2022-2023學年吉林省長春市朝陽區(qū)慧谷學校九年級（上）期初數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）下列代數(shù)式中，屬于分式的是(    )A.  B.  C.  D. 空氣的密度為，用科學記數(shù)法表示是(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐標系中，將點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點，則點的坐標是(    )A.  B.  C.  D. 一個三角形的兩邊長為和，第三邊的邊長是方程的根，則該三角形的周長是(    )A.  B. 或 C.  D. 和為解決群眾看病貴的問題，有關(guān)部門決定降低藥價，對某種原價為元的藥品進行連續(xù)兩次降價后為元，設(shè)平均每次降價的百分率為，
則下面所列方程正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，已知一組平行線，被直線、所截，交點分別為、、和、、，且，，，則(    )A.
B.
C.
D. 已知一次函數(shù)不過第二象限，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，正方形的邊長為，點的坐標為，點在軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點，則該反比例函數(shù)的表達式為(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共6小題，共18分）函數(shù)中自變量的取值范圍是______．已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則______．如圖，四邊形中，，若：：，則：______．
如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸、軸上，點在邊上，將該矩形沿折疊，點恰好落在邊上的處．若，，則點的坐標是______．
如圖，在?中，，，：：依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則?的面積為______．
 在中，，，，點是邊上一點，點為邊上的動點，點、分別為，的中點，則的最小值是______ ．
   三、解答題（本大題共8小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
解方程：
 本小題分
先化簡，再求值：，其中．本小題分
如圖，中，是邊上的中線，過點作，過點作，與、分別交于點、點，連接．

求證：；
當時，求證：四邊形是菱形．本小題分
圖、圖、圖均是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為，每個小正方形的頂點叫做格點，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．
在圖中畫一個面積為的只是中心對稱的四邊形．
在圖中畫一個面積為的菱形，且鄰邊不垂直．
在圖中畫一個矩形，使其邊都是無理數(shù)，且鄰邊不相等．
本小題分
某年級共有名女生，為了解該校女生實心球成績單位：米和仰臥起坐單位：個的情況，從中隨機抽取名女生進行測試，獲得了她們的相關(guān)成績，并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．
實心球成績的頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)實心球成績在這組的數(shù)據(jù)是：
一分鐘仰臥起坐成績?nèi)鐖D所示：

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
表中的值為______．
抽取的名女生一分鐘仰臥起坐成績的眾數(shù)為______個，中位數(shù)為______個．
若實心球成績達到米及以上，成績記為優(yōu)秀，請估計全年級女生成績達到優(yōu)秀的人數(shù)．本小題分
如圖，小明用自制的直角三角形紙板測量樹的高度他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊，測得邊離地面的高度，，求樹高．
本小題分
一艘輪船在航行中遇到暗礁，船身有一處出現(xiàn)進水現(xiàn)象，等到發(fā)現(xiàn)時，船內(nèi)已有一定積水，船員立即開始自救，一邊排水一邊修船，修船過程中進水和排水速度不變，修船完工后船不再進水，此時的排水速度與修船過程中進水速度相同，直到將船內(nèi)積水排盡．設(shè)輪船觸礁后船艙內(nèi)積水量為，時間為，與之間的函數(shù)圖象如圖所示．
修船過程中排水速度為______，的值為______．
求修船完工后與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
當船內(nèi)積水量是船內(nèi)最高積水量的時，直接寫出的值．
本小題分
如圖，在四邊形中，被對角線平分，且，我們稱該四邊形為“可分四邊形”稱為“可分角”．
如圖，四邊形為“可分四邊形”，為“可分角”，求證：∽．
如圖，四邊形為“可分四邊形”，為“可分角”，如果，則______．
現(xiàn)有四邊形為“可分四邊形”，為“可分角”，且，，，則______．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)分式的定義，可知，，都是整式，是分式，
故選：．
根據(jù)“一般地，如果，表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”即可確定．
本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：．
故選：．
絕對值小于的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．
 3.【答案】 【解析】解：點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點，
則點的坐標是，
即，
故選：．
根據(jù)平移方法可得點的坐標變化，進而可得答案．
此題主要考查了坐標與圖形的變化，關(guān)鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．
 4.【答案】 【解析】解：，
解得，；
當?shù)谌叺拈L為時，，不能構(gòu)成三角形，故此種情況不成立；
當?shù)谌叺拈L為時，，符合三角形三邊關(guān)系，此時三角形的周長為：；
故選：．
首先用公式法法求出方程的兩個實數(shù)根，進而利用三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的解舍去，再求周長即可．
求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．
 5.【答案】 【解析】【分析】
設(shè)平均每次降價的百分率為，根據(jù)該種藥品的原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：設(shè)平均每次降價的百分率為，
根據(jù)題意得：．
故選：．  6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，然后利用比例性質(zhì)可求出的長．
【解答】
解：，
，即，
．
故選A．  7.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，
則可能是經(jīng)過一三象限或一三四象限，
經(jīng)過一三象限時，；
經(jīng)過一三四象限時，．
故，
故選：．
根據(jù)題意可知：圖象經(jīng)過一三象限或一三四象限，可得或，再解不等式可得答案．
此題主要考查了一次函數(shù)圖象在坐標平面內(nèi)的位置與、的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與、的符號有直接的關(guān)系．時，直線必經(jīng)過一、三象限；時，直線必經(jīng)過二、四象限；時，直線與軸正半軸相交；時，直線過原點；時，直線與軸負半軸相交．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，涉及到正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點的坐標是解題的關(guān)鍵．
過點作軸于，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，再求出，然后寫出點的坐標，再把點的坐標代入反比例函數(shù)解析式計算即可求出的值．
【解答】
解：如圖，過點作軸于，在正方形中，，，
，
，
，
點的坐標為，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
點的坐標為，
反比例函數(shù)的圖象過點，
，
反比例函數(shù)的表達式為．
故選：．  9.【答案】且 【解析】解：由題意得，且，
解得且．
故答案為：且．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于，分母不等于列式計算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為；
當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．
 10.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
解得：．
故答案為：．
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】： 【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
：：，
故答案為：：．
先由證明∽，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方得到，則，即可求得：：．
此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比求得兩個三角形的對應(yīng)邊的比是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)，則，
由題意可得，，
由對折知，，
，
，
，
，
解得，，
點的坐標為，
故答案為
根據(jù)題意，由勾股定理可以得到，進而得的長度，設(shè)，則，由勾股定理列出的方程求得的值，便可求得點坐標．
本題考查勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)、翻折變化、坐標與圖形變化對稱，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，連接．

