?2021-2022中考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項：
1． 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。
3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。
4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．如圖，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A．40° B．60° C．80° D．100°
2．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度數(shù)是（　?。?br />
A．75° B．65° C．60° D．50°
3．有一組數(shù)據(jù)：3，4，5，6，6，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（ ）
A．4.8，6，6 B．5，5，5 C．4.8，6，5 D．5，6，6
4．如圖，中，E是BC的中點，設(shè)，那么向量用向量表示為（ ）

A． B． C． D．
5．如圖，數(shù)軸上有A，B，C，D四個點，其中絕對值最小的數(shù)對應(yīng)的點是 ( )

A．點A B．點B C．點C D．點D
6．如圖，小明從A處出發(fā)沿北偏東60°方向行走至B處，又沿北偏西20°方向行走至C處，此時需把方向調(diào)整到與出發(fā)時一致，則方向的調(diào)整應(yīng)是（　?。?br />
A．右轉(zhuǎn)80° B．左轉(zhuǎn)80° C．右轉(zhuǎn)100° D．左轉(zhuǎn)100°
7．如圖，是半圓的直徑，點、是半圓的三等分點，弦.現(xiàn)將一飛鏢擲向該圖，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為(　　)

A． B． C． D．
8．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，則∠BAD為（ ）

A．30° B．50° C．60° D．70°
9．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，CH┴AF與點H，那么CH的長是（ ）

A． B． C． D．
10．如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為31m，寬為10m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m1．若設(shè)道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（　?。?br />
A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570
C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=570
11．下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，是軸對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
12．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩條拋物線關(guān)于x軸對稱，且他們的頂點相距10個單位長度，若其中一條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=+6x+m，則m的值是 （ ）
A．-4或-14 B．-4或14 C．4或-14 D．4或14
二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）
13．不等式組的解集是　 ▲ ．
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0無實數(shù)根，則一次函數(shù)y=（m+1）x+m﹣1的圖象不經(jīng)過第_____象限．
15．使分式的值為0，這時x=_____．
16．分解因式：=______．
17．一次函數(shù) y=kx+b 的圖像如圖所示，則當(dāng)kx+b>0 時，x 的取值范圍為___________.

18．對于任意非零實數(shù)a、b，定義運算“”，使下列式子成立：，，，，…，則ab=　 ?。?br /> 三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19．（6分）在四張編號為A，B，C，D的卡片（除編號外，其余完全相同）的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后，背面向上，洗勻放好．
（1）我們知道，滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b，c成為勾股數(shù)，嘉嘉從中隨機(jī)抽取一張，求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1；
（2）琪琪從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張（卡片用A，B，C，D表示）．請用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2，并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎？

20．（6分）如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC邊上一點，將點D繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E，連接CE.

(1)當(dāng)點E在BC邊上時,畫出圖形并求出∠BAD的度數(shù)；
(2)當(dāng)△CDE為等腰三角形時，求∠BAD的度數(shù)；
(3)在點D的運動過程中，求CE的最小值.
(參考數(shù)值:sin75°=， cos75°=，tan75°=)
21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過原點O，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點．

（1）求出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC上的點，AE=BC， DF⊥AE，垂足為F，連接DE．
求證：AB=DF．

23．（8分）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上一點，連接BD，以BD為邊在AB的左側(cè)作等邊△DEB，連接AE，求證：AB平分∠EAC．

24．（10分）如圖，點D是AB上一點，E是AC的中點，連接DE并延長到F，使得DE=EF，連接CF．
求證：FC∥AB．

25．（10分）如圖，拋物線y=x1﹣1x﹣3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），直線l與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（1）P是線段AC上的一個動點（P與A，C不重合），過P點作y軸的平行線交拋物線于點E，求△ACE面積的最大值；
（3）若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，直線AC與y軸交于點Q，點M為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N，使四邊形DMNQ的周長最??？若存在，求出這個最小值及點M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）點H是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、H四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

26．（12分）如圖,已知二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點,A在B左側(cè),點C是點A下方,且AC⊥x軸.
(1)已知A(－3，0),B(－1，0),AC=OA．
①求拋物線解析式和直線OC的解析式；
②點P從O出發(fā),以每秒2個單位的速度沿x軸負(fù)半軸方向運動,Q從O出發(fā),以每秒個單位的速度沿OC方向運動,運動時間為t.直線PQ與拋物線的一個交點記為M,當(dāng)2PM=QM時,求t的值(直接寫出結(jié)果,不需要寫過程)
(2)過C作直線EF與拋物線交于E、F兩點(E、F在x軸下方),過E作EG⊥x軸于G,連CG,BF,求證：CG∥BF

