?專題六 《導(dǎo)數(shù)》學(xué)案
6.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線
知識梳理.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
＝為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
稱函數(shù)f′(x)＝為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．


題型一. 在某點(diǎn)的切線
1．函數(shù)f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的圖象在x＝1處的切線方程是　3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）?。?br /> 【解答】解：由題意可得f'（x）＝lnx﹣3x2，則f'（1）＝﹣3，f（1）＝﹣1，
故所求切線方程為y+1＝﹣3（x﹣1），
即3x+y﹣2＝0．
故答案為：3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）．
2．直線y＝kx+1與曲線y＝x3+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），則2a+b的值為　1?。?br /> 【解答】解：y＝x3+ax+b的導(dǎo)數(shù)為y′＝3x2+a，
可得切線的斜率為k＝3+a，
又k+1＝3，1+a+b＝3，
解得k＝2，a＝﹣1，b＝3，
即有2a+b＝﹣2+3＝1．
故答案為：1．
3．已知曲線y，則曲線的切線斜率取得最小值時的直線方程為（　?。?br /> A．x+4y﹣2＝0 B．x﹣4y+2＝0 C．4x+2y﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣1＝0
【解答】解：y的導(dǎo)數(shù)為y′，
即有．
當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，取得等號．
即有切線的斜率為k，切點(diǎn)為（0，），
則切線的方程為yx，
即為x+4y﹣2＝0．
故選：A．


題型二. 過某點(diǎn)的切線
1．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣5x+7，求經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）的曲線f（x）的切線方程．
【解答】解：
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，x02﹣5x0+7），
∵f′（x0）＝2x0﹣5，
∴切線方程為y﹣2＝（2x0﹣5）（x﹣1），
又切線過點(diǎn)（x0，x02﹣5x0+7），
∴x02﹣5x0+7﹣2＝（2x0﹣5）（x0﹣1），
整理得x02﹣2x0＝0，解得x0＝2或x0＝0，
∴經(jīng)過A（1，2）的曲線f（x）的切線方程為x+y﹣3＝0或5x+y﹣7＝0．
2．已知直線y＝x+1與曲線y＝ln（x+a）相切，則a的值為（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），則y0＝x0+1，y0＝ln（x0+a），
又∵
∴x0+a＝1
∴y0＝0，x0＝﹣1
∴a＝2．
故選：B．
3．已知曲線C：f（x）＝x3﹣ax+a，若過曲線C外一點(diǎn)A（1，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補(bǔ)，則a的值為（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax+a，得f′（x）＝3x2﹣a，
設(shè)切點(diǎn)為，
∴，
∴過切點(diǎn)的切線方程為，
∵切線過點(diǎn)A（1，0），
∴，
解得：x0＝0或．
∴f′（0）＝﹣a，，
由兩切線傾斜角互補(bǔ)，得
﹣a，
∴a．
故選：A．


題型三. 已知切線求參數(shù)的取值范圍
1．函數(shù)f（x）＝ax2x3（x＞0）的圖象存在與直線x﹣y+2＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣1] B．[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：f′（x）＝2ax﹣x2，（x＞0）．
由題意，只需f′（x）＝2ax﹣x2＝1，（x＞0）有解，則只需y＝f′（x）（x＞0）的值域中包含1即可．
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，顯然不符合題意；
當(dāng)a＞0時，f′（x）的開口向下，在對稱軸x處取得最大值，
故，即a2≥1，結(jié)合a＞0得，a≥1即為所求．
故選：B．
2．已知過點(diǎn)A（a，0）作曲線C：y＝x?ex的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（m，mem），y＝x?ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝（x+1）ex，
可得切線的斜率為（m+1）em，
則切線方程為y﹣mem＝（m+1）em（x﹣m），
切線過點(diǎn)A（a，0）代入得﹣mem＝（m+1）em（a﹣m），
可得a，即方程m2﹣ma﹣a＝0有兩個解，
則有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4．
即a的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
故選：A．
3．已知函數(shù)y的圖象在點(diǎn)處的切線為直線l，若直線l與函數(shù)y＝lnx，x∈（0，1）的圖象相切，則x0必滿足條件（　　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0 C． D．2
【解答】解：函數(shù)yx2的導(dǎo)數(shù)為y′＝x，
在點(diǎn)（x0，x02）處的切線的斜率為k＝x0，
切線方程為yx02＝x0（x﹣x0），
設(shè)切線與y＝lnx相切的切點(diǎn)為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y＝lnx的導(dǎo)數(shù)為y′，
可得x0，切線方程為y﹣lnm（x﹣m），
令x＝0，可得y＝lnm﹣1x02，
由0＜m＜1，可得x0＞1，且x02＞2，
解得x0，
由m，可得x02﹣2lnx0﹣2＝0，
令f（x）＝x2﹣2lnx﹣2，x，
f′（x）＝2x0，f（x）在（，+∞）上遞增，
且f（）＝3﹣ln2＜0，f（2）＝4﹣ln2﹣2＞0，
則有x02﹣2lnx0﹣2＝0的根x0∈（，2）．
故選：D．