四邊形是平行四邊形，
，
由作圖可知，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
故答案為：．
證明是等邊三角形，求出，的面積，可得結(jié)論．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
 14.【答案】 【解析】解：連接，

點、分別為，的中點，
，
當時，的值最小，此時的值也最小，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案為：．
當時，的值最小，此時的值也最小，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積求出，再求出答案即可．
本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等知識點，注意：三角形的中位線等于第三邊的一半．
 15.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
或； 【解析】根據(jù)配方法即可求出答案；
根據(jù)因式分解法即可求出答案．
本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 16.【答案】解：原式

，
當時，
原式． 【解析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將的值代入計算即可．
本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．
 17.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，且．
又是邊的中線，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
；
，是斜邊上的中線，
，
又四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形． 【解析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，考查直角三角形斜邊上的中線，屬于基礎(chǔ)題．
先證四邊形是平行四邊形，再證四邊形是平行四邊形，即得；
由，上斜邊上的中線，即得，證得四邊形是平行四邊形，從而證得四邊形是菱形．
 18.【答案】解：如圖．

如圖．

如圖．
 【解析】根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)作出一個長為，高為的平行四邊形即可．
利用菱形的性質(zhì)作圖即可．
利用網(wǎng)格結(jié)合矩形的判定與性質(zhì)作圖即可．
本題考查中心對稱、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．
 19.【答案】     【解析】解：，
故答案為：；
由中統(tǒng)計圖可知，
抽取的名女生一分鐘仰臥起坐成績的眾數(shù)為，中位數(shù)是，
故答案為：，；
人，
即全年級女生成績達到優(yōu)秀的有人．
根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)，可以計算出的值；
根據(jù)中的統(tǒng)計圖，可以得到眾數(shù)、中位數(shù)；
根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出全年級女生成績達到優(yōu)秀的人數(shù)．
本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)分布表、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 20.【答案】解：
∽
，
，，，，
，
米，
米． 【解析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的長后加上小明同學的身高即可求得樹高．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．
 21.【答案】   【解析】解：由題意可知，修船共用了：分鐘，
修船過程中進水速度為：噸分鐘，
修船過程中，排水速度是噸分鐘，
修船完工后船不再進水，此時的排水速度與修船過程中進水速度相同，
修船完工后，排水速度是，
；
故答案為：；；
設(shè)修船完工后與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意，得，
解得，
修船完工后與之間的函數(shù)關(guān)系式為；
在修船過程中，當船內(nèi)積水量是船內(nèi)最高積水量的時，可得，
解得；
修船完工后，當船內(nèi)積水量是船內(nèi)最高積水量的時，可得，
解得．
故的值為或．
修船共用了分鐘，修船過程中進水速度為：噸分鐘，修船過程中，排水速度是噸分鐘，；
利用待定系數(shù)法求解即可；
分修船過程和修船完工后兩種情況解答．
本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式．
 22.【答案】  【解析】證明：四邊形為“可分四邊形”，為“可分角”，
，
，
為“可分角”，
，
∽；

解：如圖所示：
平分，
，
，
：：，
∽，
，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案為：；
解：四邊形為“可分四邊形”，為“可分角”，
，，
：：，
∽，
，
，
．
故答案為：
先判斷出，即可得出結(jié)論；
由已知條件可證得∽，得出，再由已知條件和三角形內(nèi)角和定理得出，求出，即可得出的度數(shù)；
由已知得出，，證出∽，得出，由勾股定理求出，即可得出的長．
此題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、新定義四邊形等知識；熟練掌握新定義四邊形，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．
 

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