2023屆湖南省益陽市高三上學期9月質(zhì)量檢測數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由絕對值不等式化簡集合,根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】故選：A2．命題“，使”的否定是（       ）A．，都有B．，都有C．，使D．，使【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求解.【詳解】命題“，使”的否定為，都有．故選：B3．已知函數(shù)，則（       ）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關于直線對稱C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】根據(jù)周期計算公式可判斷A，代入檢驗可判斷BD,根據(jù)正弦的有界性可判斷C.【詳解】對于，函數(shù)的最小正周期，A錯誤對于B，當時，此時，B錯誤對于C，由于，故的最小值為，C正確對于D，當時，，在上不單調(diào)遞增，D錯誤．故選：C4．若，，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多項式乘法原理和二項式定理即可求解.【詳解】∵，故展開式中的系數(shù).故選：B.5．已知正方體中，是的中點，則下列結論正確的是（       ）A．與相交 B．C．平面 D．平面【答案】B【分析】對于A，作圖直接觀察，由異面直線的定義，可得答案；對于B，由線面垂直的定義，通過證明線面垂直，可得答案；對于C，根據(jù)正方體的性質(zhì)，結合線面垂直判定定理，找出垂線，判斷其垂直與已知直線的位置關系，可得答案；對于D，過所求平面中的點，作已知直線的平行線，根據(jù)線面位置關系，可得答案.【詳解】對于A，由題意可作圖如下： 因為與異面，故A錯誤；對于B，連接在正方體中，如下圖： ，平面，因為平面，所以，因為，所以平面，平面，所以，故B正確；對于C，連接，如下圖： 可得平面，因為與不平行，所以不垂直平面，故C錯誤；對于D，取中點，連接，如下圖： 則，因為交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D錯誤．故選：B.6．在正三棱錐中，是的中心，，則(       )A． B． C． D．【答案】D【分析】將轉化為，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥OA，即可將轉化為，結合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.7．已知函數(shù)，對任意，都有成立，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由任意，都有可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有得．故選：D8．有臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第，，臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，隨機取一個零件，記“零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，則下列結論：①，②，③，④其中正確的有（       ）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個結論即可.【詳解】因為，故①正確；因為，故②正確；因為，，所以，故③正確；由上可得，又因為，故④錯誤．正確的有3個.故選：C. 二、多選題9．上級某部門為了對全市名初二學生的數(shù)學水平進行監(jiān)測，將獲得的樣本數(shù)學水平分數(shù)數(shù)據(jù)進行整理分析，全部的分數(shù)可按照，，，，分成組，得到如圖所示的頻率分布直方圖則下列說法正確的是（       ）A．圖中的值為B．估計樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為C．由樣本數(shù)據(jù)可估計全市初二學生數(shù)學水平分數(shù)低于分的人數(shù)約為D．由樣本數(shù)據(jù)可估計全市初二學生數(shù)學水平分數(shù)分及以上的人數(shù)占比為【答案】AB【分析】根據(jù)頻率之和為1可判斷A,由百分位數(shù)的計算可求解B,根據(jù)頻率分布直方圖可得每個分數(shù)段的占比，即可判斷CD.【詳解】對于A;頻率分布直方圖中小長方形的總面積為，組距為，故，解得，故A正確；對于B;設的百分位數(shù)為，落在區(qū)間中，即，解得，故B正確；對于C;分以下的人占比為，故全市初二學生數(shù)學水平分數(shù)低于分的人數(shù)約為，故C錯誤，對于D;分以下的人占比為，故D錯誤.故選：AB10．已知雙曲線經(jīng)過點，則（       ）A．的實軸長為 B．的焦距為C．的離心率為 D．的漸近線方程是【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線經(jīng)過點,可得雙曲線標準方程，根據(jù)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)即可逐一判斷.【詳解】由題意得，得即雙曲線方程為．所以，雙曲線的實軸長是，焦距是，離心率為，漸近線方程是故BC正確，AD錯誤，故選：BC11．已知隨機變量， 隨機變量， 則下列結論正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性及正態(tài)分布的原則即可求解.【詳解】解：因為隨機變量，所以，因為隨機變量，所以，所以利用正態(tài)密度曲線的對稱性可得，，故選項A、B正確；因為，，所以，故選項C正確；因為，，所以，故選項D錯誤.故選：ABC.12．已知正四棱柱的底面邊長為，側棱長為，點為側棱含端點上的動點，若平面與直線垂直，則下列說法正確的有（       ）A．直線與平面不可能平行B．直線與平面不可能垂直C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)假設可能平行和垂直，即可根據(jù)線面關系判斷AB,結合線面角的向量求法，即可根據(jù)向量夾角求解C,根據(jù)是中點，可得平面即平面，進而找到截面，即可求解面積.【詳解】對于，已知若則當與重合時，,故可能成立，故A錯誤，對于B，已知若，則這與相交矛盾，故與平面不可能垂直，故B正確，對于C，因為所以為平面的一組法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為所成角的余弦值的絕對值，即為,在直角中，，C正確對于D，由題意知為的中點，連接，，，，，，在直角三角形中，，又，,所以，所以，同理,,，所以，又平面，平面，，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形,又，，,故為等邊三角形，所以，D正確，故選：BCD 三、填空題13．已知，其中為虛數(shù)單位，則__________．【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算方法和共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】，.故答案為：.14．若為奇函數(shù)，則__________．【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出的值，再利用函數(shù)奇偶性的定義驗證即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得，此時，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.