1.會推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝ ；(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝ ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
cs αcs β＋sin αsin β
cs αcs β－sin αsin β
sin αcs β－cs αsin β
sin αcs β＋cs αsin β
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2.輔助角公式asin α＋bcs α＝ ，其中sin φ＝ ，cs φ＝
兩角和與差的公式的常用變形：(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)(2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不確定.(　　)(3)公式tan(α＋β)＝ 可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立.(　　)
2.計算：sin 108°cs 42°－cs 72°sin 42°＝ .
原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°＝sin(72°－42°)
3.若tan α＝ ，tan(α＋β)＝ ，則tan β＝ .
tan β＝tan[(α＋β)－α]
TANJIUHEXINTIXING
兩角和與差的三角函數(shù)公式
兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.
兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形
由題意知，sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β，將兩式分別平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝2－2(sin βsin α＋cs βcs α)，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
即選項D正確，C錯誤.
∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C.
延伸探究　若將本例(2)的條件改為tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則C等于A.45° B.135° C.150° D.30°
在△ABC中，因為tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
所以tan C＝1，所以C＝45°.
1.若α＋β＝－ ，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
2.已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝ .
∵sin α＋cs β＝1，①cs α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.
跟蹤訓練2　(1)設(shè)a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝ (sin 56°－cs 56°)，c＝ ，則a，b，c的大小關(guān)系是A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.a>c>b
由兩角和與差的正、余弦公式及誘導(dǎo)公式，可得a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs 77°＝sin 13°，
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
＝cs239°－sin239°＝cs 78°＝sin 12°.
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a>c>b.
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
(2)(2022·青島模擬)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，則tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)
因為sin2α＋cs2α＝1，
(2)求tan(α－β)的值.
因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π).
因此tan(α＋β)＝－2.
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
cs β＝ .
所以cs β＝cs[(β－α)＋α]＝cs(β－α)cs α－sin(β－α)sin α
KESHIJINGLIAN
1.(2022·北京模擬)tan 105°等于
tan 105°＝tan(60°＋45°)
故cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
5.(多選)下列四個選項中，化簡正確的是A.cs(－15°)＝B.cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝cs(15°－105°)＝0C.cs(α－35°)cs(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)?。絚s[(α－35°)－(25°＋α)]＝cs(－60°)＝cs 60°＝D.sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°＝
對于A，方法一　原式＝cs(30°－45°)＝cs 30°·cs 45°＋sin 30°sin 45°
方法二　原式＝cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°
對于B，原式＝cs(15°－105°)＝cs(－90°)＝cs 90°＝0，B正確.對于C，原式＝cs[(α－35°)－(25°＋α)]
所以cs(α－β)＝cs [2α－(α＋β)]＝cs 2αcs(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
7.化簡：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝ .
sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
(2)求cs β的值.
∴cs β＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
sin α＝－2cs α，即tan α＝－2，
對于A，左邊＝－[cs(α－β)cs(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cs[(α－β)＋(β－γ)]＝－cs(α－γ)，故A正確；對于B，
對于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正確.
所以tan α

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