(新高考)高考數(shù)學一輪復習課件第10章§10.1《兩個計數(shù)原理》(含解析)

這是一份(新高考)高考數(shù)學一輪復習課件第10章§10.1《兩個計數(shù)原理》(含解析)，共60頁。PPT課件主要包含了考試要求，落實主干知識，m＋n，m×n，探究核心題型，分類加法計數(shù)原理，思維升華，分步乘法計數(shù)原理，課時精練，圖1圖2等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.
LUOSHIZHUGANZHISHI
兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_____種不同的方法.(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_____種不同的方法.
兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.(　　)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.(　　)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(　　)(4)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.(　　)
1.某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方案有A.3種 B.6種 C.7種 D.9種
買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(種).
2.被譽為“大飛魚”的深圳寶安機場T3航站樓，充分結(jié)合了建筑設計理念和深圳本地環(huán)境氣候等重要因素，融合了建筑美學、綠色節(jié)能和功能實用等多方面元素.2021年9月25日晚21時50分，被加拿大非法扣留的孟晚舟乘坐的CA552航班平安抵達深圳寶安國際機場.某志愿者前去接機，機場T3航站樓有7個入口，2個接機口(出口)，則該志愿者進出機場的方案數(shù)為A.4 B.9 C.14 D.49
方案種數(shù)為7×2＝14.
3.3個班分別從5個風景點中選擇一處游覽，不同的選法有 種.
因為第1個班有5種選法，第2個班有5種選法，第3個班有5種選法，所以由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法有5×5×5＝125(種).
TANJIUHEXINTIXING
例1　(1)若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有A.60種 B.63種C.65種 D.66種
要想同時取4個不同的數(shù)使其和為偶數(shù)，則取法有三類：①4個數(shù)都是偶數(shù)，有1種取法；②2個數(shù)是偶數(shù)，2個數(shù)是奇數(shù)，有 ＝60(種)取法；③4個數(shù)都是奇數(shù)，有5種取法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的取法共有1＋60＋5＝66(種).
(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為 .
若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個.若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個).若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，…，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個).所以所有凸數(shù)有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).
1.某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有A.4種 B.10種 C.18種 D.20種
依題意得，可能剩余一本畫冊或一本集郵冊兩種情況.第一類，剩余的是一本畫冊，此時滿足題意的贈送方法共有4種；第二類，剩余的是一本集郵冊，此時滿足題意的贈送方法共有 ＝6(種).因此，滿足題意的贈送方法共有4＋6＝10(種).
2.如圖所示，某景觀湖內(nèi)有四個人工小島，為方便游客登島觀賞美景，現(xiàn)計劃設計三座景觀橋連通四個小島，每座橋只能連通兩個小島，且每個小島最多有兩座橋連接，則設計方案的種數(shù)最多是A.8 B.12 C.16 D.24
四個人工小島分別記為A，B，C，D，對A分有一座橋相連和兩座橋相連兩種情況，用“－”表示橋.①當A只有一座橋相連時，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6種方法；②當A有兩座橋相連時，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B－A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6種方法.故設計方案最多有6＋6＝12(種).
分類標準的選擇(1)應抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置.根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準.(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏.
跟蹤訓練1　(1)在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有A.50個 B.45個 C.36個 D.35個
由題意，知十位上的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8類，在每一類中滿足題目要求的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類加法計數(shù)原理，知符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個).
(2)已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是A.9 B.14 C.15 D.21
因為P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P?Q，所以x∈{y,2}.所以當x＝2時，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況；當x＝y(tǒng)時，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7種情況.故共有7＋7＝14(種)情況，即這樣的點的個數(shù)為14.
例2　(1)某學校的3個班級將要去甲、乙、丙、丁4個工廠參觀學習，要求每個班只能去1個工廠參觀學習，且甲工廠必須有班級參觀學習，則不同的參觀方案有A.16種 B.25種C.37種 D.48種
每個班級都可以從這4個工廠中選1個參觀學習，各有4種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有43＝64(種)參觀方案，若甲工廠沒有班級參觀學習，此時每個班級都可以從其余3個工廠中選1個參觀學習，各有3種選擇，共有33＝27(種)參觀方案，所以甲工廠必須有班級參觀學習，不同的參觀方案有64－27＝37(種).
