湖南省益陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（       ）A． B．C． D．2．命題“，使”的否定是（       ）A．，都有B．，都有C．，使D．，使3．已知函數(shù)，則（       ）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增4．若，，則的值為（       ）A． B． C． D．5．已知正方體中，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．與相交 B．C．平面 D．平面6．在正三棱錐中，是的中心，，則(       )A． B． C． D．7．已知函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．8．有臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率為，第，臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起，第，，臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，隨機(jī)取一個(gè)零件，記“零件為次品”，“零件為第臺(tái)車(chē)床加工”，則下列結(jié)論：①，②，③，④其中正確的有（       ）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 二、多選題9．上級(jí)某部門(mén)為了對(duì)全市名初二學(xué)生的數(shù)學(xué)水平進(jìn)行監(jiān)測(cè)，將獲得的樣本數(shù)學(xué)水平分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，全部的分?jǐn)?shù)可按照，，，，分成組，得到如圖所示的頻率分布直方圖則下列說(shuō)法正確的是（       ）A．圖中的值為B．估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為C．由樣本數(shù)據(jù)可估計(jì)全市初二學(xué)生數(shù)學(xué)水平分?jǐn)?shù)低于分的人數(shù)約為D．由樣本數(shù)據(jù)可估計(jì)全市初二學(xué)生數(shù)學(xué)水平分?jǐn)?shù)分及以上的人數(shù)占比為10．已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（       ）A．的實(shí)軸長(zhǎng)為 B．的焦距為C．的離心率為 D．的漸近線(xiàn)方程是11．已知隨機(jī)變量， 隨機(jī)變量， 則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．12．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為側(cè)棱含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，若平面與直線(xiàn)垂直，則下列說(shuō)法正確的有（       ）A．直線(xiàn)與平面不可能平行B．直線(xiàn)與平面不可能垂直C．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍是D．若且，則平面截正四棱柱所得截面多邊形的面積為 三、填空題13．已知，其中為虛數(shù)單位，則__________．14．若為奇函數(shù)，則__________．15．已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，過(guò)且垂直軸的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，若，則__________．16．在單調(diào)遞增數(shù)列中，已知，，且，，成等比數(shù)列，，， 成等差數(shù)列，那么__________． 四、解答題17．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且A.(1)求(2)若，，求的值．19．已知一個(gè)袋子里裝有顏色不同的個(gè)小球，其中紅球個(gè)，黃球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取球，每次只取一球．(1)若每次取球后都放回袋中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取得紅球”的概率(2)若每次取球后都不放回袋中，且規(guī)定取完所有紅球或取球次數(shù)達(dá)到四次就終止取球，記取球結(jié)束時(shí)一共取球次，求隨機(jī)變量的分布列與期望．20．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，設(shè)．(1)求證：；(2)若與平面所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值．21．已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，過(guò)且垂直軸的直線(xiàn)交于，，且.(1)求橢圓的方程(2)四邊形(A，D在軸上方的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，對(duì)角線(xiàn)，恰好交于點(diǎn)，若直線(xiàn)，分別與直線(xiàn)交于，，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：．22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)存在極大值為，求實(shí)數(shù)的值(2)設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
參考答案：1．A【分析】由絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合,根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】故選：A2．B【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題即可求解.【詳解】命題“，使”的否定為，都有．故選：B3．C【分析】根據(jù)周期計(jì)算公式可判斷A，代入檢驗(yàn)可判斷BD,根據(jù)正弦的有界性可判斷C.【詳解】對(duì)于，函數(shù)的最小正周期，A錯(cuò)誤對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，B錯(cuò)誤對(duì)于C，由于，故的最小值為，C正確對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在上不單調(diào)遞增，D錯(cuò)誤．故選：C4．B【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘法原理和二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】∵，故展開(kāi)式中的系數(shù).故選：B.5．B【分析】對(duì)于A，作圖直接觀(guān)察，由異面直線(xiàn)的定義，可得答案；對(duì)于B，由線(xiàn)面垂直的定義，通過(guò)證明線(xiàn)面垂直，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)面垂直判定定理，找出垂線(xiàn)，判斷其垂直與已知直線(xiàn)的位置關(guān)系，可得答案；對(duì)于D，過(guò)所求平面中的點(diǎn)，作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)面位置關(guān)系，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由題意可作圖如下： 因?yàn)?/span>與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接在正方體中，如下圖： ，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，平面，所以，故B正確；對(duì)于C，連接，如下圖： 可得平面，因?yàn)?/span>與不平行，所以不垂直平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，如下圖： 則，因?yàn)?/span>交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D錯(cuò)誤．故選：B.6．D【分析】將轉(zhuǎn)化為，由三棱錐是正三棱錐可知PO⊥OA，即可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱椎，為的中心，∴平面，△ABC是等邊三角形，∴PO⊥AO，∴，故．故選：D.7．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由任意，都有可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有得．故選：D8．C【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個(gè)結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)?/span>，故①正確；因?yàn)?/span>，故②正確；因?yàn)?/span>，，所以，故③正確；由上可得，又因?yàn)?/span>，故④錯(cuò)誤．正確的有3個(gè).故選：C.9．AB【分析】根據(jù)頻率之和為1可判斷A,由百分位數(shù)的計(jì)算可求解B,根據(jù)頻率分布直方圖可得每個(gè)分?jǐn)?shù)段的占比，即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A;頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的總面積為，組距為，故，解得，故A正確；對(duì)于B;設(shè)的百分位數(shù)為，落在區(qū)間中，即，解得，故B正確；對(duì)于C;分以下的人占比為，故全市初二學(xué)生數(shù)學(xué)水平分?jǐn)?shù)低于分的人數(shù)約為，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D;分以下的人占比為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10．