題型四. 距離最值問題
1．若點(diǎn)P是函數(shù)f（x）＝x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x﹣y﹣2＝0的最小距離為　?。?br /> 【解答】解：設(shè)x﹣y+m＝0與函數(shù)f（x）＝x2﹣lnx的圖象相切于點(diǎn)P（x0，y0）．
f′（x）＝2x，則1，x0＞0，解得x0＝1．
∴y0＝1，
∴點(diǎn)P（1，1）到直線x﹣y﹣2＝0的距離為最小距離d，
故答案為：．
2．（2012·全國）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在曲線y＝ln（2x）上，則|PQ|最小值為（　　）
A．1﹣ln2 B． C．1+ln2 D．
【解答】解：∵函數(shù)與函數(shù)y＝ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y＝x對稱，
函數(shù)上的點(diǎn)到直線y＝x的距離為，
設(shè)g（x）（x＞0），則g′（x），
由g′（x）0可得x≥ln2，
由g′（x）0可得0＜x＜ln2，
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在[ln2，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝ln2時，函數(shù)g（x）min＝1﹣ln2，
，
由圖象關(guān)于y＝x對稱得：|PQ|最小值為．
故選：B．

題型五. 公切線問題
1．設(shè)函數(shù)．若直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求p的值；
【解答】解：∵f′（x）＝p，∴f’（1）＝2（p﹣1），設(shè)直線l：y＝2（p﹣1）（x﹣1），
∵l與g（x）圖象相切，∴y＝2（p﹣1）（x﹣1），得（p﹣1）（x﹣1），即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e＝0，y
當(dāng)p＝1時，方程無解；當(dāng)p≠1時由△＝（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）＝0，
得p＝1﹣4e，綜上，p＝1﹣4e
2．若直線y＝kx+b是曲線y＝lnx+2的切線，也是曲線y＝ln（x+1）的切線，則b＝　1﹣ln2?。?br /> 【解答】解：設(shè)y＝kx+b與y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切點(diǎn)分別為（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k，得x1＝x2+1
再由切點(diǎn)也在各自的曲線上，可得
聯(lián)立上述式子解得；
從而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．
3．若存在a＞0，使得函數(shù)f（x）＝6a2lnx+4ax與g（x）＝x2﹣b在這兩函數(shù)圖象的公共點(diǎn)處的切線相同，則b的最大值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：設(shè)公共點(diǎn)為（x，y），（x＞0），且．
所以（a＞0），由②得x2﹣2ax﹣3a2＝0，
解得x＝3a或﹣a（舍）．
將x＝3a代入①式整理得：b＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0）
令h（a）＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0），
∴12a[ln（3a）+1]，
令h′（a）＝0得，，且時，h′（a）＜0．
故h（a）在（0，）上遞增，在（）上遞減．
故h（a）max＝h（）．故b的最大值為．
故選：C．


課后作業(yè).切線
1．函數(shù)f（x）＝ln（x2+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為（　　）
A．0 B． C． D．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝ln（x2+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為（?2x）|x＝1＝1，
設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（x2+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為θ，
則tanθ＝1，∴θ，
故選：D．
2．已知：過點(diǎn)M（m，0）可作函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+t圖象的兩條切線l1，l2，且l1⊥l2，則t＝（　?。?br /> A．1 B． C． D．2
【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切線斜率為2n﹣2．
所以切線方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），
將（m，0）代入整理得：n2﹣2mn+2m﹣t＝0，
設(shè)l1，l2的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為n1，n2，則：n1+n2＝2m，n1n2＝2m﹣t．
因?yàn)閘1⊥l2，所以f′（n1）f′（n2）＝（2n1﹣2）（2n2﹣2）＝4n1n2﹣4（n1+n2）+4＝﹣1①．
結(jié)合韋達(dá)定理得4×（2m﹣t）﹣4×2m+4＝﹣1，解得．
故選：B．
3．已知函數(shù)f（x）＝2lnx+x2+ax，若曲線y＝f（x）存在與直線2x﹣y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，+∞） D．[﹣2，+∞）
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2lnx+x2+ax存在與直線2x﹣y＝0平行的切線，
即f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，
而f′（x）＝2?2x+a，即2x+a＝2在（0，+∞）上有解，a＝2﹣2（x），
因?yàn)閤＞0，所以x2，x＝1時，等號成立，即有a≤2﹣4，
所以a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]．
故選：A．
4．若函數(shù)f（x）＝lnx與函數(shù)g（x）＝x2+2x+lna（x＜0）有公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，1） B． C．（1，+∞） D．
【解答】解：設(shè)f（x）的切點(diǎn)為（x1，lnx1），因?yàn)椋?br /> 所以切線為：y﹣lnx1，即，（x1＞0）．
設(shè)g（x）的切點(diǎn)為（x2，），因?yàn)間′（x）＝2x+2，
故切線為：y（2x2+2）（x﹣x2）．
即．（x2＜0）．
因?yàn)槭枪芯€，所以，
消去x1得，lna，
令h（x），x∈（﹣1，0）．
∵，∵y＝2x2+2x﹣1開口向上，且y|x＝﹣1＝y(tǒng)|x＝0＝﹣1＜0，x+1＞0．
所以h′（x）＜0，故h（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，故h（x）＞h（0），
即，故．
故選：D．


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