(2)(多選)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是A.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種B.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種C.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有33種
對于A，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有34種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有4×3×2＝24(種)結(jié)果，C正確，D錯誤.
1.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 (用數(shù)字作答).
甲有7種站法，乙有7種站法，丙有7種站法，故不考慮限制共有7×7×7＝343(種)站法，其中三個人站在同一級臺階上有7種站法，故符合本題要求的不同站法有343－7＝336(種).
2.某次活動中，有30個人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為 .(用數(shù)字作答)
最先選出的1個人有30種方法，則這個人所在的行和列不能再選人，還剩一個5行4列的隊形，可知選第2個人有20種方法，則該人所在的行和列也不能再選人，還剩一個4行3列的隊形，可知選第3個人有12種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7 200.
利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的.(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成.
跟蹤訓練2　(1)某人要給廚房中裝有不同調(diào)料的5個瓶子貼上對應的標簽，若恰好貼錯了3個，則貼錯的可能情況種數(shù)為A.9 B.12 C.18 D.20
由題意，可分為兩步：第一步，從5個瓶子中選出3個瓶子，有 ＝10(種)情況，第二步，對選出的3個瓶子進行錯位重排，有2種情況，所以貼錯的可能情況種數(shù)為10×2＝20.
(2)人們習慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無重復數(shù)字的四位吉祥數(shù)(首位不能是零)共有 個.
第一步，確定千位，除去0和6，有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去6和千位數(shù)字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數(shù)字外，有7種不同的選法.故共有8×8×7＝448(個)不同的“吉祥數(shù)”.
例3　(1)如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是A.780 B.840 C.900 D.960
兩個計數(shù)原理的綜合應用
先涂A，則A有 ＝5(種)涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有 ＝4(種)涂法，同理C有 ＝3(種)涂法，D有＝4(種)涂法，E有 ＝4(種)涂法，由分步乘法計數(shù)原理，可知不同的涂色方法種數(shù)為5×4×3×4×4＝960.
(2)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為A.5 B.24 C.32 D.64
5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)；第二步安排偶數(shù)日出行分兩類：第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計4＋4＝8(種).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64.
延伸探究　若甲的車牌尾數(shù)為9，他的四位同事的車牌尾數(shù)分別為0,2,1,5，其他條件不變，則不同的用車方案有多少種？
由題意，從5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)不同的選擇；第二步，安排奇數(shù)日出行，可分為兩類：(1)選1天安排甲的車，共有3×2×2＝12(種)不同的選擇；(2)不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有2×2×2＝8(種)不同的選擇，綜上可得，不同的用車方案種數(shù)為4×(12＋8)＝80.
1.現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的五個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A.420種 B.780種C.540種 D.480種
依題意可知，完成涂色任務可以使用5種，4種，或3種顏色，將區(qū)域標號如圖.①若用5種顏色完成涂色，則有 ＝120(種)方法；②若用4種顏色完成涂色，顏色有 種選法，需要2,4同色，或者3,5同色，或者1,3同色，或者1,4同色，故有 ＝480(種)；③若用3種顏色完成涂色，顏色有 種選法，需要2,4同色且3,5同色，或者1,4同色且3,5同色，或者1,3同色且 2,4同色，故有 ＝180(種).所以不同的著色方法共有120＋480＋180＝780(種).
2.通常我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關(guān)代號，第二部分為由阿拉伯數(shù)字與英文字母組成的序號.其中序號的編碼規(guī)則為：①由0,1,2，…，9這10個阿拉伯數(shù)字與除I，O之外的24個英文字母組成；②最多只能有2個位置是英文字母，如：粵A326S0，則采用5位序號編碼的粵A牌照最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)為A.586萬張 B.682萬張C.696萬張 D.706萬張
討論后五位的不同情況：(1)后5位全部為數(shù)字，共有105張牌.(2)后5位有一個字母，共有 ＝1.2×106張牌.(3)后5位有兩個字母，當兩個字母相同，有 ＝2.4×105張牌；當兩個字母不同，有 ＝5.52×106張牌，綜上，共有105＋1.2×106＋2.4×105＋5.52×106＝7.06×106張牌.
