] (1)A (2)(－∞，4]
[方法技巧]
基本不等式的應用非常廣泛，它可以和數(shù)學的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：
(1)先根據所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉化為用基本不等式求解，這是難點；
(2)要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉化為能利用基本不等式的形式；
(3)檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．
[針對訓練]
1.如圖，三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝2，設點K是△ABC內一點，現(xiàn)定義f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分別是三棱錐K-PAB，K-PBC，K-PAC的體積，若f(K)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,3)，b))，則eq \f(3a＋b,ab)的最小值為________．
解析：由定義得a＋eq \f(1,3)＋b＝eq \f(1,3)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2))，∴a＋b＝1.∴eq \f(3a＋b,ab)＝eq \f(3,b)＋eq \f(1,a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,b)＋\f(1,a)))(a＋b)＝4＋eq \f(3a,b)＋eq \f(b,a)≥4＋2 eq \r(\f(3a,b)·\f(b,a))＝4＋2eq \r(3)(當且僅當b＝eq \r(3)a時取等號)，即最小值為2eq \r(3)＋4.
答案：2eq \r(3)＋4
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．
解析：依題意畫出圖形，如圖所示．
∵S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，∴eq \f(1,2)csin 60°＋eq \f(1,2)asin 60°＝eq \f(1,2)acsin 120°，
∴a＋c＝ac，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝1，
∴4a＋c＝(4a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝5＋eq \f(c,a)＋eq \f(4a,c)≥2 eq \r(\f(c,a)×\f(4a,c))＋5＝9.當且僅當2a＝c且eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝1，即a＝eq \f(3,2)且c＝3時取等號．故4a＋c的最小值為9.
答案：9
一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法
“1的代換”的妙用
1．若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq \f(y,x)＋eq \f(4,y)的最小值是________．
解析：因為正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，
所以eq \f(y,x)＋eq \f(4,y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(4x＋4y,y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)＋4≥2 eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＋4＝8，當且僅當eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)時取“＝”，
所以eq \f(y,x)＋eq \f(4,y)的最小值是8.
答案：8
2．已知a＞0，b＞0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，則3a＋2b＋eq \f(b,a)的最小值為________．
解析：∵a＞0，b＞0，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴3a＋2b＋eq \f(b,a)＝3aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋2beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \f(b,a)＝5＋eq \f(3a,b)＋eq \f(3b,a)≥5＋2eq \r(9)＝11，當且僅當a＝b＝2時取等號，∴3a＋2b＋eq \f(b,a)的最小值為11.
答案：11
3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝________.
解析：由題意知，(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.
因為tan 45°＝tan(20°＋25°)＝eq \f(tan 20°＋tan 25°,1－tan 20°tan 25°)＝1，
所以tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°.
所以(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2
eq \a\vs4\al([名師微點])
“1”的代換是通過在實際解題中，恰當運用“1”的整體性進行代換，結合相應的定理、公式，進而達到迅速解題的目的，常在不等式及三角函數(shù)中應用．
二、創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向
1．一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金，一位顧客到店里購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放在天平的左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5 g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次秤得的黃金交給顧客，你認為顧客購得的黃金( )
A．大于10 g B．大于等于10 g
C．小于10 g D．小于等于10 g
解析：選A 由于天平兩臂不等長，
可設天平左臂長為a(a>0)，右臂長為b(b>0)，則a≠b，
再設先稱得黃金為x g，后稱得黃金為y g，則bx＝5a，ay＝5b，∴x＝eq \f(5a,b)，y＝eq \f(5b,a)，
∴x＋y＝eq \f(5a,b)＋eq \f(5b,a)＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥5×2eq \r(\f(a,b)×\f(b,a))＝10，
當且僅當eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)，即a＝b時等號成立，但a≠b，等號不成立，即x＋y>10，
因此，顧客購得的黃金大于10 g.
2．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內經過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關，其公式為F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).
(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時；
(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時．
解析：(1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20×6.05)＝eq \f(76 000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq \f(76 000,2 \r(v·\f(121,v))＋18)＝1 900，
當且僅當v＝eq \f(121,v)，即v＝11時取等號．
∴最大車流量F為1 900輛/小時．
(2)當l＝5時，F(xiàn)＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20×5)＝eq \f(76 000,v＋\f(100,v)＋18)，
∴F≤eq \f(76 000,2 \r(v·\f(100,v))＋18)＝2 000，
當且僅當v＝eq \f(100,v)，即v＝10時取等號．
∴最大車流量比(1)中的最大車流量增加2 000－1 900＝100輛/小時．
答案：(1)1 900 (2)100
3．規(guī)定：“?”表示一種運算，即a?b＝eq \r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝eq \f(k?x,\r(x))的最小值為________．
解析：由題意得1?k＝eq \r(k)＋1＋k＝3，即k＋eq \r(k)－2＝0，
解得eq \r(k)＝1或eq \r(k)＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值為1.
又f(x)＝eq \f(1?x,\r(x))＝eq \f(\r(x)＋x＋1,\r(x))＝1＋eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥1＋2＝3，
當且僅當eq \r(x)＝eq \f(1,\r(x))，即x＝1時取等號，
故函數(shù)f(x)的最小值為3.
答案：1 3
4．已知eq \f(π,4)0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．
解析：由兩條直線互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq \f(1,2)(a·2b)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))2＝eq \f(1,8)，當且僅當a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)時取等號．故ab的最大值是eq \f(1,8).