27．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C與AD交于點E，AD的延長線與A'D'交于點F．

（1）如圖①，當(dāng)α=60°時，連接DD'，求DD'和A'F的長；
（2）如圖②，當(dāng)矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，求EF的長；
（3）如圖③，當(dāng)AE=EF時，連接AC，CF，求AC?CF的值．



參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1、D
【解析】
根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3=∠1，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．
【詳解】
解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故選D．

【點睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
2、B
【解析】
因為AB是⊙O的直徑，所以求得∠ADB=90°，進(jìn)而求得∠B的度數(shù)，又因為∠B=∠C，所以∠C的度數(shù)可求出．
解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠BAD=25°，
∴∠B=65°，
∴∠C=∠B=65°（同弧所對的圓周角相等）．
故選B．

3、C
【解析】
解：在這一組數(shù)據(jù)中6是出現(xiàn)次數(shù)最多的，故眾數(shù)是6；
而將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列3，4，5，6，6，處于中間位置的數(shù)是5，
平均數(shù)是：（3+4+5+6+6）÷5=4.8，
故選C．
【點睛】
本題考查眾數(shù)；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)．
4、A
【解析】
根據(jù)，只要求出即可解決問題.
【詳解】
解：四邊形ABCD是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
故選：A.
【點睛】
本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考?？碱}型.
5、B
【解析】
試題分析：在數(shù)軸上，離原點越近則說明這個點所表示的數(shù)的絕對值越小，根據(jù)數(shù)軸可知本題中點B所表示的數(shù)的絕對值最?。蔬xB．
6、A
【解析】
60°+20°=80°．由北偏西20°轉(zhuǎn)向北偏東60°，需要向右轉(zhuǎn)．
故選A．
7、D
【解析】
連接OC、OD、BD，根據(jù)點C，D是半圓O的三等分點，推導(dǎo)出OC∥BD且△BOD是等邊三角形，陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形BOD的面積，分別計算出扇形BOD的面積和半圓的面積，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【詳解】
解：如圖，連接OC、OD、BD，

∵點C、D是半圓O的三等分點，
∴，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴OC=OD=CD，
∵，
∴，
∵OB=OD，
∴△BOD是等邊三角形，則∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠COD=60°，
∴OC∥BD，
∴，
∴S陰影=S扇形OBD，
S半圓O，
飛鏢落在陰影區(qū)域的概率，
故選：D．
【點睛】
本題主要考查扇形面積的計算和幾何概率問題：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比，解題的關(guān)鍵是把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積．
8、C
【解析】
試題分析：連接BD，∵∠ACD=30°，∴∠ABD=30°，
∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
故選C．

考點：圓周角定理
9、D
【解析】
連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，最后由直角三角形面積的兩種表示法即可求得CH的長.
【詳解】
如圖，連接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF=，
∵CH⊥AF，
∴，
即，
∴CH=.
故選D.
【點睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的面積，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
10、A
【解析】
六塊矩形空地正好能拼成一個矩形，設(shè)道路的寬為xm，根據(jù)草坪的面積是570m1，即可列出方程:(31?1x)(10?x)=570，
故選A.
11、D
【解析】
根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】
A.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，所以A錯誤；B.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，所以B錯誤；C.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，所以C錯誤；D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以D正確.
【點睛】
本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握定義是本題解題的關(guān)鍵.
12、D
【解析】
根據(jù)頂點公式求得已知拋物線的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得另一條拋物線的頂點，根據(jù)題意得出關(guān)于m的方程，解方程即可求得．
【詳解】
∵一條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+6x+m，
∴這條拋物線的頂點為（-3，m-9），
∴關(guān)于x軸對稱的拋物線的頂點（-3，9-m），
∵它們的頂點相距10個單位長度．
∴|m-9-（9-m）|=10，
∴2m-18=±10，
當(dāng)2m-18=10時，m=1，
當(dāng)2m-18=-10時，m=4，
∴m的值是4或1．
故選D．
【點睛】
本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式，坐標(biāo)和線段長度之間的轉(zhuǎn)換，關(guān)于x軸對稱的點和拋物線的關(guān)系．