BC【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn),可得雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可逐一判斷.【詳解】由題意得，得即雙曲線(xiàn)方程為．所以，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)是，焦距是，離心率為，漸近線(xiàn)方程是故BC正確，AD錯(cuò)誤，故選：BC11．ABC【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性及正態(tài)分布的原則即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，所以利用正態(tài)密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得，，故選項(xiàng)A、B正確；因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?/span>，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．BCD【分析】根據(jù)假設(shè)可能平行和垂直，即可根據(jù)線(xiàn)面關(guān)系判斷AB,結(jié)合線(xiàn)面角的向量求法，即可根據(jù)向量夾角求解C,根據(jù)是中點(diǎn)，可得平面即平面，進(jìn)而找到截面，即可求解面積.【詳解】對(duì)于，已知若則當(dāng)與重合時(shí)，,故可能成立，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，已知若，則這與相交矛盾，故與平面不可能垂直，故B正確，對(duì)于C，因?yàn)?/span>所以為平面的一組法向量，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為所成角的余弦值的絕對(duì)值，即為,在直角中，，C正確對(duì)于D，由題意知為的中點(diǎn)，連接，，，，，，在直角三角形中，，又，,所以，所以，同理,,，所以，又平面，平面，，所以平面，所以平面即平面，三角形即平面截正四棱柱所得截面的多邊形,又，，,故為等邊三角形，所以，D正確，故選：BCD13．##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算方法和共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，.故答案為：.14．【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出的值，再利用函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，且函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得，此時(shí)，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意.因此，.故答案為：.15．【分析】設(shè)，，，聯(lián)立l和拋物線(xiàn)方程，根據(jù)韋達(dá)定理得、、、的值，根據(jù)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求出k，由可求，從而可求M和N的縱坐標(biāo)，由此可求．【詳解】設(shè)，，，由得：，∵，，，∴，，，，，，則取時(shí)，，，，，，，，即，即，即故，將x＝2代入l方程得，將代入拋物線(xiàn)方程得，故，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)k＝－1時(shí)，．綜上，．故答案為：216．【分析】根據(jù)條件，推導(dǎo)出 之間的關(guān)系，再計(jì)算出通項(xiàng)公式即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，，故，由已知條件得，， ，化簡(jiǎn)可得，在等式左右兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)得，故數(shù)列為等差數(shù)列，，所以數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，故，即，因?yàn)?/span>，可得，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；故答案為：2550.17．(1),(2)【分析】（1）根據(jù)可判斷是等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差和等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解通項(xiàng)公式,（2）根據(jù)分組求和即可求解.（1）因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）有（1）可知，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和，即．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)弦切互化結(jié)合兩角和的余弦公式即可求解，（2）由面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解.（1）由得，即，，，，，．（2）由，，，解得，，．19．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意可知，該事件符合二項(xiàng)分布，根據(jù)其概率公式，可得答案；（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列以及期望的定義解題，根據(jù)題意，分別計(jì)算該率，列出表格和期望計(jì)算公式，可得答案.（1）連續(xù)取球三次，記取得紅球的次數(shù)為，則，則．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為  所以隨機(jī)變量的期望為．20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可得到、，再由線(xiàn)面垂直得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線(xiàn)面角的正弦值，即可得到方程，解得即可.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，又，四邊形為平行四邊形，，，．，，．平面，又平面，所以．又，，平面，所以平面．又平面，所以．（2）解：由（1）知，，因?yàn)?/span>平面，，，故以，，所在的直線(xiàn)分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，．因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，且，所以，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，可得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>與平面所成角的正弦值為，因此，解得．所以所求實(shí)數(shù)的值為．21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，列方程組求解即可.（2）“設(shè)而不求”，利用直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，再結(jié)合圖形、已知條件，利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行計(jì)算、證明.（1）由已知得 ，解得，，故橢圓的方程是.（2）由題設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，把代入得，所以， ，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，類(lèi)似可得，，因直線(xiàn)的方程為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，要證，只需證，即證，即而式左邊，故結(jié)論成立 .22．(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，即可求導(dǎo)確定單調(diào)性，進(jìn)而得值，（2）求導(dǎo)，通過(guò)分類(lèi)討論的范圍，確定單調(diào)性，即可求解（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，有，在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，無(wú)極值當(dāng)時(shí)，有，由得，由得所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以在取得極大值，故，即，令，則，在上小于，在上大于，所以在上遞減，在上遞增，所以在有最小值，所以，方程有且僅有一個(gè)根，所以，．（2）因?yàn)?/span>，則設(shè)，則，顯然在內(nèi)遞增且，所以，在內(nèi)，單調(diào)遞減，在內(nèi)，單調(diào)遞增，所以有極小值，又當(dāng)時(shí)，在恒成立，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意當(dāng)時(shí)，，，，所以存在，使得，則在內(nèi)，，單調(diào)遞增，在內(nèi)，，單調(diào)遞減，在內(nèi)，，單調(diào)遞增，又，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)所以函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在小于，又，結(jié)合的單調(diào)性可知，存在，使得，于是在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)最多兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，難度較大.在求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；往往需要借助于導(dǎo)數(shù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)也是常用到的方式，(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 

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