故答案為：.15．已知直線與拋物線交于A、兩點，為拋物線的準線上一點，且，過且垂直軸的直線交拋物線于點，交直線于點，若，則__________．【答案】【分析】設，，，聯(lián)立l和拋物線方程，根據(jù)韋達定理得、、、的值，根據(jù)拋物線焦點弦長公式求出k，由可求，從而可求M和N的縱坐標，由此可求．【詳解】設，，，由得：，∵，，，∴，，，，，，則取時，，，，，，，，即，即，即故，將x＝2代入l方程得，將代入拋物線方程得，故，根據(jù)拋物線的對稱性可知，當k＝－1時，．綜上，．故答案為：216．在單調(diào)遞增數(shù)列中，已知，，且，，成等比數(shù)列，，， 成等差數(shù)列，那么__________．【答案】【分析】根據(jù)條件，推導出 之間的關系，再計算出通項公式即可.【詳解】因為數(shù)列單調(diào)遞增，，故，由已知條件得，， ，化簡可得，在等式左右兩邊同時除以，化簡得，故數(shù)列為等差數(shù)列，，所以數(shù)列的首項為，公差為，故，即，因為，可得，故當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，，所以；故答案為：2550. 四、解答題17．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)可判斷是等比數(shù)列，進而根據(jù)等差和等比數(shù)列基本量的計算即可求解通項公式,（2）根據(jù)分組求和即可求解.【詳解】(1)因為數(shù)列滿足，，，所以，數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，，即數(shù)列的通項公式為，設等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，，即數(shù)列的通項公式為(2)有（1）可知，所以，數(shù)列的前項和，即．18．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且A.(1)求(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)弦切互化結合兩角和的余弦公式即可求解，（2）由面積公式可求，進而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】(1)由得，即，，，，，．(2)由，，，解得，，．19．已知一個袋子里裝有顏色不同的個小球，其中紅球個，黃球個，現(xiàn)從中隨機取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達到四次就終止取球，記取球結束時一共取球次，求隨機變量的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意可知，該事件符合二項分布，根據(jù)其概率公式，可得答案；（2）根據(jù)離散型隨機變量分布列以及期望的定義解題，根據(jù)題意，分別計算該率，列出表格和期望計算公式，可得答案.【詳解】(1)連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．(2)隨機變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機變量的分布列為  所以隨機變量的期望為．20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點在棱上，設．(1)求證：；(2)若與平面所成角的正弦值為，求實數(shù)的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，即可得到、，再由線面垂直得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值，即可得到方程，解得即可.【詳解】(1)證明：取的中點，連接，則，又，四邊形為平行四邊形，，，．，，．平面，又平面，所以．又，，平面，所以平面．又平面，所以．(2)解：由（1）知，，因為平面，，，故以，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，則，，．因為點在棱上，且，所以，，所以，，設平面的法向量為，由，得，令，可得平面的一個法向量為，因為與平面所成角的正弦值為，因此，解得．所以所求實數(shù)的值為．21．已知點是橢圓的左焦點，過且垂直軸的直線交于，，且.(1)求橢圓的方程(2)四邊形(A，D在軸上方的四個頂點都在橢圓上，對角線，恰好交于點，若直線，分別與直線交于，，且為坐標原點，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，列方程組求解即可.（2）“設而不求”，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，韋達定理，再結合圖形、已知條件，利用對稱性進行計算、證明.【詳解】(1)由已知得 ，解得，，故橢圓的方程是.(2)由題設直線的方程為，，，把代入得，所以， ，設直線的方程為，，，類似可得，，因直線的方程為，所以點的縱坐標，同理可得點的縱坐標，要證，只需證，即證，即而式左邊，故結論成立 .22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)存在極大值為，求實數(shù)的值(2)設函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)判斷的單調(diào)性，進而確定極值，通過構造函數(shù)，即可求導確定單調(diào)性，進而得值，（2）求導，通過分類討論的范圍，確定單調(diào)性，即可求解【詳解】(1)由題意得函數(shù)的定義域為，當時，有，在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，無極值當時，有，由得，由得所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以在取得極大值，故，即，令，則，在上小于，在上大于，所以在上遞減，在上遞增，所以在有最小值，所以，方程有且僅有一個根，所以，．(2)因為，則設，則，顯然在內(nèi)遞增且，所以，在內(nèi)，單調(diào)遞減，在內(nèi)，單調(diào)遞增，所以有極小值，又當時，在恒成立，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，最多一個零點，不符合題意當時，，，，所以存在，使得，則在內(nèi)，，單調(diào)遞增，在內(nèi)，，單調(diào)遞減，在內(nèi)，，單調(diào)遞增，又，所以在上有且只有一個零點，又，在上有且只有一個零點，又，在上有且只有一個零點所以函數(shù)恰有三個零點．當時，在小于，又，結合的單調(diào)性可知，存在，使得，于是在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)最多兩個零點，不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合運用，利用函數(shù)的極值點求參數(shù)值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，難度較大.在求單調(diào)性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；往往需要借助于導數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性，構造函數(shù)也是常用到的方式，(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 

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