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）
13、﹣1＜x≤1
【解析】
解一元一次不等式組．
【分析】解一元一次不等式組，先求出不等式組中每一個不等式的解集，再利用口訣求出這些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了（無解）．因此，
解第一個不等式得，x＞﹣1，
解第二個不等式得，x≤1，
∴不等式組的解集是﹣1＜x≤1．
14、一
【解析】
∵一元二次方程x2-2x-m=0無實數(shù)根，
∴△=4+4m＜0，解得m＜-1，
∴m+1＜0，m-1＜0，
∴一次函數(shù)y=（m+1）x+m-1的圖象經(jīng)過二三四象限，不經(jīng)過第一象限．
故答案是：一．
15、1
【解析】
試題分析：根據(jù)題意可知這是分式方程，＝0，然后根據(jù)分式方程的解法分解因式后約分可得x-1=0，解之得x=1，經(jīng)檢驗可知x=1是分式方程的解.
答案為1.
考點：分式方程的解法
16、x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
試題分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案為x（x+2）（x﹣2）．
考點：提公因式法與公式法的綜合運用；因式分解．
17、x>1
【解析】
分析：題目要求 kx+b>0，即一次函數(shù)的圖像在x 軸上方時，觀察圖象即可得x的取值范圍.
詳解：
∵kx+b>0，
∴一次函數(shù)的圖像在x 軸上方時，
∴x的取值范圍為：x>1.
故答案為x>1.
點睛：本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，主要考查學(xué)生的觀察視圖能力.
18、
【解析】
試題分析：根據(jù)已知數(shù)字等式得出變化規(guī)律，即可得出答案：
∵，，，，…，
∴。

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
19、（1）；（2）淇淇與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性不一樣．
【解析】
試題分析：
（1）根據(jù)等可能事件的概率的定義，分別確定總的可能性和是勾股數(shù)的情況的個數(shù)；
（2）用列表法列舉出所有的情況和兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的情況即可.
試題解析：
（1）嘉嘉隨機(jī)抽取一張卡片共出現(xiàn)4種等可能結(jié)果，其中抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的結(jié)果有3種，所以嘉嘉抽取一張卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1=；
（2）列表法：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由列表可知，兩次抽取卡片的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種，其中抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的有6種，
∴P2=，
∵P1=，P2=，P1≠P2
∴淇淇與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性不一樣．
20、（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=．
【解析】
（1）如圖1中，當(dāng)點E在BC上時．只要證明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°；
（2）分兩種情形求解①如圖2中，當(dāng)BD=DC時，易知AD=CD=DE，此時△DEC是等腰三角形．②如圖3中，當(dāng)CD=CE時，△DEC是等腰三角形；
（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先確定點E的運動軌跡是直線EE′（過點E與BC成60°角的直線上），可得EC的最小值即為線段CM的長（垂線段最短）.
【詳解】
解：（1）如圖1中，當(dāng)點E在BC上時．

∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠ADB=∠AEC=120°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°．
（2）①如圖2中，當(dāng)BD=DC時，易知AD=CD=DE，此時△DEC是等腰三角形，∠BAD=∠BAC=45°．

②如圖3中，當(dāng)CD=CE時，△DEC是等腰三角形．
∵AD=AE，
∴AC垂直平分線段DE，
∴∠ACD=∠ACE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴∠EDC=∠CED=45°，
∵∠B=45°，
∴∠EDC=∠B，
∴DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE=60°．