利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事.(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖.(3)對于復雜問題，一般是先分類再分步.
跟蹤訓練3　(1)從6人中選出4人參加數(shù)學、物理、化學、生物比賽，每人只能參加其中一項，且每項比賽都有人參加，其中甲、乙兩人都不能參加化學比賽，則不同的參賽方案的種數(shù)為A.94 B.180 C.240 D.286
第一步，因為甲、乙兩人都不能參加化學比賽，所以從剩下的4人中選1人參加化學比賽，共有4種選法；第二步，在剩下的5人中任選3人參加數(shù)學、物理、生物比賽，共有5×4×3＝60(種)選法.由分步乘法計數(shù)原理，得不同的參賽方案的種數(shù)為4×60＝240.
(2)甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學，2名女同學.若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4名同學中恰有1名女同學的不同選法共有A.150種 B.180種C.300種 D.345種
這名女同學可以在甲組選出也可以在乙組選出，故分兩類計算.甲組中選出1名女同學有 ＝225(種)選法；乙組中選出一名女同學有 ＝120(種)選法.故共有345種選法.
KESHIJINGLIAN
1.已知5名同學報名參加兩個課外活動小組，每名同學限報其中一個小組，則不同的報名方法共有A.10種 B.20種 C.25種 D.32種
5名同學依次報名，每人均有2種不同的選擇，所以共有2×2×2×2×2＝32(種)不同的報名方法.
2.用紅、黃、藍三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是A.12 B.24 C.30 D.36
按順序涂色，第一個圓有3種選擇，第二個圓有2種選擇，若前三個圓用了三種顏色，則第三個圓有1種選擇，后三個圓也用了三種顏色，共有3×2×1× × ＝24(種)，若前三個圓用了兩種顏色，則后三個圓也用了兩種顏色，所以共有3×2＝6(種).綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是24＋6＝30.
3.兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形共有A.10種 B.15種C.20種 D.30種
3局定勝負，有2種情形；4局定勝負，有 ＝6(種)情形；5局定勝負，有 ＝12(種)情形.共有2＋6＋12＝20(種)情形.
4.已知從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2,3,3,4條，若要從其中一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則不同的走法最多時應A.從東面上山 B.從西面上山C.從南面上山 D.從北面上山
從東面上山，不同的走法共有2×(3＋3＋4)＝20(種)；從西面上山，不同的走法共有3×(2＋3＋4)＝27(種)；從南面上山，不同的走法共有3×(2＋3＋4)＝27(種)；從北面上山，不同的走法共有4×(2＋3＋3)＝32(種).所以應從北面上山.
5.用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰，這樣的四位數(shù)的個數(shù)為A.12 B.18C.24 D.30
分三步完成，第1步，確定被使用了2次的數(shù)字，有3種方法；第2步，把這2個相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個數(shù)位上，有3種方法；第3步，將余下的2個數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個數(shù)位上，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理知，不同的四位數(shù)有3×3×2＝18(個).
6.算盤是中國古代的一項重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤(如圖1)，共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為A.16 B.15 C.12 D.10
由題意，撥動三枚算珠，有4種撥法：①個位撥動三枚，有2種結(jié)果：3,7；②十位撥動一枚，個位撥動兩枚，有4種結(jié)果：12,16,52,56；③十位撥動兩枚，個位撥動一枚，有4種結(jié)果：21,25,61,65；④十位撥動三枚，有2種結(jié)果：30,70.綜上，撥動題圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為2＋4＋4＋2＝12.
7.某校高一年級有四個班，四位老師各教一個班的數(shù)學.在該年級某次數(shù)學考試中，要求每位數(shù)學老師均不在本班監(jiān)考，則不同的安排監(jiān)考的方法種數(shù)為A.8 B.9 C.12 D.24
設四個班分別是A，B，C，D，對應的數(shù)學老師分別是a，b，c，d.讓a老師先選，可從B，C，D班中選一個，有3種選法，不妨假設a老師選的是B，則b老師從剩下的三個班級中任選一個，有3種選法，剩下的兩位老師都只有1種選法.由分步乘法計數(shù)原理，知共有3×3×1×1＝9(種)不同的安排方法.