答案：eq \f(1,8)
11．若關于x的不等式x＋eq \f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．
解析：∵x＋eq \f(4,x－a)＝x－a＋eq \f(4,x－a)＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.
則(x－a)＋eq \f(4,?x－a?)≥2 eq \r(?x－a?·\f(4,?x－a?))＝4，當且僅當x－a＝2即x＝a＋2時，上式取得最小值4，又∵x－a＋eq \f(4,x－a)≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.
答案：1
12．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若對于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是__________．
解析：對任意x∈N*，f(x)≥3，
即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8,x)))＋3.
設g(x)＝x＋eq \f(8,x)，x∈N*，則g(x)＝x＋eq \f(8,x)≥4eq \r(2)，
當x＝2eq \r(2)時等號成立，又g(2)＝6，g(3)＝eq \f(17,3)，
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq \f(17,3).∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq \f(8,3)，
∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,3)，＋∞))
13．(1)當x＜eq \f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq \f(8,2x－3)的最大值；
(2)設0＜x＜2，求函數(shù)y＝eq \r(x?4－2x?)的最大值．
解：(1)y＝eq \f(1,2)(2x－3)＋eq \f(8,2x－3)＋eq \f(3,2)＝－eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)＋eq \f(3,2).當x＜eq \f(3,2)時，有3－2x＞0，∴eq \f(3－2x,2)＋eq \f(8,3－2x)≥2 eq \r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，當且僅當eq \f(3－2x,2)＝eq \f(8,3－2x)，即x＝－eq \f(1,2)時取等號．
于是y≤－4＋eq \f(3,2)＝－eq \f(5,2)，故函數(shù)的最大值為－eq \f(5,2).
(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，
∴y＝eq \r(x?4－2x?)＝eq \r(2)·eq \r(x?2－x?)≤ eq \r(2)·eq \f(x＋2－x,2)＝eq \r(2)，
當且僅當x＝2－x，即x＝1時取等號，
∴當x＝1時，函數(shù)y＝eq \r(x?4－2x?)的最大值為eq \r(2).
14．運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時)．假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))升，司機的工資是每小時14元．
(1)求這次行車總費用y關于x的表達式；
(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值．
解：(1)設所用時間為t＝eq \f(130,x)(h)，
y＝eq \f(130,x)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq \f(130,x)，x∈[50,100]．
所以，這次行車總費用y關于x的表達式是y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x，x∈[50,100]
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或y＝\f(2 340,x)＋\f(13,18)x，x∈[50，100])).
(2)y＝eq \f(130×18,x)＋eq \f(2×130,360)x≥26eq \r(10)，
當且僅當eq \f(130×18,x)＝eq \f(2×130,360)x，即x＝18eq \r(10)時等號成立．
故當x＝18eq \r(10)千米/時時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26eq \r(10)元．
三、自選練——練高考區(qū)分度
1．已知函數(shù)f(x)＝lga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的圖象恒過定點A，若直線eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也經過點A，則3m＋n的最小值為( )
A．16 B．8
C．12 D．14
解析：選B 由題意，函數(shù)f(x)＝lga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，
∴圖象恒過定點A(－3，－1)．∵直線eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝－2(m＞0，
n＞0)也經過點A，∴eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)＝2，即eq \f(3,2m)＋eq \f(1,2n)＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2m)＋\f(1,2n)))＝eq \f(9,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(3n,2m)＋eq \f(3m,2n)≥2 eq \r(\f(3n,2m)·\f(3m,2n))＋5＝8(當且僅當n＝m＝2時，取等號)，∴3m＋n的最小值為8.
2．若實數(shù)x，y滿足x2y2＋x2＋y2＝8，則x2＋y2的取值范圍為( )
A．[4,8] B．[8，＋∞)
C．[2,8] D．[2,4]
解析：選A ∵x2y2≤eq \f(?x2＋y2?2,4)，∴x2y2＋x2＋y2＝8≤eq \f(?x2＋y2?2,4)＋(x2＋y2)(x2＝y(tǒng)2＝2時取等號)，
(x2＋y2－4)(x2＋y2＋8)≥0，∴x2＋y2≥4，
又x2y2≥0，∴x2＋y2≤8，∴x2＋y2∈[4,8]．
3.某縣一中計劃把一塊邊長為20米的等邊△ABC的邊角地開辟為植物新品種實驗基地，圖中DE需要把基地分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
(1)設AD＝x(x≥10)，ED＝y(tǒng)，使用x表示y的函數(shù)關系式；
(2)如果ED是灌溉輸水管道的位置，為了節(jié)約，ED的位置應該在哪里？求出最小值．
解：(1)∵△ABC的邊長是20米，D在AB上，
則10≤x≤20，S△ADE＝eq \f(1,2)S△ABC，
∴eq \f(1,2)x·AEsin 60°＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),4)·202，故AE＝eq \f(200,x).
在△ADE中，由余弦定理得，y＝ eq \r(x2＋\f(4·104,x2)－200)(10≤x≤20)．
(2)若DE作為輸水管道，則需求y的最小值，
∴y＝ eq \r(x2＋\f(4·104,x2)－200)≥eq \r(400－200)＝10eq \r(2)，
當且僅當x2＝eq \f(4·104,x2)即x＝10eq \r(2)米時“＝”成立，
∴DE的位置應該在AD＝10eq \r(2)，AE＝10eq \r(2)米處，
且DE的最小值為10eq \r(2)米．

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