（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．

∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，
∴△AOE∽△DOE′，
∴AO：OD=EO：OE'，
∴AO：EO=OD：OE'，
∵∠AOD=∠EOE′，
∴△AOD∽△EOE′，
∴∠EE′O=∠ADO=60°，
∴點E的運動軌跡是直線EE′（過點E與BC成60°角的直線上），
∴EC的最小值即為線段CM的長（垂線段最短），
設(shè)E′N=CN=a，則AN=4-a，
在Rt△ANE′中，tan75°=AN：NE'，
∴2+=，
∴a=2-，
∴CE′=CN=2-．
在Rt△CE′M中，CM=CE′?cos30°=，
∴CE的最小值為．
【點睛】
本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．
21、（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P點坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．
【解析】
分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點坐標(biāo)，令y=0，可求出A點坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)易得到M點坐標(biāo)，若拋物線的頂點C在⊙M上，那么C點必為拋物線對稱軸與⊙O的交點；根據(jù)A、B的坐標(biāo)可求出AB的長，進(jìn)而可得到⊙M的半徑及C點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解即可；
（3）在（2）中已經(jīng)求得了C點坐標(biāo)，即可得到AC、BC的長；由圓周角定理:
∠ ACB=90°，所以此題可根據(jù)兩直角三角形的對應(yīng)直角邊的不同來求出不同的P點坐標(biāo)．
本題解析：（1）對于直線，當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；
（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，
∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），∵M(jìn)C∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)2+2，
把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，
∴拋物線的解析式為 ，即；
（3）存在．
當(dāng)y=0時， ，解得x，=﹣2，x，=﹣6，
∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），
，
設(shè)P（t，-6），
∵
∴=20，
即||=1，當(dāng)=-1，
解得， ，
此時P點坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；
當(dāng)時 ，解得=﹣4+，=﹣4﹣；
此時P點坐標(biāo)為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

綜上所述，P點坐標(biāo)為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．
點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及頂點式求二次函數(shù)的解析式和一元二次方程的解法，本題的綜合性較強，注意分類討論的思想應(yīng)用.
22、詳見解析.
【解析】
根據(jù)矩形性質(zhì)推出BC=AD=AE，AD∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)推出∠DAE=∠AEB，根據(jù)AAS證出△ABE≌△DFA即可．
【詳解】
證明：在矩形ABCD中
∵BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
?∴∠DAF=∠AEB，
?∵DF⊥AE，AE=BC=AD，
???∴∠AFD=∠B=90°，
???在△ABE和△DFA中
????∵??∠AFD＝∠B，∠DAF＝∠AEB ? ?，AE＝AD ? ?
???∴△ABE≌△DFA（AAS），
??∴AB=DF.
【點睛】
本題考查的知識點有矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能夠找到證明三角形全等的有關(guān)條件.
23、詳見解析
【解析】
由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°，證出∠ABE=∠CBD，證明△ABE≌△CBD（SAS），得出∠BAE=∠BCD=60°，得出∠BAE=∠BAC，即可得出結(jié)論．
【詳解】
證明：∵△ABC，△DEB都是等邊三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
∵AB=CB,
∠ABE=∠CBD,
BE=BD,，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC，
∴AB平分∠EAC．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
24、答案見解析
【解析】
利用已知條件容易證明△ADE≌△CFE，得出角相等，然后利用平行線的判定可以證明FC∥AB．
【詳解】
解：∵E是AC的中點，∴AE=CE．
在△ADE與△CFE中，∵AE=EC，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠EAD=∠ECF，∴FC∥AB．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定定理．通過全等得角相等，然后得到兩線平行時一種常用的方法，應(yīng)注意掌握運用．
25、（1）y=﹣x﹣1；（1）△ACE的面積最大值為；（3）M（1，﹣1），N（，0）；（4）滿足條件的F點坐標(biāo)為F1（1，0），F(xiàn)1（﹣3，0），F(xiàn)3（4+，0），F(xiàn)4（4﹣，0）．
【解析】
（1）令拋物線y=x1-1x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點式求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（1）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤1），求出P、E的坐標(biāo)，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進(jìn)而求出△ACE的面積最大值；
（3）根據(jù)D點關(guān)于PE的對稱點為點C（1，-3），點Q（0，-1）點關(guān)于x軸的對稱點為M（0，1），則四邊形DMNQ的周長最小，求出直線CM的解析式為y=-1x+1，進(jìn)而求出最小值和點M，N的坐標(biāo)；
（4）結(jié)合圖形，分兩類進(jìn)行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時可以求出F點兩個坐標(biāo)；②CF不平行x軸，如題中的圖1，此時可以求出F點的兩個坐標(biāo)．
【詳解】
解：（1）令y=0，解得或x1=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
將C點的橫坐標(biāo)x=1代入y=x1﹣1x﹣3得
∴C（1，-3），
∴直線AC的函數(shù)解析式是
（1）設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤1），
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x1﹣1x﹣3），
∵P點在E點的上方，
∴當(dāng)時，PE的最大值
△ACE的面積最大值
（3）D點關(guān)于PE的對稱點為點C（1，﹣3），點Q（0，﹣1）點關(guān)于x軸的對稱點為K（0，1），
連接CK交直線PE于M點，交x軸于N點，可求直線CK的解析式為，此時四邊形DMNQ的周長最小，
最小值
求得M（1，﹣1），
（4）存在如圖1，若AF∥CH，此時的D和H點重合，CD=1，則AF=1，