8.(多選)現(xiàn)有4個數(shù)學課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是A.選1人為負責人的選法種數(shù)為34B.每組選1名組長的選法種數(shù)為5 400C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D.若另有3名學生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必 須有人選，則不同的選法有37種
對于A,4個數(shù)學課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負責人的選法共有34種，A對；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5 040(種)，B錯；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；
從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法.所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯；對于D，若不考慮限制條件，每個人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒有人選，每個人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，D對.
9.3個不同的小球放入4個不同的盒子，每個盒子至多放1個小球，共有 種放法.
分三步來完成：第一步，放第一個小球，有4種放法，第二步，放第二個小球，有3種放法，第三步，放第三個小球，有2種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)放法.
10.4張卡片的正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成 個不同的三位數(shù).
要組成三位數(shù)，根據(jù)百位、十位、個位應分三步：第一步：百位可放8－1＝7(個)數(shù)；第二步：十位可放6個數(shù)；第三步：個位可放4個數(shù).故由分步乘法計數(shù)原理，得共可組成7×6×4＝168(個)不同的三位數(shù).
第一步，先選出文娛委員，因為甲、乙不能擔任，所以從剩下的3人中選1人當文娛委員，有3種選法.第二步，從剩下的4人中選學習委員，有4種選法.第三步，從剩下的3人中選體育委員，有3種選法.由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法共有3×4×3＝36(種).
11.從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有 種(用數(shù)字作答).
12.現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個人值班，則此值班表共有 種不同的排法.
完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計數(shù)原理，分步進行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280(種)不同的排法.
13.如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是A.60 D.24
長方體的6個表面構(gòu)成的“平行線面組”個數(shù)為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”個數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數(shù)是36＋12＝48.
14.某旅行社共有5名專業(yè)導游，其中3人會英語，3人會日語，若在同一天要接待3個不同的外國旅游團，其中有2個旅游團要安排會英語的導游，1個旅游團要安排會日語的導游，則不同的安排方法種數(shù)有A.12 D.15
由題意知有1名導游既會英語又會日語，記甲為既會英語又會日語的導游，按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團可分為兩類：第一類，甲被安排到需要會英語的旅游團，則可分兩步進行：第一步，從會英語的另外2人中選出1人，有2種選法，將選出的人和甲安排到2個需要會英語的旅游團，有2種安排方法，所以有2×2＝4(種)安排方法；第二步，從會日語的另外2人中選出1人安排到需要會日語的旅游團，共2種選法.故此時共有4×2＝8(種)安排方法；
第二類，甲沒有被安排到需要會英語的旅游團，則可分兩步進行：第一步，將會英語的另外2人安排到需要會英語的旅游團，有2種安排方法；第二步，從會日語的3人(包括甲)中選出1人安排到需要會日語的旅游團，有3種選法.故此時共有2×3＝6(種)選法.綜上，不同的安排方法種數(shù)為8＋6＝14.
15.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學風車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇.則不同的涂色方法種數(shù)是A.48 B.54 C.72 D.108
設“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形分別為②，③，④，⑤區(qū).第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色時，⑤區(qū)有2種涂色方法.若④區(qū)與②區(qū)不同色時，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72.
16.“比特幣”對于大家來說，已經(jīng)再熟悉不過了.但是你知道比特幣是通過哈希算法來加密的嗎？實際上，哈希算法是一種加密技術(shù).已知p－h(huán)ashing是最簡單的哈希算法之一，它把一個較大數(shù)字的每一位改成它除以素數(shù)p所得到的余數(shù).如：對于544 213進行2－h(huán)ashing，我們得到的哈希值為100 011，那么對它進行3－h(huán)ashing，將得到 .同時，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)使得2－h(huán)ashing后得到哈希值為100 011的正整數(shù)共有 個(可以不寫出具體數(shù)字，用類似于3×40！的表達式表示).