第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用第1課時(shí)　系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)——平面向量的數(shù)量積　知識點(diǎn)一　平面向量的數(shù)量積1．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．2．平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積．[提醒]　(1)數(shù)量積a·b也等于b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cos θ的乘積，這兩個(gè)投影是不同的．(2)a在b方向上的投影也可以寫成，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)也可為0，它的符號取決于θ角的范圍．3．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，e是單位向量，α是a與e的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)a，b同向?a·b＝|a||b|；a，b反向?a·b＝－|a||b|.特別地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝. (4)若θ為a，b的夾角，則cos θ＝.(5) |a·b|≤|a|·|b|.4．謹(jǐn)記常用結(jié)論(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；a2－b2＝(a＋b)(a－b)．以上結(jié)論可作為公式使用．5．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[提醒]　對于實(shí)數(shù)a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但對于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因?yàn)?/span>(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而a與c不一定共線，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． [重溫經(jīng)典]1．(教材改編題)設(shè)a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要條件　　　 　 B．必要不充分條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件解析：選A　設(shè)a與b的夾角為θ.因?yàn)?/span>a·b＝|a|·|b|cos θ＝|a|·|b|，所以cos θ＝1，即a與b的夾角為0°，故a∥b.當(dāng)a∥b時(shí)，a與b的夾角為0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝±|a|·|b|，所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要條件．2．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角的余弦值為sin，則b·(2a－b)等于(　　)A．2   B．－1C．－6  D．－18解析：選D　∵a與b的夾角的余弦值為sin＝－，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夾角為135°，則|b|的值為(　　)A．12   B．6C．3  D．3解析：選B　因?yàn)?/span>a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6.4．(易錯(cuò)題)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a方向上的投影為________．解析：由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.答案：－25．已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________.解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos ＝1×1×＝，所以b1·b2＝－6.答案：－66.如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是邊BC的中點(diǎn)，則·＝________.解析：·＝(＋)·(－＋)＝(－2＋2)＝－.答案：－知識點(diǎn)二　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝|a|＝夾角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤ [重溫經(jīng)典] 1．(多選)設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則(　　)A．|a|＝|b|   B．(a－b)∥bC．(a－b)⊥b  D．a與b的夾角為解析：選CD　因?yàn)?/span>a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)與b不平行，故B錯(cuò)誤；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正確；又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a與b的夾角為，故D正確．2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝________.解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，則a·b＝________.解析：因?yàn)?/span>a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10.答案：104．(易錯(cuò)題)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影為________．解析：a在b方向上的投影為＝－.答案：－5．(教材改編題)a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于________．解析：設(shè)b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cosa，b＝＝.答案：6．(易錯(cuò)題)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為____________________．解析：由a·b＝2x－21<0，得x<，當(dāng)a與b共線時(shí)，＝，則x＝－，故x的取值范圍為x<且x≠－.答案：∪7．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b與b互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值為________．解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.答案：－2

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