于是可得F1（1，0），F(xiàn)1（﹣3，0），
如圖1，根據(jù)點A和F的坐標(biāo)中點和點C和點H的坐標(biāo)中點相同，

再根據(jù)|HA|=|CF|，
求出
綜上所述，滿足條件的F點坐標(biāo)為F1（1，0），F(xiàn)1（﹣3，0），，．
【點睛】
屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值以及平行四邊形的性質(zhì)等，綜合性比較強，難度較大.
26、 (1)①y=－x2－4x－3；y=x；②t= 或；（2）證明見解析.
【解析】
(1)把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函數(shù)解析式即可求出；由AC=OA知C點坐標(biāo)為(-3,-3),故可求出直線OC的解析式；②由題意得OP=2t,P(－2t，0)，過Q作QH⊥x軸于H,
得OH=HQ=t,可得Q(－t,－t),直線 PQ為y＝－x－2t，過M作MG⊥x軸于G,由，則2PG＝GH，由，得， 于是，解得，從而求出M(－3t,t)或M（），再分情況計算即可； (2) 過F作FH⊥x軸于H，想辦法證得tan∠CAG=tan∠FBH，即∠CAG=∠FBH，即得證.
【詳解】

解：(1)①把A(－3，0),B(－1，0)代入二次函數(shù)解析式得解得
∴y=－x2－4x－3；
由AC=OA知C點坐標(biāo)為(-3,-3),∴直線OC的解析式y(tǒng)=x；
②OP=2t,P(－2t，0)，過Q作QH⊥x軸于H,
∵QO=,∴OH=HQ=t,
∴Q(－t,－t),∴PQ：y＝－x－2t，
過M作MG⊥x軸于G,
∴，
∴2PG＝GH
∴，即，
∴ ，
∴，
∴M(－3t,t)或M（）
當(dāng)M(－3t,t)時：，
∴
當(dāng)M（）時：，
∴
綜上：或
(2)設(shè)A(m,0)、B(n,0),
∴m、n為方程x2－bx－c=0的兩根，
∴m+n=b,mn＝－c,
∴y＝－x2+(m+n)x－mn＝－(x－m)(x－n),
∵E、F在拋物線上，設(shè)、，
設(shè)EF：y＝kx+b,
∴ ，
∴
∴
∴，令x＝m
∴
＝
∴AC=,
又∵,
∴tan∠CAG=，
另一方面：過F作FH⊥x軸于H，
∴，，
∴tan∠FBH=
∴tan∠CAG=tan∠FBH
∴∠CAG=∠FBH
∴CG∥BF

【點睛】
此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)及正確作出輔助線進(jìn)行求解.
27、（1）DD′=1，A′F= 4﹣；（2）；（1）．
【解析】
（1）①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A'B'C'D'，只要證明△CDD′是等邊三角形即可解決問題；
②如圖①中，連接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解決問題；
（2）由△A′DF∽△A′D′C，可推出DF的長，同理可得△CDE∽△CB′A′，可求出DE的長，即可解決問題；
（1）如圖③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF=?AC?CF=?AF?CD，把問題轉(zhuǎn)化為求AF?CD，只要證明∠ACF=90°，證明△CAD∽△FAC，即可解決問題；
【詳解】
解：（1）①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A'B'C'D'，
∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=1∠A′D′C=∠ADC=90°．
∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等邊三角形，
∴DD′=CD=1．
②如圖①中，連接CF．∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，
∴△CDF≌△CD′F，∴∠DCF=∠D′CF=∠DCD′=10°．
在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF=，
∴D′F=，∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣．
（2）如圖②中，在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，
∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2．∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，
∴△A′DF∽△A′D′C，∴，∴，
∴DF=．
同理可得△CDE∽△CB′A′，∴，∴，
∴ED=，∴EF=ED+DF=．
（1）如圖③中，作FG⊥CB′于G．∵四邊形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=1．
∵S△CEF=?EF?DC=?CE?FG，
∴CE=EF，∵AE=EF，∴AE=EF=CE，∴∠ACF=90°．
∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴，
∴AC2=AD?AF，∴AF=．
∵S△ACF=?AC?CF=?AF?CD，
∴AC?CF=AF?CD=．


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